七上数学竞赛题3Word文档下载推荐.docx

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9．如图所示，点C分线段AB为5：

7两部分，点D分线段AB为5：

11两部分，且CD=10cm，则AB的长为　　．

10．直线上有n个点，我们进行如下操作：

在每相邻两点间插入2个点．经过2次这样的操作后，直线上共有　　个点．（用含n的代数式表示）

11．把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为　　．

12．4点到5点之间，时针和分针成直角的时间为　　

13．已知直线上有n（n≥2的正整数）个点，每相邻两点间距离为1，从左边第1个点起跳，且同时满足以下三个条件：

①每次跳跃均尽可能最大；

②跳n次后必须回到第1个点；

③这n次跳跃将每个点全部到达，

设跳过的所有路程之和为Sn，则S25=　　．

三．解答题（共4小题）

14．如图，两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上？

15．在一个平面内任意画出6条直线，最多可以把平面分成几个部分？

n条直线呢？

16．平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？

一般地，n个圆最多能把平面分成多少个部分？

2018年08月22日136****0321的初中数学组卷

参考答案与试题解析

【分析】设在L3处为最佳，求出此时的总距离为L1L5+L2L4，假如设于任意的X处，求出总距离为L1L5+L2L4+L3X，和L1L5+L2L4比较即可．

【解答】解：

在5名工人的情况下，设在L3处为最佳，这时总距离为L1L5+L2L4，

理由是：

如果不设于L3处，而设于X处，则总距离应为L1L5+L2L4+L3X＞L1L5+L2L4，

即在L3处5个工人到供应站距离的和最小．

故选：

B．

【点评】本题考查了比较线段的长短，此题比较好，但是有一定的难度，主要考查了学生的分析问题和解决问题的能力．

【分析】共有5个人，A赛4盘，则A与B、C、D、E每人赛一盘，则B、C比赛一定不是于D赛的，依此类推即可确定．

共有5个人，A赛4盘，则A与B、C、D、E每人赛一盘；

B赛3盘，因为D赛了1盘，则这三盘一定是与A、C、E的比赛；

C赛了两盘，是与A和B赛的．

则E一共赛了2盘，是与A和B赛的．

【点评】考查了推理与论证，根据每人最多赛四盘及每人已赛的盘数间的逻辑关系进行推理是完成本题的关键．

【分析】每两站点都要设火车票，从一个城市出发到其他6个城市有6种车票，进而得出答案．

每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他6个城市有6种车票，

但是已知中是由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：

梅州﹣﹣兴宁﹣﹣华城﹣﹣河源﹣﹣惠州﹣﹣东莞﹣﹣广州，故没有往返车票，是单程车票，

所以要为这次列车制作的火车票有

×

6×

7=21种．

C．

【点评】这道题学生关键是要联系生活实际，学以致用，学为生活服务．

【分析】从圆心角的角度看，钟面圆周一周是360°

，分针一小时（60分）转一周，那么每分钟转：

360°

÷

60=6°

；

时针一小时（60分）转：

12=30°

，那么每分钟转：

30°

60=0.5°

在2点整时，分针落后时针的角度是：

2=60°

，假设时针不动，分针只要再追赶180°

+60°

=240°

（路程差），这时时针与分针就成直线；

再根据速度差为：

6°

﹣0.5°

=5.5°

，设2点x分时时钟上的分针和时针在何时反向成一直线，根据题意列出方程（6°

）x=180°

，解方程即可．

分针每分钟转：

由题意，得（6°

，

解得x=43

．

答：

在2点43

分时，时钟的分针和时针成平角．

【点评】本题考查了时间与钟面问题中钟面追及问题，关键是求出追及的路程（用角度表示）和速度差（用角度表示）．

【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．画出图形进行判断．

①如图1，在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；

②作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分．

【点评】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．此题还可分别以A、B为圆心、以6cm和4cm为半径作圆，利用直线和两圆的位置关系来进行解答．

6．平面上有10个点，其中4个点在一条直线上，其余再无3点共线，过这些点中的任意2点作直线，总共可以作的直线条数为　40　．

【分析】对过其中两点作一直线中的两个点如何取进行分类讨论，一类6个点，任选2个；

一类6个点，每个点和同线的那4个点又能组成一条直线；

一类同线的4个点组成的一条即可得结论．

由题意，除去共线的4个点，还有10﹣4=6个点

这6个点，任选2个，都能组成一条直线，可以组成：

C62=15条

这6个点，每个点和同线的那4个点又能组成一条直线，可以组成：

4=24条

再加上同线的4个点组成的一条，一共能组成：

15+24+1=40条

故答案为：

40

【点评】本题的考点是计数原理，考查学生空间想象能力，考查分类讨论的思想，属于基础题．

（1）写出第（6）个图中看不见的小立方体有　125　个；

（2）猜想并写出第（n）个图形中看不见的小立方体的个数为　（n﹣1）3　个．

【分析】分别求出排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律进行解答即可．

∵当高有1个立方体时，1=1，0=（1﹣1）3=03；

当高有2个立方体时，8=23，1=13=（2﹣1）3；

当高有3个立方体时，27=33，8=（3﹣1）3=23；

当高有4个立方体时，64=43，27=（4﹣1）3=33；

当高有5个立方体时，125=53，64=（5﹣1）3=43；

当高有6个立方体时，216=63，125=（6﹣1）3=53；

∴当高有n个立方体时，看不见的小立方体的个数为（n﹣1）3个．

125，（n﹣1）3．

【点评】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答．

8．用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得　y=

x﹣

　．

【分析】分别根据图1，求出组装x个正方形用的火柴数量，即m与x之间的关系，再根据图2找到y与m之间的等量关系，最后利用m相同写出关于x，y的方程，整理即可表示出y与x之间的关系．

