第五讲矩阵的分块矩阵的初等变换Word文档格式.docx

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但应保证运算的可行。

1.分块矩阵的加法、数乘、转置：

定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:

A11

A12

A1r

B11

B12

B1r

A21

A22

A2r,

B21

B22

B2r，

A21

J

B21

As1

As2

Asr

Bs1

Bs2

Bsr

为st个子块

（Bkj）st，

且A的列与B的行分块法

一致，

则规定

A与B的乘法为

A1s

B1t

C11

C12

C1t

A2s

B2t

C21

C22

C2t

Ar1

Ar2

Ars

Bst

Cr1

Cr2

Crt

s

其中Cij

AikBkj，

i1,2,

r;

j

1,2,t

。

i1

（2.29）

其中每一Aij与Bij的规格都对应相同，则规定加法为：

A12B12

A22B22

A2r

B2r；

；

（2.26）

As2Bs2

设为数，则规定数乘为：

A2r；

（2.27）

A1T1

A2T1

AsT1

此外，规定转置为：

AT

A1T2

A2T2

AsT2。

（2.28）

A1Tr

A2Tr

AsTr

2.分块矩阵的乘法：

定义2.11设A是m

n矩阵，

B是n

p矩阵。

若将

A分为rs个子块（Aj）rs

，将B分

三、分块对角阵：

中Ai是ri阶小方阵（阶数可不同），i1,2,,s，rin,而其余的非主对角子块都为零矩阵,

则称为A的分块对角矩阵。

例如：

若记

若代B为同阶分块对角阵且分块法相同:

A11A22I|Arr0由此可知分块三角矩阵A

As

A1

、

B1

B,

Bs

A1B1

则

AB

AB

;

（2.30）

AsBs

kA

at

（3）

at

（2.31）

kAs

aT

（4）

若每一

0，则有A1

八1

（2.32）

（2）

证：

（1）证明见本章附录。

类似于

（1）的证明，可以引出推论：

分块上三角阵

An

AI2

Arr

其中主对角子块Aii均为方阵（未必同阶），则有A

可逆的充要条件是

0,i1,,r。

分块下三角阵亦然。

（2）、（3）由分块矩阵的加法和乘法、转置和数乘的定义直接可得。

1

（4）由A0知A存在，由

AiAi

AiAi

Ei

AsAsi

Es

Ai

便得

Asi

ai

a2

50

例2.11设A=

a3

0i0i

B=

00ib3

000i

解：

令A

i

ibiib2

，求AB。

bj

i,J

i,2,3，贝UA=A

B2

B3

是，

ABj

aibj

1，

所以

AB=

AiBi

AiB2A2B3

A3B3

Bj

2a1b,a2b3

A1B2

A2B3=

2

a1b1

2a1

b2

b3

=0

A2,B=b1

A30

，其中B,D皆为可逆方阵（不必同阶）

，求证A可逆，并求A

例2.12设A

设A1

XY

其中X、T分别与B、D是同阶方阵。

由

S

T

B

C

X

YBXCSBYCT

O

D

TDSDT

E2

得矩阵方程组

BX

CS

BYCTO,DS

O,

DTE2。

由此解出：

D1,

11

DOO,XB,Y

1CT

BCD

由

（1）的推论知ABD

0，故A可逆。

所以A可逆，且有

类似可证

iB1B1CD1

A1。

0D1

BOB1O

CDD1CB1D1.

2.4初等变换与初等矩阵

（2.33）

（2.34）

、初等变换的基本过程：

定义2.12下面三种行变换称为矩阵的初等行变换:

（1）对调两行（对调i、j两行记为仃rj），称为对调变换;

（2）用数k0乘某一行中所有元素（第i行乘k记为kri），称为倍乘变换;

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上（第j行的k倍加到第i行上记为

rikrj），称为倍加变换。

将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义（将记号r换成c）。

矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

初等变换都存在着逆变换，如变换ri「的逆变换就是其本身；

变换kri的逆变换为一ri；

k

变换rikrj的逆变换为ri（k）rj；

称””为等价关系，若满足下面三条性质：

1.反身性：

AA;

2.对称性：

若有AB，则必有BA;

3.传递性：

若有AB、BC，则必有AC。

容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。

定义2.13如果矩阵A经有限次初等变换变成B，则称矩阵A与B等价。

记为AB。

初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性（这在用矩阵解线性方程组中很重要）。

化简矩阵A的主要过程是：

首先通过初等行变换把A化成行阶梯形矩阵（每行首个非零元素的下方全是零），

然后继续用初等行变换把A化成行最简形矩阵（每一非零行的首个非零元素为1,且这些1所在列

的其他元素都为零）。

此后如果再用列初等变换，还可将A进一步化成等价标准形。

3

4

例2.13设A

5

，用初等变换将其化简。

8

先用初等行变换将其化为行阶梯形，形式上相当于做由上而下的行消元:

「22儿

r33日

「32「2

〜r4「1

20

「42「2

40

9

「3

「4

若对c再进一步作初等列变换，则可得

100000

〜001000

C〜

000100

000000

010000E3O3

146，

00100000

~就是A的一个行阶梯形矩阵。

对B继续作初等行变换，形式上相当于做自下而上的行回消:

