几何作图中考复习Word文档下载推荐.docx

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几何作图中考复习Word文档下载推荐.docx

作圆的内接正方形和正六边形

作图题的

一般步骤

(1)分析、画草图;

(2)写已知、求作;

(3)作图;

(4)结论;

(5)证明(常不作要求).

注意点

在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图的痕迹,不要求写出作法.

基本

思想

分类讨论:

作图问题不是在任何已知的条件下都能作出图形,要分清问题有一个解、多个解或者没有解.

c

方法

根据已知条件作几何图形时,可采用逆向思维,假设已作出图形,再寻找图形的性质,然后作图或设计方案.

1.(2017·

衢州)下列四种基本尺规作图分别表示:

①作一个角等于已知角;

②作一个角的平分线;

③作一条线段的垂直平分线;

④过直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是(  )

                                                   

A.①B.②C.③D.④

2.(2015·

衢州)数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是(  )

A.勾股定理

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°

的圆周角所对的弦是直径

3.(2016·

丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是(  )

【问题】如图,已知线段a. 

(1)只用直尺(没有刻度的尺)和圆规,求作一个直角三角形ABC,以AB和BC分别为两条直角边,使AB=a,BC=

a(要求保留作图痕迹,不必写出作法);

(2)若在

(1)作出的Rt△ABC中,AB=4cm,求AC边上的高;

(3)通过

(1)

(2)的解答,请你联想几何作图有哪些知识?

   

  

【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理基本作图,其中求作三角形包括:

①已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;

②已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;

③已知三角形的三边,求作三角形.求作三角形的关键是确定三角形的顶点;

而求作直角三角形时,一般先作出直角,然后根据条件作出所求的图形.作图题的一般步骤:

①分析、画草图;

②写已知、求作;

③作图;

④结论;

⑤证明(常不作要求).注意:

作图中一般要保留作图痕迹.

类型一 利用尺规作直线、角和三角形

 (2016·

孝感)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°

.

(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图,保留作图痕迹:

①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D;

②过点D作AC的垂线,垂足为点E;

(2)在

(1)作出的图形中,若CB=4,CA=6,则DE=        .    

【解后感悟】解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.

要注意几点:

(1)熟练掌握几种基本图形的作法.

(2)分析尺规基本作图问题的解决过程,写好作图的主要画法,并完成作图.

(3)尺规作图的关键在于:

①先分析题目,读懂题意,判断题目要求作什么.②读清题意后,再运用几种基本作图方法,可以组合应用解决问题.

1.

(1)(2017·

上海模拟)如图,用尺规作图:

“过点C作CN∥OA”,其作图依据是(  )

A.同位角相等,两直线平行

B.内错角相等,两直线平行

C.同旁内角相等,两直线平行

D.同旁内角互补,两直线平行

(2)(2015·

嘉兴)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:

“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )

2.(2016·

台湾)如图,△ABC中,∠A=60°

,∠B=58°

.甲、乙两人想在△ABC外部取一点D,使得△ABC与△DCB全等,其作法如下:

(甲)1.作∠A的角平分线L.

2.以B为圆心,BC长为半径画弧,交L于D点,则D即为所求.

(乙)1.过B作平行AC的直线L.

2.过C作平行AB的直线M,交L于D点,则D即为所求.

对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?

(  )

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确

类型二 利用尺规作点

 如图,已知弧AB.求作:

(1)确定弧AB所在圆的圆心O;

(2)过点A且与⊙O相切的直线.(要求用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)

【解后感悟】本题是基本作图,以及线段垂直平分线的作法和性质等知识运用,认真分析揣摩所给的信息,结合题目要求思考是解题的关键.

3.(2015·

深圳)如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是(        )

4.A,B是平面上的两个定点,在平面上找一点C,使△ABC构成等腰直角三角形,且C为直角顶点.请问:

这样的点有几个?

在图中作出符合条件的点(要求尺规作图,保留痕迹,不写作法).

5.作图题(只保留作图痕迹,不写作法)

(1)如图1,作已知三角形的外接圆;

(2)如图2,作已知三角形的内切圆;

(3)如图3,作已知圆的内接六边形.

类型三 利用几何作图设计图形

宁波)下列3×

3网格图都是由9个相同的小正方形组成,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:

(1)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形;

(2)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形;

(3)选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.

(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中,均只需画出符合条件的一种情形)

【解后感悟】掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键.

江西)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:

①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.

(1)在图1中画出一个45°

角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;

(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.

【解后感悟】本题是作图--应用设计,解题的关键是灵活应用正方形、长方形、等腰直角三角形的性质解决问题.

6.如图,在所给方格纸中,每个小正方形边长都是1,标号为①,②,③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处).请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形,使它们与标号为①,②,③的三个三角形分别对应全等.

(1)图甲中的格点正方形ABCD;

(2)图乙中的平行四边形ABCD.

注:

分割线画成实线.

类型四 利用几何作图的计算和判断

 如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.

(1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);

(2)在

(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).

【解后感悟】这类问题往往是根据几种基本作图法作出图形,再利用作好的图形解决问题,需要同学们能准确地作出图形,并能明确作图过程中所用的知识,这样才有利于我们解决以下的证明或计算问题.

