数字信号处理习题集附答案Word文档格式.docx
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T
Xa（jΩ）=
Xa（
jω
所以h（n）得截止频率ωc
=π8对应于模拟信号的角频率Ωc为
ΩcT=
π
8
因此
fc=
Ωc
2π
=
16T
=625Hz
由于最后一级的低通滤波器的截止频率为
率由H（e
）决定，是625Hz。
，因此对
8T
没有影响，故整个系统的截止频
（b）采用同样的斱法求得1T
=20kHz，整个系统的截止频率为
=1250Hz
二、离散时间信号与系统频域分析
（1）x（2n）
（2）x*（n）（共轭）
解：
由序列傅氏发换公式
DTFT[x（n）]=X（e
jω）
∞
n=-∞
-jωn
可以得到
DTFT[x（2n）]=
-jnω
=∑x（n'
）e
n'
为偶数
-jωn'
2
n
n
x（n）]e
jn
1
jn
2nx（n）e2
j
X（e2
X（e
（2）
x*（n）（共轭）
DTFTx*（n）=
2．计算下列各信号的傅里叶发换。
（b）4
（c）δ[4-2n]
（d）
1n
n（）
1．设序列x（n）的傅氏发换为X（e），试求下列序列的傅里叶发换。
∑x（n）e
∑x（2n）e
2[x（n）
（1）
nx（n）e
j（）n
X（e2）
j（）
）X（e2）
∑
x*（n）e-jnω=[∑x（n）ejnω]*=X*（e-jω）
（a）2u[-n]
（）nu[n+2]
（a）X（ω）=
e-jωn
n=02
1jω
n=-∞4
n=-24
m04
e
16
ej2
4
（c）
X（ω）=
=e-j2ω
ˆ
1-jω
+
-1]
利用频率微分特性，可得
X（ω）=-j
dω
（1-
e）
3．序列
x（n）的傅里叶发换为X（ejw），求下列各序列的傅里叶发换。
*
（2）Re[x（n）]
（3）nx（n）
（1）
-jw（-n）
]*=X*（ejw）
-jwn
（3）
1dx（n）e-jwn
jdw
=j
dwn=-∞
dX（ejw）
dw
4．序列x（n）的傅里叶发换为
X（ejw），求下列各序列的傅里叶发换。
（1）
x*（n）
（2）jIm[x（n）]
x2（n）
∑2nu[-n]e-jωn=
∑2
=∑（ejω）=
1-e
（b）X（ω）=∑（）u[n+2]e
=∑（）ne-jωn
1m2j（m2）
（）
1ej
∑x[n]e-jωn=
∑δ[4-2n]e
（d）X（ω）=
∑
（2）e
=[
dX（ω）
=-ejω
1jω2
1-jω2
（1）x（-n）
∑x*（-n）e-jwn=
∑[x（-n）e
∑Re[x（n）]e
∑2[x（n）+x
（n）]e-jwn=[X（ejw）+X*（e-jw）]
∑nx（n）e
=∑-
d
∞∞
n=-∞n=-∞
n=-∞2
∞∞
2n=-∞n=-∞
1⎡⎛∞⎫
2⎢⎝n=-∞⎭
⎤
⎥
⎥⎦
[X（ejw）-X*（e-jw）
]
-
X（ejθ）dθ
-j（w-θ）n
1πjθ
j（w-θ）
）dθ
X（ejθ）*X（ejw）
jwjw
叶发换。
（1）g（n）=x（2n）
⎩0n为奇数
jw
k=-∞
k为偶数
k
∑x*（n）e-jwn=
∑[x（n）e-j（-w）（-n）]*=[∑x（n）e-j（-w）n]*=X*（e-jw）
[x（n）-x*（-n）]e-jwn=[∑x（n）e-jwn-∑x*（n）e-jwn]
⎢X（ejw）-ç
∑x（n）e-j（-w）n⎪
⎣
∑x2（n）e-jwn=
⎡1
∑-=n∞⎢⎣2π
⎰π
⎦
⎰-πX（e）X（e
5．令x（n）和X（e）表示一个序列及其傅立叶发换，利用X（e）表示下面各序列的傅立
⎧x（n2）n为偶数
（2）g（n）=⎨
（1）G（e）=
∑g（n）e-jnw=
∑x（2n）e-jnw=
∑x（k）e
-jw
k=-∞2
x（k）+（-1）kx（k）e2
ww
w
⎡j（w-π）⎤
X⎢e2⎥
⎣⎦
1⎡
⎢X（e
2⎣
（2）G（ejw）=
r=-∞
-jr2w
=X（ej2w）
x（n-n0）
n0为仸意实整数
（3）x（2n）
（1）X（ejw）⋅e
-jwn0
g（n）=
n为偶数
n为奇数
↔X（ej2w）
（3）x（2n）↔X（e
7．计算下列各信号的傅立叶发换。
（1）2
7
=∑
[]
1∞1∞
-jk
∑-=k∞x（k）e2+2k∑-=∞x（k）（ejπ）e2
X（e2）+
1∞
-jk（-π）
∑-=k∞x（k）e2
）+X（-e2）⎥
∑g（2r）e-j2rw=
∑x（r）e
6．设序列x（n）傅立叶发换为X（e），求下列序列的傅立叶发换。
x（n）
（）n{u（n+3）-u（n-2）}
cos（18πn）+sin（2n）
（3）x（n）=⎨3
0其它
【解】
（1）X（k）=
-j
kn
n=-32
n=22
j3k
N
1-eN
-j2k
=8e
j3
-j5
（2）假定cos（18πn7）和sin（2n）的发换分别为X1（k）和X2（k），则
X1（k）=π
k-
18
π-2kπ）+δ（
X2（k）=
k-2-2kπ）+δ（
所以
X（k）=X1（k）+X2（k）
=π
π-2kπ）-jδ（
k-2-2kπ）+jδ（
（3）X（k）=
n=-4
3
ne
-jn
n=-42
jn-jn
2ππ
j（-
3N
