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文中为了突出马科维茨的理论，进行的是静态模型分析，也更加突出了在大学期间所学知识的重要性与本文的创新点。
附：
本人签名：
年月日
中文摘要…………………………………………………………………………………1
英文摘要…………………………………………………………………………………1
第一章引言……………………………………………………………………………2
1.1文献综述………………………………………………………………………2
1.2问题提出………………………………………………………………………2
1.3研究的主要内容………………………………………………………………3
第二章马科维茨组合投资模型基本概念和理论……………………………………4
2.1马科维茨的基本理论…………………………………………………………4
2.2理性投资者的行为特征和决策方法…………………………………………4
2.3资产的收益和风险特征………………………………………………………7
2.4马科维茨的均值方差模型……………………………………………………8
第三章股票中的数学模型及优化……………………………………………………10
3.1模型的假设与符号说明………………………………………………………10
3.2模型的建立……………………………………………………………………10
3.3模型的求解及优化……………………………………………………………11
第四章股票的预测与程序设计………………………………………………………13
第五章模型的结论……………………………………………………………………15
第六章对马科维茨理论的评价与启示………………………………………………16
6.1对马科维茨理论的评价………………………………………………………16
6.2马科维茨理论的启示…………………………………………………………16
参考文献…………………………………………………………………………………18
张东柱
摘要：
马科维茨（Markowitz）1952年提出的组合投资理论开创了金融数理分析的先河，是现代金融经济学的一个重要理论基础。
在此基础上，依据理性投资者投资决策准则确定最小方差资产组合。
关键词：
股市；
中图分类号：
O221.7
OptimizationforPortfolioInvestmentModel
ZhangDongzhu
Abstract：
In1952MarkowitzproposedthePortfolioTheoryandcreatedtheanalysiswayinfinancialmathematics,whichwasanimportanttheoreticalbasisinmodernFinancialEconomics.WeuseMarkowitzmodeltoestablishMinimumVariancePortfolio.FirstlywecalculateproceedsandriskofsingleassetsinPortfolioTheoryandtherelationshipbetweenassets,andthencalculatetheexpectedproceedsandriskofportfolio.Onthisbasis,wedetermineMinimumVariancePortfolioaccordingtotherationalcriteriaofinvestors’decisiontoinvest.BasedontheinvestmentportfolioanddoesempiricalstudythroughmathematicalsoftwareMatlab,hopingtoprovideacertainscientificbasisinpracticalinvestment.
KeyWord:
StockMarket,Portfolio,Mean,Variance,Proceeds,Risk
第一章引言
1.1文献综述
马科维茨（Markowitz）1952年提出的组合投资理论开创了金融数理分析的先河，是现代金融经济学的一个重要理论基础。
现代组合理论的主要贡献在于它阐明了组合风险并不取决于各个个别资产风险的均值，而是各资产的协方差——资产之间的相互关系。
运用马科维茨关于组合投资的基本思想，我们可以看到在资产完全不相关的情况下，资产组合的风险会随着资产数量的增加而消失。
由于在现实生活中，资产完全不相关或完全相关的情况不多，大部分处于不完全正相关状态，所以资产之间的协方差就成了资产组合方差的决定因素，而协方差是不能靠资产组合多元化来降低的。
投资者构建证券投资组合的主要动因在于降低投资风险和实现收益最大化目标。
投资者通过科学的组合投资，可以在投资收益和投资风险之间找到一个平衡点，即在风险既定的条件下实现收益最大，或在收益既定的条件下使风险尽可能降低。