由图1可知：

一个正方形有4条边，两个正方形有4+3条边，

∴m=1+3x，

由图2可知：

一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，

∴m=2+5y，

所以：

1+3x=2+5y

即y=0.6x﹣0.2．

【点评】读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．本题要注意分别找到x，y与m之间的相等关系，利用m作为等量关系列方程整理即可表示．

11两部分，且CD=10cm，则AB的长为　96cm　．

【分析】用AB表示出AC、AD，然后根据CD=AC﹣AD列出方程求解即可．

∵点C分线段AB为5：

7两部分，

∴AC=

AB=

AB，

∵点D分线段AB为5：

11两部分，

∴AD=

∴CD=AC﹣AD=

AB﹣

∵CD=10cm，

∴

AB=10，

解得AB=96cm．

96cm．

【点评】本题考查了两点间的距离，根据图形用AB表示出CD是解题的关键．

在每相邻两点间插入2个点．经过2次这样的操作后，直线上共有　9n﹣8　个点．（用含n的代数式表示）

【分析】根据n个点中间可以有（n﹣1）个空插入，从而找出规律并得解．

第一次操作，共有n+（n﹣1）×

2=3n﹣2个点，

第二次操作，共有（3n﹣2）+（3n﹣2﹣1）×

2=9n﹣8个点，

9n﹣8．

【点评】本题是对数字变化规律的考查，主要利用了直线、射线、线段的知识，找到规律是解决本题的关键．

11．把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为　24　．

【分析】从三种情况进行分析：

（1）只有棱长为1的正方体；

（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；

（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体．

棱长为4的正方体的体积为64，

如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除；

如果有一个3×

3×

3的立方体（体积27），有1×

1×

1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除；

所以应该是有2×

2×

2和1×

1两种立方体．

则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个，

解方程：

x+8×

（29﹣x）=64，

解得：

x=24．

所以分割的立方体应为：

棱长为1的24个，棱长为2的5个．

24．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解．

12．4点到5点之间，时针和分针成直角的时间为　4点5

分或4点38

分　

【分析】时针在四点与五点之间，时针与分针有2种可能会成直角，四点与五点成30度角，时针每分钟走0.5度，而分针每分钟走6度．并且时针与分针成直角分两种情况进行讨论．

（1）时针在分针前面时，120﹣6x+0.5x=90

解得x=5

（2）时针在分针后面时，6x﹣120﹣0.5x=90

解得x=38

所以在4点5

分或者4点38

分时，时针与分针成直角．

故答案为4点5

分．

【点评】本题主要考查钟面角的知识点，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意四点到五点之间，时针与分针成直角有两种情况．

设跳过的所有路程之和为Sn，则S25=　312　．

【分析】首先认真读题，明确题意．按照题意要求列表（或画图），从中发现并总结出规律．注意：

当n为偶数或奇数时，Sn的表达式有所不同．

设这n个点从左向右依次编号为A1，A2，A3，…，An．

根据题意，n次跳跃的过程可以列表如下：

第n次跳跃

起点

终点

路程

1

A1

An

n﹣1

2

An

A2

n﹣2

3

A2

An﹣1

n﹣3

…

…

n为偶数

n为奇数

n

发现规律如下：

当n为偶数时，跳跃的路程为：

Sn=（1+2+3+…+n﹣1）+

=

+

当n为奇数时，跳跃的路程为：

因此，当n=25时，跳跃的路程为：

S25=

=312．

312．

【点评】本题是对图形变化规律的考查，比较抽象．列表发现跳跃运动规律是解题的关键，同学们也可以自行画出图形予以验证．

【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上90×

3，根据其相等关系列方程得72x=65x+90×

3，再根据72x=7×

360+2

90可得出答案．

设乙第一次追上甲用了x分钟，

由题意得：

72x=65x+90×

3，

x=

而72×

=7×

90．

乙第一次追上甲是在AD边上．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

【分析】根据每两条直线都相交且三条直线不交于同一点，可得最多平面．先分别求得1条，2条，3条直线，4条直线，直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数，总结规律，进而求解．

1条直线时，平面最多被分为1+1=2部分；

2条直线时，平面最多被分为1+1+2=4部分；

3条直线时，平面最多被分为1+1+2+3=7部分；

4条直线时，平面最多被分为1+1+2+3+4=11部分；

5条直线时，平面最多被分为1+1+2+3+4+5=16部分

可知：

6条直线时：

平面最多被分为1+1+2+3+4+5+6=22部分

n条直线时：

平面最多可分为：

1+1+2+3+4+…+n=1+（1+2+3+4+…+n）=1+

（部分）．

【点评】本题考查了直线、射线、线段，每两条直线都相交且三条直线不交于同一点，可得最多平面，计算、观察、发现规律是解题关键．

【分析】运用2个圆最多能把平面分成4个部分；

3个圆最多能把平面分成8个部分；

现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，画出图形，得出第4个图形分成平面的个数，分析数据得出一般规律，得出答案．

一个圆最多能把平面分成2个部分，

2个圆最多能把平面分成4个部分；

现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，

如图所示，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成8+6=14个部分，

同理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分，

一般地，n个圆最多分平面为：

2+1×

2+2×

2+…+（n﹣1）×

2，

=2+2[1+2+…+（n﹣1）]，

=n2﹣n+2．

【点评】此题主要考查了数的规律，关键是分平面找出最多时数据之间的关系，这是解决问题的关键．