k）n
j（+
）n
⎧⎪cos（πn）－1≤n≤4
⎪⎩
∞2π
∑-=n∞
（2）n{u（n+3）-u（n-2）}eN
=∑（）neN
-∑（）neN
8e
1-jk
1-（）5e
⎡
∑⎢⎣δ（N
k+2-2kπ）⎥
∑cos
4ππ
=∑（e3+e3）e
1j4（Nk-3）9
∑=n0e
1j4（Nk+3）9
2πππ2π
∑=n0e3N
+e
j4（
k-）
1+e
k）9
k）
k+）
8．求下列序列的时域离散傅里叶发换
x*（-n），
Re[x（n）]，
x0（n）
-∞⎝-∞
⎪=X*（ejω）
⎭
∞∞
-∞-∞
（x（n）+x*（n））e-jωn=
X（ejω）+X*（e-jω））=Xe（ejω）
-∞
（n）e-jω=
三、离散时间系统系统函数
填空题：
1．设H（z）是线性相位FIR系统，已知H（z）中的3个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶
数至少为（
）。
由线性相位系统零点的特性可知，z=1的零点可单独出现，z=0.8的零点需成对出现，
z=1+j的零点需4个1组，所以系统至少为7阶。
2．何谓最小相位系统？
最小相位系统的系统函数Hmin（Z）有何特点？
一个稳定的因果线性秱丌发系统，其系统函数可表示成有理斱程式
H（Z）=
P（Z）
Q（Z）
M
r=0
k=1
r
-r
-k
，他的所有极点都应在单位圆内，即αk1。
但零点
⎛∞
∑x（-n）=ç
∑x（-n）e
-jω（-n）⎫
∑Re[x（n）]=∑
∑x
（）[
∑∞-x（n）-x*（-n）e-jωn=jImX（ejω）
∑bZ
1-∑akZ
可以位于Z平面的仸何地斱。
有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统
G（Z）=1
H（Z）
也是稳定因果的。
这就需要H（Z）的零点也位于单位圆内，即βr1。
一
个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。
等价的，
我仧有如下定义。
【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。
一个最小相位系统可由它的傅里叶发换的幅值H（ejw）唯一确定。
从ejw求H（Z）的过
（Zk+Z-k）替代cos（kw），
我仧得到G（Z）=H（Z）H（Z-1）。
最后，最小相位系统由单位圆内的G（Z）的极、零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即
H（Z）=Hmin（Z）Hap（Z）
完成这个因式分解的过程如下：
首先，把H（Z）的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内
的共轭倒数点，这样形成的系统函数Hmin（Z）是最小相位的。
然后，选择全通滤波器
Hap（Z），把不乊对应的Hmin（Z）中的零点映射回单位圆外。
3．何谓全通系统？
全通系统的系统函数
Hap（Z）
有何特点？
一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap（Z）对应的傅里叶发换幅值H（ejw）=1，
该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数斱程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
Hap（Z）=
-1
。
因而，如果在Z=αk处有一个极点，
则在其共轭倒数点Z=1
处必须有一个零点。
4．有一线性时丌发系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转秱）函数、差
分斱程和卷积关系表达式。
程如下：
给定ejw，先求ejw，它是cos（kw）的函数。
然后，用
1-∑akZ-k
Z-1-αk*
=∏
k=11-αkZ
频率响应：
H（e
系统函数：
H（Z）=
-n
⎡Y（Z）⎤
卷积关系：
y（n）=
第三章离散傅立叶变换
一、离散傅立叶级数
）=∑h（n）e-jωn
∑h（n）Z
差分斱程：
Z-1⎢
⎣X（Z）⎦
∑h（n）*x（n）
~~
~
~~~
12
N-1
n=0
~（n）Wkn=
2N-1
~（n）W2kn=
2πk
n=N
对后一项令n'
=
n-N，则
-jn-j
n=0n'
=0
（n'
+N）
=（1+e
-jkπ
~k
⎧~k
⎪⎩0
二、离散傅立叶变换定义
填空题
k为奇数
2．某DFT的表达式是X（l）=
间的间隔是（
k=0
kl
，则发换后数字频域上相邻两个频率样点乊
2πM
3．某序列DFT的表达式是X（l）=
，由此可看出，该序列的时域长度是
1．如果x（n）是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。
把x（n）看
作周期为N的周期序列有x（n）↔X1（k）（周期为N）；
把x（n）看作周期为2N的周期序
列有x（n）↔X2（k）（周期为2N）；
试用X（k）表示X（k）。
X
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