诺贝尔奖得主马科维茨提出的证券组合优化均值方差模型奠定了现代证券组合投资理论的基础。
1.2问题提出
作为一个成熟的投资者，我们应该时刻牢记一句话：
“股市有风险，入市须谨慎。
”尤其是最近受到世界经济形势的影响，因此投资者对风险的控制是必要的，投资者必须确保在获得一定的预期收益时，使得风险最小或者在一定风险水平下获得最大收益。
为了达到这个目标，并创造出更多的可供选择的投资机会，进行证券投资的组合优化无疑是非常必要的。
在充满风险和机会的证券市场中，无论是个人还是机构投资者在进行证券投资时，总是以投入资金的安全性和流动性为前提，合理的运用投资资金，达到较小风险、较高收益的目的。
1.3研究的主要内容
证券投资是一种复杂而又充满风险的金融活动，它既可以给投资者带来丰厚的收益，也可能使投资者遭受巨大的损失，因而越来越多的投资者利用投资组合以及多元化投资来分散风险，然而风险依赖于效用，不同偏好的投资者可能具有不同的衡量标准，其效用函数不同，拥有不同的风险测度，但是迄今为止，并没有一种令人满意的风险度量标准。
马科维茨的证券投资组合模型中用方差来度量风险，但是据研究，只有在证券收益率服从正态分布条件下，方差才是风险的有效测度，这表明投资者对风险、收益的理解不对称，更谈不上均匀分布在均值左右。
而统计数据也表明收益率并不一定服从正态分布，因而选择何种度量风险的标准，对投资组合的证券及比例的选择尤为重要。
第二章马科维茨组合投资模型基本概念和理论
2.1马科维茨的基本理论
马科维茨以理性投资者及其基本行为特征为基本假设，论述了建立有效资产组合边界（即在一定风险水平上收益最高的资产组合的集合）的思想和方法。
马科维茨考虑的问题是单期投资问题，投资者拥有一笔资金，从现在起投资于一特定长的时间（称为持有期），在期初投资者需要作出决定购买哪种证券及其数量，并持有到期末。
分别以一定资金比例购买的一组证券称为一个证券组合，因而投资者的决策就是要从一系列的可能的证券组合中选择一个最优的证券组合，这样的一个决策问题被马科维茨称为证券组合选择问题。
为了解决这个问题，马科维茨对投资者的决策方法和行为特征做了如下假设：
（1）、每一种投资都可以由一种预期收益的可能分布来代表；
（2）、投资者都利用预期收益的波动来估计风险；
（3）、投资者仅以预期收益和风险为依据决策，在同一风险水平上，投资者偏好收益较高的资产或资产组合，在同一收益水平上，投资者偏好风险较小的资产或资产组合；
（4）、投资者在一定时期内总是追求收益最大化。
2.2理性投资者的行为特征和决策方法
从理论上说，具有独立经济利益的投资者的理性经济行为有两个规律特征，其一为追求收益最大化，其二为厌恶风险，二者的综合反映为追求效用最大化。
“效用”在微观经济学中指人们从消费商品和服务中得到满足。
在金融市场上，交易主体追求的是利益最大化。
无奈，高收益总是伴随着高风险，对风险的承受力直接制约着人们对收益预期的定位。
通常，人们只能在可接受的风险范围内寻求相对高的收益，或者只有当收益足够高时，才会去冒较大的风险。
所以，投资活动的效用就是投资者权衡选择风险与收益后获得的满足。
（1）、追求收益最大化的规律特征
这一特征表现在，当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。
在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产投资；
但另一方面，与之相对立的市场资金需求者为了自身利益最大化的要求选择成本最低的融资方式，资金供求上方对立的经济利益、一致的利益冲动制约着市场均衡价格的形成。
（2）、厌恶风险的规律特征
这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。
人们对风险的厌恶程度是不同的，有的强，有的弱，有的对风险持中立态度，有的甚至偏好风险，这一特征直接决定着价格的结构。
对于厌恶风险的人，要使之接受交易中的风险，就必须在价格上给予足够的补偿，有风险交易的收益从结构上看应该是无风险交易的收益加上一个风险补偿额。
风险越大，风险补偿额也就越高。
（3）、追求效用最大化
追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。
效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益的组合的集合由有效边界表示，效用曲线与有效边界的切点就是提供最大效用的资产组合。
①、风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。
金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资产组合的满足程度是无区别的，即同等效用水平曲线。
