最新六年级奥数专题《构造与论证》含答案解析Word文档格式.docx

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但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?

构造2×

97，3×

96，4×

95，…，44×

45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求.

10.在10×

19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【分析与解】首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．

下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．

如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能．

如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.

12．在1000×

1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点．求n的最小值．

【分析与解】首先确定1998不行．反例如下：

其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999-999=1000，如果是大于1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；

如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999．

14．在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个4×

4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

【分析与解】至少要除去6个点，如下所示为几种方法：

构造与论证2

内容概述

组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

2．甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；

在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24？

【分析与解】不妨设甲、乙比赛时，1～15号是男女对垒，乙、丙比赛时．在1～15号中有a台男女对垒，15号之后有9-a台男女对垒（0≤a≤9）

甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数是15-a（如果1号乙与1号丙是男女对垒，那么1号甲与1号丙就不是男女对垒），15号之后，有9-a台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为

15-a+9-a=24-2a≤24．

仅在a=0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于24．

4．将15×

15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：

至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．

【分析与解】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之问的数目不同．那么红色最少也会占：

0+1+2+…+14=105个格子．

同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：

3×

（0+l+2+…+14）=315个格子．

但是，现在只有15×

15=225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证．

6.4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：

至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．

【分析与解】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．

由于每人送出2件礼物，图中共有4×

2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线．

四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点（有一点可以与前面的点相同）之间也连了2条线．

即为所证结论。

8．若干台计算机联网，要求：

①任意两台之间最多用一条电缆连接；

②任意三台之间最多用两条电缆连接；

③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆．若按此要求最少要用79条电缆．

问：

（1）这些计算机的数量是多少台?

（2）这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?

【分析与解】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件③表明图是连通图．

我们看一看几个点的连通图至少有多少条线．可以假定图没有圈（如果有圈，就在圈上去掉一条线），从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉．考虑剩下的n-1个点的图，它仍然是连通的．用同样的办法又可去掉一点及一条线．这样继续下去，最后只剩下一个点．因此n个点的连通图至少有n-1条线（如果有圈，线的条数就会增加），并且从一点A向其他n-1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线．

因此，

（1）的答案是n=79+1=80，并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网．

下面看看最多连多少条线．

在这80个点（80台计算机）中，设从

引出的线最多，有k条，与

相连的点是

，…，

由于条件，

…，

之间没有线相连．

设与

不相连的点是

，

，则m+k=80，而

…,

每一点至多引出k条线，图中至多有mk条线，因为

≤

所以m×

k≤1600，即连线不超过1600条．

另一方面，设80个点分为两组：

；

第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有40×

40=1600条线．

10．在一个6×

6的方格棋盘中，将若干个1×

1的小方格染成红色．如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格?

【分析与解】方法一：

显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图A所示，但是在图B中，划去3行3列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红色（依据对称性，应将2个方格同时涂成红色），如图C所示，但是图D的划法，又使剩下的方格没有红色，于是再将两个方格涂成红色（还是由于对称的缘故，将2个方格涂成红色），得到图E，图E不管怎么划去3行3列，都能使剩下的方格含有红色的．

这时共涂了10个方格．

方法二：

一方面，图F表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格．

另一方面，如果只涂9个红色方格，那么红格最多的三行至少有6个红格（否则第三多的行只有1个红格，红格总数≤5+3=8），去掉这三行至多还剩3个红格，再去掉三列即可将这三个红格也去掉．

综上所述，至少需要将10个方格涂成红色．

12.证明：

在6×

6×

6的正方体盒子中最多可放入52个1×

l×

4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．

【分析与解】先将6×

6×

6的正方体盒子视为实体，那么6×

6的正方体可分成216个小正方体，这216个小正方体可以组成27个棱长为2的正方体．我们将这27个棱长为2的正方体按黑白相间染色，如下图所示．

其中有14个黑色的，13个白色的，而一个白色的2×

2×

2的正方体可以对应的放人4个每个面都与盒子侧面平行的1×

4的小长方体，所以最多可以放入13×

4=52个1×

1×

4的小长方体．

评注：

6的正方体的体积为216，1×

4的小长方体的体积为4，所以可放入的小正方体数目不超过216÷

4=54个．

14．用若干个l×

6和1×

7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×

12的大长方形，最少要用小长方形多少个?

【分析与解】我们先通过面积计算出最优情况：

11×

12=132，设用1×

6的小长方形x个，用1×

7的小长方形y个，有

．

解得：

（t为可取0的自然数），共需x+y=19+t个小长方形．

（1）当t=0时，即x+y=1+18=19，表示其中的1×

6的小长方形只有1个，剩下的18个小长方形都是

7的．

大长方形中无论是1行还是1列，最多都只能存在1个l×

7的小长方形，所以在大长方形中最多只能无重叠的同时存在16个l×

7的小长方形．

现在却存在18个1×

7的小长方形，显然不满足；

（2）当t=l时，即x+y=8+12=20，有如下分割满足，所以最少要用小长方形20个．

代数法解题

一、知识要点

有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。

二、精讲精练

【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有4/5合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？

【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，列方程求解。

解：

设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。

（x+12）×

4/5+x＝42

4/5x+9+x＝42

9/5x＝42－9又3/5

x＝18

18+12＝30（个）

答：

甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。

练习1：

1．某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的3/4得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？

