数字信号处理习题集附答案Word文档格式.docx

1、TX a （ j） =X a （j所以 h（n） 得截止频率 c= 8 对应于模拟信号的角频率 c 为 cT =8因此f c = c2=16T= 625Hz由于最后一级的低通滤波器的截止频率为率由 H （e） 决定，是 625Hz。，因此对8T没有影响，故整个系统的截止频（b）采用同样的斱法求得1 T= 20kHz ，整个系统的截止频率为= 1250Hz二、离散时间信号与系统频域分析（1） x（2n）（2） x * （n） （共轭）解：由序列傅氏发换公式DTFT x（n） = X （ej ）n=- jn可以得到DTFT x（2n） =- jn= x（n）en为偶数- jn2 n nx（n）e

2、j n1 jn 2 n x（n）e 2jX （e 2X （e（2）x * （n） （共轭）DTFT x * （n） =2计算下列各信号的傅里叶发换。（b） 4（c） 4 - 2n（d）1 nn（ ）1设序列 x（n） 的傅氏发换为 X （e ） ，试求下列序列的傅里叶发换。 x（n）e x（2n）e 2 x（n） （ 1） n x（n）e j （ ） n X （e 2 ） j （ ） X （ e 2 ）x * （n）e - jn = x（n）e jn * = X * （e - j ）（a） 2 u-n（ ） n un + 2（a） X （） =e - jnn=0 21 jn=- 4n=-2 4

3、m 0 4e 16e j 2 4（c）X （） = e - j 21 - j+- 1利用频率微分特性，可得X （） = - jd（1 -e ）3序列x（n） 的傅里叶发换为 X （e jw ） ，求下列各序列的傅里叶发换。*（2） Re x（n）（3） nx（n） （1）- jw（ - n） * = X * （e jw ）- jwn（3）1 dx（n）e - jwnj dw= jdw n=-dX （ e jw ）dw4序列 x（n） 的傅里叶发换为X （e jw ） ，求下列各序列的傅里叶发换。（1）x * （n）（2） j Imx（n）x 2 （n） 2 nu-ne - jn = 2= （

4、e j ） =1 - e（b） X （） = （ ）un + 2e= （ ） n e - jn1 m 2 j （ m 2） （ ）1 e j xne - jn = 4 - 2ne（d） X （） =（ 2） e= dX （）= - e j1 j 21 - j 2（1） x （-n） x * （-n）e - jwn = x（-n）e Re x（n）e 2 x（n） + x（n）e - jwn = X （e jw ） + X * （e - jw ） nx（n）e= -d n=- n=-n=- 2 2 n=- n=-1 2 n=- X （e jw ） - X * （e - jw ）-X （e j ）

5、 d- j （ w- ） n1 jj （ w- ）dX （e j ） * X （e jw ）jw jw叶发换。（1） g（n） = x（2n） 0 n为奇数jwk =-k为偶数k x * （n）e - jwn = x（n）e - j （- w）（ - n） * = x（n）e - j （ - w） n * = X * （e - jw ） x（n） - x * （-n）e - jwn = x（n）e - jwn - x * （n）e - jwn X （e jw ） - x（n）e - j （ - w） n x 2 （n）e - jwn = 1-=n 2 - X （e ） X （e5令 x（n）

6、和 X （e ） 表示一个序列及其 傅立叶发换，利 用 X （e ） 表示下面各序列的傅立x（n 2） n为偶数（2） g （n） = （1） G（e ） = g （n）e - jnw = x（2n）e - jnw = x（k ）e- j wk =- 2x（k ） + （-1） k x（k ） e 2w ww j （ w - ） X e 2 1 X （e2 （2） G（e jw ） =r =- jr 2 w= X （e j 2 w ）x（n - n0 ）n0 为仸意实整数（3） x（2n）（1） X （e jw ） e- jwn0g（n） =n 为偶数n 为奇数 X （e j 2w ）（3）

7、x（2n） X （e7计算下列各信号的傅立叶发换。（1） 27= 1 1 - jk-=k x（k ）e 2 + 2 k-= x（k ）（e j ）e 2X （e 2 ） +1 - jk （ - ）-=k x（k ）e 2） + X （-e 2 ） g （2r）e - j 2rw = x（r）e6设序列 x（n） 傅立叶发换为 X （e ） ，求下列序列的傅立叶发换。x（n ）（ ） n u（n + 3） - u（n - 2）cos（18n ） + sin（2n）（3） x（n） = 30 其它【解】（1） X （k ） =- jknn=-3 2n=2 2j 3 kN1 - e N- j 2 k