图1是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。
不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表着最大效用。
而曲线的凸向则反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。
风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；
曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。
风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。
②、资产组合的有效边界。
在资产组合理论中，假设资产互不相关，三个以上风险资产进行组合时，各种不同风险与收益水平的资产组合分布在一个双曲线，或者如伞形的区间内，见图2。
伞形区间边缘上的资产或资产组合都是在同等收益水平上风险最小的资产组合的集合，因此伞形区域边缘被称为最小方差资产组合的集合。
伞线端点处的资产组合又是所有最小方差资产组合集合中方差最小的一个，被称为最小方差资产组合（MVP）。
这一端点将伞形区间分为上下两部分，上部分边缘上的各种资产和资产组合，不仅满足同等收益水平下风险最小的条件，还满足同等风险水平上收益最高的条件，是理性投资者的理想选择。
因此，伞形（双曲线）区间的上半部分边缘被称为资产组合的有效边界（或有效资产组合的集合）。
由于有效边界的收益和风险是对称的，因此，理想投资者到底选择有效边界上的哪一点，取决于投资厌恶程度的强弱。
风险厌恶程度较强的，可选择靠近端点的资产组合；
风险厌恶程度较弱的，可选择高风险高收益资产组合。
我们借助“效用最大化”这一概念来描述投资者最佳资产组合的选择过程。
③、效用最大化。
把上面两个图叠起来，由于有效边界相切无差异曲线是有效边界所能遇到的效用最高的无差异曲线，因此，二者的切点F便是能够给投资者带来最大效用的有效资产组合——最佳资产组合。
见图3。
2.3资产的收益和风险特征
在购买风险资产之前，投资者首先应该对资产未来收益做一个估计，估计值与实际值总是会有偏差的，这种偏差会有多大，也应心中有数。
我们把收益估计的偏差作为衡量资产风险的一个标准。
风险和收益的估计要用到一些概率论的基本知识。
（1）、预期收益
资产的未来收益是一个不确定的因素，在不同的经济状况下，我们会对资产的未来收益做出不同的估计。
每一种经济状况及在该种状况下资产的收益率的出现，都有自己可能发生的概率，把所有可能出现的资产收益率按其可能发生的概率进行加权平均计算，我们便对这一资产未来可能出现的资产收益率有了一个综合的估计，这便是预期收益率的含义所在。
也就是说，预期收益率并不代表将来可能获得的收益，而只是反映了我们对一切可能的有关信息进行合理分析后对资产获利能力的一种估计。
数学期望为我们估计未来收益提供了一个科学的工具。
根据不同的经济状况，我们会对资产未来收益做出不同的估计，每一估计的出现都有自己的概率，二者的加权平均就是数学期望，公式为：
，式中，
为第i种收益预期，
为
发生的概率，
为预期收益率。
（2）、风险——方差
方差反映的是随机变量对数学期望的离散程度，由于我们把投资的风险定义为实际收益偏离预期收益的潜在可能性，因此，我们可以借预期收益的方差作为衡量风险的标准。
公式为：
和
。
方差的平方根为标准离差。
方差（标准离差）越大，随机变量与数学期望的偏离越大，风险也就越大。
从经济角度考虑，离差
有正也有负，正的离差对投资者是有利的，只有负的离差才是我们要计算的风险，因此，有人提出过半方差的标准，但因随机变量的分布是有系统的，正负相当，故没有必要太精细，而且在大量运算中，要把负的离差都挑出来也很不容易。
（3）、样本平均值和样本方差
在实际生活中，随机变量发生的概率往往是不可知的，股票收益率尤其如此，这就需要利用样本来估计未来收益风险，计算样本平均值和样本方差。
在计算资产未来收益的样本平均值和样本方差时，我们是以以前的收益为样本的，并假设资产收益的分布概率是不变的。
样本平均值和样本方差给了我们评价资产的一个基本的可用方法，但在比较资产时要注意，风险不同的资产的收益率是不可以直接进行比较的。
2.4马科维茨的均值方差模型
设一个证券投资组合具有n种证券，其收益率分别为
，投资者面临的一个重要的问题就是如何对每种证券分配一个适当的权重
，从而使投资者能够达到收益较高而同时风险较低的投资目标。
期望值向量
反映了各种证券的期望收益率，方差
反映了第i种证券的风险，协方差
反映了第i种证券与第j种证券的相关系数
，则组合证券的期望收益率为
，组合证券的风险（即方差）为：
，用模型表示如下：
St
公式中用方差来表示投资组合的风险，用均值表示投资者的期望收益。
表示的意义是：
在收益达到一定水平以及其他的约束条件下使投资组合的风险最小。
