北师版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试一Word文件下载.docx

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④abc＜0；

⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（

，1），下列结论：

①c＞0；

②b2﹣4ac＞0；

③a+b=0；

④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（　　）

A．①B．②C．③D．④

9．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：

①2a+b=0；

②abc＜0；

③a+b+c＞0；

④当x＞1时，y随x的增大而减小；

其中正确的有（　　）

10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＞0B．a＞0C．c＞0D．

11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：

②2a﹣b=0；

③4a+2b+c＜0；

④若（﹣5，y1），（

，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．

其中说法正确的是（　　）

A．①②B．②③C．①②④D．②③④

12．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　）

A．a＞0B．c＞0C．ac＞0D．bc＜0

13．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：

①b2﹣4c＞0；

②b+c+1=0；

③3b+c+6=0；

④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．

其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

14．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：

①b2﹣4ac＜0；

②a+b+c＜0；

③c﹣a=2；

④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．

其中正确结论的个数为（　　）

15．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：

①abc＞0；

②2a﹣b＜0；

③4a﹣2b+c＜0；

④（a+c）2＜b2

其中正确的个数有（　　）

16．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x﹣h）2+k在坐标平面上的图形通过（0，5）、（10，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？

（　　）

A．1B．3C．5D．7

二、填空题

17．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：

①?

ab＞0；

②‚方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；

③ƒa+b+c＞0；

④当x＞1时，随x值的增大而增大．

其中正确的说法有　　．

18．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=　　．

19．如图，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　　．

20．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第

　　象限．

三、解答题

21．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求梯形COBD的面积．

22．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，且点D纵坐标为t，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

24．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：

（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．

注：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣

，

）．

25．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．

26．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．

参考答案与试题解析

【考点】H4：

二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：

A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；

B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，

所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；

C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；

D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点的个数判断b2﹣4ac与0的关系．

∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴在y轴右边，

∴a，b异号即b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在正半轴，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0．

故选D．

【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：

开口方向向上，则a＞0；

否则a＜0．

（2）b由对称轴和a的符号确定：

由对称轴公式x=

判断符号．

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：

交点在y轴正半轴，则c＞0；

否则c＜0．

（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：

2个交点，b2﹣4ac＞0；

1个交点，b2﹣4ac=0；

没有交点，b2﹣4ac＜0．

【分析】由于抛物线过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0；

利用抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；

由于x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，变形得2a+b+

=0，则根据0＜c＜2得2a+b+1＞0；

根据根与系数的关系得到2x1=

，即x1=

，所以﹣2＜

＜﹣1，变形即可得到2a+c＞0．

如图，

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴相交，

∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=﹣

＞0，

∴b＞0，

∴abc＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以②正确；

当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，

∴2a+b+

=0，

∵0＜c＜2，

∴2a+b+1＞0，所以③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），

∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，2，

∴2x1=

而﹣2＜x1＜﹣1，

∴﹣2＜

＜﹣1，

∵a＜0，

∴﹣4a＞c＞﹣2a，

∴2a+c＞0，所以④正确．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；

对称轴为直线x=﹣

；

抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；

当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；

当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；

当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．

二次函数图象与系数的关系；

H3：

二次函数的性质．

【分析】根据抛物线的开口方向可得a＜0，根据抛物线对称轴可得方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣1，x=3；

根据图象可得x=1时，y＞0；

根据抛物线可直接得到x＜1时，y随x的增大而增大．

A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误；

B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；

C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：

y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误；

D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误；

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得到正确信息．

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；

当a＜0时，抛物线向下开口；

IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）

③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

C．

G4：

反比例函数的性质．

【分析】根据反比例函数图象的性质确定出m＜0，则二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案．

∵反比例函数y=

，中，当x＞0时，y随x的增大而增大，

∴根据反比例函数的性质可得m＜0；

该反比例函数图象经过第二、四象限，

∴二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．

∴只有A选项符合．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数图象、反比例函数图象．利用反比例函数的性质，推知m＜0是解题的关键，体现了数形结合的思想．

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．

A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；

B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故选项B错误；

C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；

D、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣

=

=1，故选项D正确．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键．

【分析】分别结合图象判定出x=1，﹣1，2时对应y的值，再利用对称轴位置以及抛物线与坐标轴交点得出答案．

如图所示：

当x=1时，y=a+b+c＜0，故①a+b+c＜0正确；

当x=﹣1时，y=a+b+c＜0，故②a﹣b+c＞0，错误；

③∵﹣

＞﹣1，

∴

＜1，

∴b＞2a，

即2a﹣b＜0，故此选项正确；

∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵0＞﹣

∴b＜0，

∵抛物线与y轴交与负半轴，

∴c＜0，

∴abc＜0，

故选项④正确；

当x=2时，⑤y=4a+2b+c＜0，故此选项错误，

故错误的有2个．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．

【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标即可确定；

②根据抛物线与x轴的交点情况即可判定；

③根据抛物线的对称轴即可判定；

④根据抛物线的顶点纵坐标即可判定．

①抛物线与y轴正半轴相交，∴c＞0，故①正确；

②抛物线与x轴相交于两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；

③∵抛物线的对称轴为x=

，∴x=﹣

，∴a+b=0，故③正确；

④∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴

=1，∴4ac﹣b2=4a，故④错误；

其中错误的是④．

【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用．

【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣

=1，则可对①进行判断；

由抛物线开口方向得到a＜0，由b=﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；

利用x=1时，y＞0可对③进行判断；

根据二次函数的性质对④进行判断．

∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

∴﹣

=1，即2a+b=0，所以①正确；

∵抛物线开口向下，

∵b=﹣2a，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴abc＜0，所以②正确；

∵x=1时，y＞0，

∴a+b+c＞0，所以③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以④正确．

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

抛物线向下开口；

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：

抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；

B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；

C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；

D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣

＞0．

【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

【分析】根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；

把x=2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．

∵二次函数的图象的开口向上，

∴a＞0，

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，

=﹣1，

∴b=2a＞0，

∴abc＜0，∴①正确；

2a﹣b=2a﹣2a=0，∴②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），

∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：

y=4a+2b+c＞0，∴③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1，

∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，

∵

＜3，

∴y2＜y1，∴④正确；

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．

【分析】由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断．

根据图象得：

a＜0，c＜0，b＜0，

则ac＞0，bc＞0，

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；

当x=1时，y=1+b+c=1；

当x=3时，y=9+3b+c=3；

当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．

∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，

∴b2﹣4ac＜0；

故①错误；

当x=1时，y=1+b+c=1，

故②错误；

∵当x=3时，y=9+3b+c=3，

∴3b+c+6=0；

③正确；

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，

∴x2+bx+c＜x，

∴x2+（b﹣1）x+c＜0．