2．有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的2/5是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？

3．六年级甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？

【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少1/4，女生减少1/6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？

【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。

设女生有x人，则男生有（x+10）人

（1－1/6）x＝（x+10）×

（1－1/4）

x＝90

90+90+10＝190人

原来一共有190名学生在阅览室看书。

练习2：

1．某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。

今年参加无线电小组的同学减少1/5，参加航模小组的人数减少1/10，这样，两个组的同学一样多。

去年两个小组各有多少人？

2．原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加5/8，乙书架上的书增加3/10，这样，两个书架上的书就一样多。

原来甲、乙两个书架各有图书多少本？

3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。

今天生产的甲种零件比昨天少1/10，生产的乙种零件比昨天增加3/20，两种零件共生产了2065个。

昨天两种零件共生产了多少个？

【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的1/5比乙校参加人数的1/4少1人，甲、乙两校各有多少人参加？

【思路导航】这题中的等量关系是：

甲×

1/5＝乙×

1/4－1

设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。

1/5x＝（22－x）×

x＝10

22－10＝12（人）

甲校有10人参加，乙校有12人参加。

练习3：

1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？

2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？

3．王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人各加工了多少个？

【例题4】甲书架上的书是乙书架上的5/6，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的4/7，甲、乙两书架上原有书各多少本？

【思路导航】这道题的等量关系是；

甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的4/7。

设乙书架上原有x本，则甲书架上原有5/6x本。

（x－154）×

4/7＝5/6x－154

x＝252

252×

5/6＝210（本）

甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。

练习4：

1．儿子今年的年龄是父亲的1/6，4年后儿子的年龄是父亲的1/4，父亲今年多少岁？

2．某校六年级男生是女生人数的2/3，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的3/4。

原来男、女生各有多少人？

3．第一车间人数的3/5等于第二车间人数的9/10，第一车间比第二车间多50人。

两个车间各有多少人？

【例题5】一个班女同学比男同学的2/3多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等。

这个班男、女生各有多少人？

【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这个等量关系列方程。

设男生有x人，则女生有（2/3x+4）人。

x－3＝2/3x+4+4

x＝33

2/3×

33+4＝26（人）

这个班男生有33人，女生有26人。

练习5：

1．某学校的男教师比女教师的3/8多8人。

如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。

这个学校男、女教师各有多少人？

2．某无线电厂有两个仓库。

第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。

如果从第一仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的4/9。

两个仓库原来各有电视机多少台？

3．某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的4/5少30人。

如果从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的3/4。

求原来每个车间的人数。

定义新运算

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：

*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×

、÷

”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

【例题1】假设a*b=（a+b）+（a-b），求13*5和13*（5*4）。

13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26

5*4=（5+4）+（5-4）=10

13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26

【思路导航】这题的新运算被定义为：

a*b等于a和b两数之和加上两数之差。

这里的“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

1.将新运算“*”定义为：

a*b=（a+b）×

（a-b）.。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a－b×

1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：

p△q=4×

q-（p+q）÷

2。

求3△（4△6）。

3△（4△6）

＝3△【4×

6－（4+6）÷

2】

＝3△19

＝4×

19－（3+19）÷

2

＝76－11

＝65

【思路导航】根据定义先算4△6。

在这里“△”是新的运算符号。

1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×

q－（p+q）÷

2，求5△（6△4）。

2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×

求30△（5△3）。

3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；

210*2=________。

【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。

因此

1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。

2．规定，那么8*5=________。

3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷

（2*6）=________。

【例题4】规定②=1×

3，③=2×

3×

4，④=3×

4×

5，⑤=4×

5×

6，……如果1/⑥－1/⑦=1/⑦×

A，那么，A是几？

A=（1/⑥－1/⑦）÷

1/⑦

=（1/⑥－1/⑦）×

⑦

=⑦/⑥－1

=（6×

7×

8）/（5×

7）－1

=1又3/5－1

=3/5

@=（a－1）×

a×

（a＋1），据此，可以求出1/⑥－1/⑦=1/（5×

7）－1/（6×

8），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。

根据1/⑥－1/⑦=1/⑦×

A，可得出A=（1/⑥－1/⑦）÷

1/⑦=（1/⑥－1/⑦）×

⑦=⑦/⑥－1。

即

1．规定：

②=1×

3，③＝2×

4，④＝3×

5，⑤＝4×

6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×

A，那么A=________。

2．规定：

③＝2×

6，⑥＝5×

7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×

□，那么□＝________。

3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。

【例题5】设a⊙b=4a－2b+1/2ab,

求z⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。

【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×

4-2×

1+1/2×

1＝16，再根据x⊙16＝4x－2×

16+1/2×

x×

16=12x－32，然后解方程12x－32=34，求出x的值。

列算式为

4⊙1＝4×

1＝16

x⊙16＝4x－2×

16

＝12x－32

12x－32=34

12x=66

x＝5.5

1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。

2．对两个整数a和b定义新运算“△”：

a△b=

，求6△4+9△8。

3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：

x*y＝

（其中m是一个确定的整数）。

如果1*2＝1，那么3*12＝________。