马科维茨投资组合思想被投资者广泛接受，但他的定量模型是建立在一系列严格的假设条件基础之上的，主要包括：
①、证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在价值，每个投资者都掌握了充分的信息，了解每种证券的期望收益率及标准差，不存在交易费用和税收，投资者都是价格接受者，证券是无限可分的，必要的话可以购买部分股权；
②、证券投资者的目标是：
在给定的风险水平上受益最大，或在给定的收益水平上风险最低，就是说，投资者都是厌恶风险的；
③、投资者将基于收益的均值和标准差或方差来选择最优投资组合，如果要他们选择风险（方差）较高的方案，他们都要求有额外的收益作为补偿；
④、投资者追求每期财富期望效用的极大化，投资者具有单周期视野，所有
是非负的，即不允许买空与卖空。
第三章股票中的数学模型及优化
3.1模型的假设与符号说明
（1）、符号说明
n：
为证券的投资个数；
：
为选定的n种证券预期收益率的期望值向量；
为证券组合投资收益率的方差；
为n种证券投资比例系数的向量；
表示n种证券收益率的协方差矩阵；
为证券组合投资的预期收值；
这是n维单位列向量；
A：
一定的风险水平。
（2）、模型假设：
①、我们对风险评价的两个指标是投资收益率均值R和收益率的方差
。
②、投资者都遵守主宰的原则，即在同一的风险水平下，希望得到的收益越高越好；
而在获得一定收益的水平下，希望风险越小越好。
③、未考虑投资比率系数为负的问题，由于负的投资比例意味着卖空相应的证券，而卖空行为在某些场合尤其是我国现在很难实现的，因此考虑不允许卖空的情况。
④、证券市场是有效的，即市场中每种证券风险和收益的变动及其产生的因素都是人所共知的。
3.2模型的建立
（1）、约束收益，使风险最小的问题
我们考虑的问题是在得到一定的回报的前提下使得风险最小化，因此我们建立的模型的目标函数是使得风险
最小，约束条件是得到一定的收益
模型如下：
（2）、约束风险，使收益最大的问题
我们考虑的问题是在一定的风险水平下使得收益最大化，因此我们建立的模型的目标函数是使得受益最大，约束条件是在一定的风险水平A下。
（3）、风险与收益的比值最小问题
我们在考虑投资问题时要么是固定收益使风险最小，要么是固定风险使收益最大，能不能两者都考虑呢？
由于我们要求的是使风险最小而收益最大，因此可以考虑构建一个新函数
，求这个函数的最小值。
3.3模型的求解及优化
（1）、由于模型
（1）的目标函数是个二次函数，约束条件是线性的，因此是一个二次规划问题，对它的求解有很多种方法，在这里我们用拉格朗日方法求解。
首先我们构造拉格朗日函数：
然后根据矩阵代数理论分别对
求偏导得：
令
=0，
=0可以求出：
（2）、由于模型
（2）的约束条件是非线性的，因此它是一个非线性规划问题，它的解法一般都是用迭代算法。
在实际应用中，我们一般是在Matlab中编写程序来实现。
（3）、模型（3）的目标函数是非线性的，但约束条件是线性的，可以用构造拉格朗日函数的方法去做。
但对于实际的问题，我们可以通过在Matlab编一个程序，很容易算出最优的解。
第四章股票的预测与程序设计
假设市场上有5种证券（或股票）可供投资，并知道其上一年的月收益率如下（%）：
9.2
10.0
9.8
9.7
10.7
10.3
9.9
10.1
10.2
10.4
7.4
7.2
7.6
7.3
7.0
7.1
11.0
12.0
12.8
13.2
13.0
13.5
13.8
12.5
14.0
15.0
15.2
7.8
7.9
8.0
8.4
8.3
8.2
8.1
7.7
9.0
17.4
17.0
13.6
14.8
我们可以得出5种股票的月平均收益率：
把数据带入模型
（1）求解，其中
在Matlab6.5软件中编程求解如下：
symsw1w2w3w4w5;
w0=[0.4;
0.1;
0.3];
w=[w1;
w2;
w3;
w4;
w5];
e=[0.147-0.0170.311-0.0250.22;
-0.0170.025-0.0520.001-0.003;
0.311-0.0522.2780.0230.595;
-0.0250.0010.0230.0560.183;
0.22-0.0030.5950.1834.794];
objfun=w'
*e*w;
r=[10;
7.3;
13;
8;
14];
r0=10;
A=[];
b=[];
Aeq=[107.313814;
11111];
beq=[10;
1];
lb=[00000];
w=fmincon（@objfun,w0,A,b,Aeq,beq,lb）
程序执行后得到结果如下：
w=
0.0000
0.1290
0.6452
0.2258
然后，再把数据带入模型（3）求解，在Matlab6.5软
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