直线与平面的平行垂直判定经典例题资料讲解Word格式文档下载.docx

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判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

a⊂α，b⊄α，a∥b

a∥α

a∥α，a⊂β，α∩β＝b

结论

b∥α

a∥b

4.面面平行的判定与性质

α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

α∥β，a⊂β

α∥β

2、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾

1．直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：

一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

2．斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．

3．平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

（2）平面与平面垂直的性质

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

4．二面角的有关概念

（1）二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

（2）二面角的平面角：

二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

[难点正本　疑点清源]

1．两个平面垂直的性质定理

两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作（找）一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.

2．两平面垂直的判定

（1）两个平面所成的二面角是直角；

（2）一个平面经过另一平面的垂线．

方法与技巧

1．证明线面垂直的方法

（1）线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

（2）判定定理1：

⇒l⊥α；

（3）判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

（4）面面平行的性质：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

（5）面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

2．证明线线垂直的方法

（1）定义：

两条直线所成的角为90°

；

（2）平面几何中证明线线垂直的方法；

（3）线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

（4）线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

3．证明面面垂直的方法

（1）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

4．转化思想：

垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．

失误与防范

1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．

三、经典例题讲解

（1）直线与平面垂直的判定与性质

例1：

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，

AC⊥CD，∠ABC＝60°

，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

（2）平面与平面垂直的判定与性质

例2：

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，

E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为

B1C1的中点．

求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

（3）线面、面面垂直的综合应用

例3：

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4

.

（1）设M是PC上的一点，求证：

平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积．

（4）线面角、二面角的求法

例4：

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，

∠ABC＝60°

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）证明AE⊥平面PCD；

（3）求二面角A—PD—C的正弦值．

选择题：

1、如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，

则下列结论中不正确的是（　　）

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

2、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

3、已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．若l⊥α，α⊥β，则l∥β

B．若l∥α，α⊥β，则l∥β

C．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥α

D．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m

4、已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝

，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（　　）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

填空题：

1．在正四棱锥P—ABCD中，PA＝

AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．

2．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；

②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；

④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.

其中正确命题的序号是________．

解答题：

1、

（1）如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）．

2、如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，

（1）求证：

EF∥平面ABCD；

（2）设M为线段C1C的中点，当

的比值为多少时，DF⊥平面D1MB？

并说明理由．

3、如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°

，

A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝

平面A1BC⊥平面ACC1A1；

（2）如果D为AB中点，求证：

BC1∥平面A1CD.

5、课后练习

1、已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（　　）

B.

C.

2、已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：

①PA⊥BC；

②PB⊥AC；

③PC⊥AB；

④AB⊥BC.

其中正确的个数是________．

3、如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°

，E，F分别是AP，AD的中点．

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.