〜330

7

「22「30

「1「20

C，

c即为A的一个行最简形矩阵，是A经初等行变换所能化到的最简形式。

由定义知，Ac~。

由等价关系的传递性可知，若AB，则A、B必定有相同的标准形Imn，反之亦然。

因线性方程组与其增广矩阵是一一对应的，所以对增广矩阵的“消元”实质上就是对线性方程

组的“消元”；

在上例中，若把A看成是一个增广矩阵，则其对应的线性方程组如下：

X1

X2

X3

3x5

2x1

2x2

2x4

4x5

（2.35）

3x1

4x4

5x5

X4

8X5

矩阵C对应的线性方程组:

x1x27x51

X34x52（2.36）

x43x51

由于只经行变换得到A〜C，知方程组（2.36）与（2.35）等价（同解）；

而（2.36）实际上就是消元所得到的最简方程组，求解就容易得多了。

特别地，若A为可逆方阵，则A0,由Cramer法则知，以A为系数矩阵的线性方程组有

唯一解，此时最简方程组的系数矩阵恰为单位阵E，因此A〜E。

可见A可逆时，同阶单位阵E既

是A的行最简形，同时也是A的等价标准形。

、初等矩阵

定义2.14单位矩阵E经一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。

三种初等变换对应三种初等阵：

行（列）对调而得到的初等矩阵。

记

1、对调变换得对调初等矩阵：

由单位矩阵E的第i作

位矩阵E的第i列的k倍加到第j列而得到）的初等矩阵。

记作

1k（i）

E（j（k）,i）

1（j）

（i）（j）

可直接验证：

用一个初等矩阵乘矩阵A的结果等于对矩阵A做了一次初等变换，具体说就是：

E（i,j）A导致A的第i,j行对调（即rirj）；

AE（i,j）导致A的第i,j列对调

（即CiCj）；

E（i（k））A导致A的第i行乘k（即krj（k0）；

AE（i（k））导致A的第i列乘k（即kCi）（k0）；

E（j（k）,i）A导致A的第j行的k倍加到第i行（即rkrj；

AE（j（k）,i）导致A的第i列的k倍加到第j列（即Cjkci）。

于是立即有：

定理2.4设A是一个mn矩阵，对A进行一次初等行变换，相当于在A的左边乘一个相应

的m阶初等矩阵；

对A进行一次初等列变换，相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵。

♦

由E（i,j）E（i,j）E,E（i（k））E（i（-））E,E（j（k）,i）E（j（k）,i）E,

知：

初等矩阵皆可逆，且它们的逆阵仍为同类初等阵：

E（i,j）1E（i,j）,E（i（k））1E（i

（1））,E（j（k）,i）1E（j（k）,i）。

定理2.5可逆矩阵A可表示为若干个初等矩阵的乘积

因A

E,则E

A，则存在初等矩阵

R,P2,

Pl，使P

PrEPr1PA，即得

ARP2

P。

推论1

m

n矩阵A

B的充分必要条件是:

存在

m阶可逆矩阵

P及n阶可逆矩阵Q，使

PAQB。

（此推论证明留给读者）

推论2对可逆矩阵A和同阶单位矩阵E作同样的初等行变换，则将A变成单位矩阵的同时，

单位矩阵E也就变成了A1。

由定理2.5知，若A0,则ARP2P（其中P为初等矩阵，i1,2,,l）由此推

得

F1F1F11AE,

以及F|1F|1pT（F1F1F）1A1。

所以对A和E施行相同的初等变换F1P|1F1，贝yA变成了E,E变成了A1♦

例2.14设A

1，求

「2

记（A|E）

利用初等变换求逆矩阵的思路还可以用于解方程组；

设线性方程组的矩阵形式为

将E换作得到:

2x23x3

2x2X3

4x?

3X3

例2.15求解方程组2x1

23

21

X2,

43

则方程组可写为

AX

31

构造增广矩阵

（A|）

10,

r2

2r11

r1

「210

〜r3

比

r3

对A施行初等行变换：

02

6

00

ri2r3

r25r31

1,

（叽

1，则

1o

当然也可先求得A1

（用伴随阵或用初等变换），

再得

XA1

用初等行变换求A的逆矩阵（或求解线性方程组）

时，

不必验证

A是否可逆，

如果作变换时

左边子块出现了全零行，则表明

A不可逆,

此时需要另行讨论了

此口」需要另行讨论了。

3x2

例2.16解齐次方程组

3x3

o

4x1

5X3

因为齐次方程组的常数向量是零向量，故只要用系数矩阵来作初等行变换即可:

01

11,

变到行最简形，

知原方程组等价于下列最简方程组：

这个方程组里的独立方程只有2个，而未知量个数却为3,这样的齐次方程组不满足Cramer法则

的条件，就会有非零解。

将最简方程改写作

为=—X3

X2=X3

x1t

x1

令x3t，便得方程组的通解x2t，或

x2

1t,（tR）。

x3t

x3

关于类似情况的更一般的讨论，见第四章。