7.(2015·

邗江模拟)如图,是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识将它变成一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下:

乙:

分别作∠A与∠B的平分线AE、BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形.

对于甲、乙两人的作法,可判断(        )

A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确

C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误

8.(2016·

南宁模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,AE∥BC.

(1)作∠ADC的平分线DF,与AE交于点F;

(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

(2)在

(1)的条件下,若AD=2,求DF的长.

 

类型五 利用几何作图解决实际问题

 两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?

请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)

【解后感悟】本题借助实际场景,利用几何基本作图、线段垂直平分线和角平分线的性质运用.题中符合条件的点C有2个,注意避免漏解.

9.(2017·

温州)在直角坐标系中,我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点,记顶点都是整点的三角形为整点三角形.如图,已知整点A(2,3),B(4,4),请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形.

(1)在图1中画一个△PAB,使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标;

(2)在图2中画一个△PAB,使点P,B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍.

【探索研究题】

如图AB是半圆的直径,图1中,点C在半圆外;

图2中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画图.

(1)在图1中,画出△ABC的三条高的交点;

(2)在图2中,画出△ABC中AB边上的高.

【方法与对策】本题属创新作图题,是中考热点题型之一,也是中考命题的方向.考查同学们对圆的性质的理解、读图能力,题

(1)是要作点,题

(2)是要作高,都是要解决直角问题,用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”.

【忽视求作要求】

已知三角形的两边和其中一边上的中线长,利用尺规,求作这个三角形.

已知:

线段a,b为两边,m为边b的中线,求作:

△ABC,使BC=a,AC=b,且AM=MC,BM=m.

        

参考答案

第25讲 几何作图

【考题体验】

1.C 2.B 3.D

【知识引擎】

【解析】

(1)画法略.如图1,△ABC是所求的三角形.

(2)如图2,∵AB=a=4,∴BC=

a=2,∴AC=

=2

,∴AC边上的高BD=

(3)几何基本作图,作图的一般步骤,尺规作图和一般作图的区别.

【例题精析】

例1 

(1)如图所示;

 

(2)∵DC是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ACD,∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∴∠ECD=∠EDC,∴DE=CE,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

,设DE=CE=x,则AE=6-x,∴

,解得:

x=

,即DE=

,故答案为:

. 

例2 

(1)在

上取点C,连结AC、BC,画AC、BC的中垂线,交于点O;

 

(2)连结OA,过点A画AT⊥OA.

例3 

(1)如图1所示;

(2)如图2所示;

(3)如图3所示.

例4 

(1)如图所示,∠ABC=45°

.(AB、AC是小长方形的对角线).

(2)线段AB的垂直平分线如图所示,点M是长方形AFBE的对角线的交点,点N是正方形ABDC的对角线的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线.

 

例5 

(1)如图所示:

(2)DE∥AC.∵DE平分∠BDC,∴∠BDE=

∠BDC,∵∠ACD=∠A,∠ACD+∠A=∠BDC,∴∠A=

∠BDC,∴∠A=∠BDE,∴DE∥AC.

例6 

(1)作出线段AB的垂直平分线;

(2)作出角的平分线(2条);

它们的交点即为所求作的点C(2个).

【变式拓展】

1.

(1)B 

(2)A 2.D 3.D 

4.因为等腰直角三角形的直角顶点到另外两点距离相等,且∠C=90°

,故利用线段中垂线的性质和圆中直径所对的圆周角为直角作图.如图,故符合题意的点有2个.

5.略 

6.

(1)如图1所示 

(2)如图2所示.

7.C 

8.

(1)如图所示:

(2)∵AB=AC,D为BC边的中点,∴AD⊥BC即∠ADC=90°

,又∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=45°

,又∵AE∥BC,∴∠DAF=∠ADC=90°

,∴△ADF为等腰直角三角形,又∵AD=2,∴DF=2

.  

9.

(1)设P(x,y),由题意x+y=2,∴P(2,0)或(1,1)或(0,2),其中(0,2)不合题意,舍去,△PAB如图所示. 

(2)设P(x,y),由题意x2+42=4(4+y),整数解为(2,1)或(0,0)等,△PAB如图所示.

【热点题型】

【分析与解】图1点C在圆外,要画三角形的高,就是要过点B作AC的垂线,过点A作BC的垂线,但题目限制了作图的工具(无刻度的直尺,只能作直线或连结线段),说明必须用所给图形本身的性质来画图(这就是创新作图的魅力所在),作高就是要构造90度角,显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E,连结BE,就得到AC边上的高BE;

同理设BC与圆的交点为D,连结AD,就得到BC边上的高AD,则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点;

(2)是题

(1)的拓展、升华,三角形的三条高相交于一点,受题

(1)的启发,我们能够作出△ABC的三条高的交点P,再作射线PC与AB交于点D,则CD就是所求作的AB边上的高.在图1中,点P即为所求;

在图2中,CD即为所求.

【错误警示】①作线段BC=a,MC=

b,BM=m.②延长线段CM至A,使MA=CM.③连结BA,则△ABC为所求作的三角形.

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