8、= 8ej 3- j 5（2）假定 cos（18n 7） 和 sin（2n） 的发换分别为 X 1 （k ） 和 X 2 （k ） ，则X 1 （k ） = k -18 - 2k ） + （X 2 （k ） =k - 2 - 2k ） + （所以X （k ） = X 1 （k ） + X 2 （k ）= - 2k ） - j （k - 2 - 2k ） + j （3） X （k ） =n=-43ne- jnn=-4 2j n - j n2 j （ -3 Nk ） nj （ +） ncos（n ） 1 n 4 2-=n （ 2 ） n u（n + 3） - u（n - 2）e N= （ ） n

9、e N- （ ） n e N8e1 - j k1 - （ ） 5 e （ Nk + 2 - 2k ） cos4 = （e 3 + e 3 ）e1 j 4（ N k - 3 ） 9=n 0 e1 j 4（ N k + 3 ） 92 2=n 0 e 3 N+ ej 4（k - ）1 + ek ）9k ）k + ）8求下列序列的时域离散傅里叶发换x * （-n） ，Rex（n），x0 （n）- - = X * （e j ） - -（x（n） + x * （n）e - jn =X （e j ） + X * （e - j ） = X e （e j ）-（n）e - j =三、离散时间系统系统函数填空题：

10、1设 H （ z） 是线性相位 FIR 系统，已知 H （ z） 中的 3 个零点分别为 1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（）。由线性相位系统零点的特性可知，z = 1的零点可单独出现，z = 0.8 的零点需成对出现，z = 1 + j 的零点需 4 个 1 组，所以系统至少为 7 阶。2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数 H min （Z ） 有何特点？一个稳定的因果线性秱丌发系统，其系统函数可表示成有理斱程式H （Z ） =P（Z ）Q（Z ）Mr =0k =1r-r-k，他的所有极点都应在单位圆内，即 k 1 。但零点 x （-n） = x（-n）e- j （ - n） Re

11、x（n） = x（ ） - x（n） - x * （-n） e - jn = j Im X （e j ） b Z1 - ak Z可以位于 Z 平面的仸何地斱。有些应用中 ，需要约束一个系统， 使它的逆系统G（Z ） = 1H （Z ）也是稳定因果的。这就需要 H （Z ） 的零点也位于单位圆内，即 r 1 。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我仧有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶发换的幅值 H （e jw ） 唯一确定。从 e jw 求 H （Z ） 的过（Z k

12、 + Z -k ） 替代 cos（kw） ，我仧得到 G（Z ） = H （Z ）H （Z -1 ） 。最后，最小相位系统由单位圆内的 G（Z ） 的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即H （Z ） = H min （Z ）H ap （Z ）完成这个因式分解的过程如下：首先，把 H （Z ） 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的 共 轭 倒 数 点 ， 这 样 形 成 的 系 统 函 数 H mi n（Z ） 是 最 小 相 位 的 。 然 后 ， 选 择 全 通 滤 波 器H ap （Z ） ，把不乊对应的 H min （Z ） 中的零点映射

13、回单位圆外。3何谓全通系统？全通系统的系统函数H ap （Z ）有何特点？一个稳定的因果全通系统， 其系统函数 H ap （Z ） 对应的傅里叶发换幅值 H （e jw ） = 1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数斱程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即H ap （Z ） =-1。因而，如果在 Z = k 处有一个极点，则在其共轭倒数点 Z = 1处必须有一个零点。4有一线性时丌发系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转秱）函数、差分斱程和卷积关系表达式。程如下：给定 e jw ，先求 e jw ，它是 cos（kw） 的函数。然后，用1 - ak Z -kZ -1 - k*=

14、 k =1 1 - k Z频率响应： H （e系统函数： H （Z ） =-n Y （Z ） 卷积关系： y（n） =第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数） = h（n）e - jn h（n）Z差分斱程： Z -1 X （Z ） h（n） * x（n） 1 2N -1n=0（n）W kn =2 N -1（n）W2kn =2 kn= N对后一项令 n =n - N ，则- j n - jn=0 n=0（ n+ N ）= （1 + e- jk k k 0二、离散傅立叶变换定义填空题k为奇数2某 DFT 的表达式是 X （l ） =间的间隔是（k =0kl，则发换后数字频域上相邻两个频率样点乊 2 M3 某 序列 DFT 的表 达式 是 X （l ） =， 由此 可看出 ，该 序列 的时 域长 度是1如果 x （n） 是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把 x （n） 看作周期为N的周期序列有 x （n） X 1 （k ） （周期为N）；把 x （n） 看作周期为2N的周期序列有 x （n） X 2 （k ） （周期为2N）；试用 X（k）表示 X（k）。X