第五讲矩阵的分块矩阵的初等变换Word文档格式.docx
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但应保证运算的可行。
1.分块矩阵的加法、数乘、转置:
定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵,且分块法一致,即:
A11
A12
A1r
B11
B12
B1r
A21
A22
A2r,
B21
B22
B2r,
A21
J
B21
As1
As2
Asr
Bs1
Bs2
Bsr
为st个子块
(Bkj)st,
且A的列与B的行分块法
一致,
则规定
A与B的乘法为
A1s
B1t
C11
C12
C1t
A2s
B2t
C21
C22
C2t
Ar1
Ar2
Ars
Bst
Cr1
Cr2
Crt
s
其中Cij
AikBkj,
i1,2,
r;
j
1,2,t
。
i1
(2.29)
其中每一Aij与Bij的规格都对应相同,则规定加法为:
A12B12
A22B22
A2r
B2r;
;
(2.26)
As2Bs2
设为数,则规定数乘为:
A2r;
(2.27)
A1T1
A2T1
AsT1
此外,规定转置为:
AT
A1T2
A2T2
AsT2。
(2.28)
A1Tr
A2Tr
AsTr
2.分块矩阵的乘法:
定义2.11设A是m
n矩阵,
B是n
p矩阵。
若将
A分为rs个子块(Aj)rs
,将B分
三、分块对角阵:
中Ai是ri阶小方阵(阶数可不同),i1,2,,s,rin,而其余的非主对角子块都为零矩阵,
则称为A的分块对角矩阵。
例如:
若记
若代B为同阶分块对角阵且分块法相同:
A11A22I|Arr0由此可知分块三角矩阵A
As
A1
、
B1
B,
Bs
A1B1
则
AB
AB
;
(2.30)
AsBs
kA
at
(3)
at
(2.31)
kAs
aT
(4)
若每一
0,则有A1
八1
(2.32)
(2)
证:
(1)证明见本章附录。
类似于
(1)的证明,可以引出推论:
分块上三角阵
An
AI2
Arr
其中主对角子块Aii均为方阵(未必同阶),则有A
可逆的充要条件是
0,i1,,r。
分块下三角阵亦然。
(2)、(3)由分块矩阵的加法和乘法、转置和数乘的定义直接可得。
1
(4)由A0知A存在,由
AiAi
AiAi
Ei
AsAsi
Es
Ai
便得
Asi
ai
a2
50
例2.11设A=
a3
0i0i
B=
00ib3
000i
解:
令A
i
ibiib2
,求AB。
bj
i,J
i,2,3,贝UA=A
B2
B3
是,
ABj
aibj
1,
所以
AB=
AiBi
AiB2A2B3
A3B3
Bj
2a1b,a2b3
A1B2
A2B3=
2
a1b1
2a1
b2
b3
=0
A2,B=b1
A30
,其中B,D皆为可逆方阵(不必同阶)
,求证A可逆,并求A
例2.12设A
设A1
XY
其中X、T分别与B、D是同阶方阵。
由
S
T
B
C
X
YBXCSBYCT
O
D
TDSDT
E2
得矩阵方程组
BX
CS
BYCTO,DS
O,
DTE2。
由此解出:
D1,
11
DOO,XB,Y
1CT
BCD
由
(1)的推论知ABD
0,故A可逆。
所以A可逆,且有
类似可证
iB1B1CD1
A1。
0D1
BOB1O
CDD1CB1D1.
2.4初等变换与初等矩阵
(2.33)
(2.34)
、初等变换的基本过程:
定义2.12下面三种行变换称为矩阵的初等行变换:
(1)对调两行(对调i、j两行记为仃rj),称为对调变换;
(2)用数k0乘某一行中所有元素(第i行乘k记为kri),称为倍乘变换;
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上(第j行的k倍加到第i行上记为
rikrj),称为倍加变换。
将定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的初等列变换的定义(将记号r换成c)。
矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换,统称为矩阵的初等变换。
初等变换都存在着逆变换,如变换ri「的逆变换就是其本身;
变换kri的逆变换为一ri;
k
变换rikrj的逆变换为ri(k)rj;
称””为等价关系,若满足下面三条性质:
1.反身性:
AA;
2.对称性:
若有AB,则必有BA;
3.传递性:
若有AB、BC,则必有AC。
容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。
定义2.13如果矩阵A经有限次初等变换变成B,则称矩阵A与B等价。
记为AB。
初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性(这在用矩阵解线性方程组中很重要)。
化简矩阵A的主要过程是:
首先通过初等行变换把A化成行阶梯形矩阵(每行首个非零元素的下方全是零),
然后继续用初等行变换把A化成行最简形矩阵(每一非零行的首个非零元素为1,且这些1所在列
的其他元素都为零)。
此后如果再用列初等变换,还可将A进一步化成等价标准形。
3
4
例2.13设A
5
,用初等变换将其化简。
8
先用初等行变换将其化为行阶梯形,形式上相当于做由上而下的行消元:
「22儿
r33日
「32「2
〜r4「1
20
「42「2
40
9
「3
「4
若对c再进一步作初等列变换,则可得
100000
〜001000
C〜
000100
000000
010000E3O3
146,
00100000
~就是A的一个行阶梯形矩阵。
对B继续作初等行变换,形式上相当于做自下而上的行回消:
〜330
7
「22「30
「1「20
C,
c即为A的一个行最简形矩阵,是A经初等行变换所能化到的最简形式。
由定义知,Ac~。
由等价关系的传递性可知,若AB,则A、B必定有相同的标准形Imn,反之亦然。
因线性方程组与其增广矩阵是一一对应的,所以对增广矩阵的“消元”实质上就是对线性方程
组的“消元”;
在上例中,若把A看成是一个增广矩阵,则其对应的线性方程组如下:
X1
X2
X3
3x5
2x1
2x2
2x4
4x5
(2.35)
3x1
4x4
5x5
X4
8X5
矩阵C对应的线性方程组:
x1x27x51
X34x52(2.36)
x43x51
由于只经行变换得到A〜C,知方程组(2.36)与(2.35)等价(同解);
而(2.36)实际上就是消元所得到的最简方程组,求解就容易得多了。
特别地,若A为可逆方阵,则A0,由Cramer法则知,以A为系数矩阵的线性方程组有
唯一解,此时最简方程组的系数矩阵恰为单位阵E,因此A〜E。
可见A可逆时,同阶单位阵E既
是A的行最简形,同时也是A的等价标准形。
、初等矩阵
定义2.14单位矩阵E经一次初等变换所得到的方阵,称为初等矩阵。
三种初等变换对应三种初等阵:
行(列)对调而得到的初等矩阵。
记
1、对调变换得对调初等矩阵:
由单位矩阵E的第i作
位矩阵E的第i列的k倍加到第j列而得到)的初等矩阵。
记作
1k(i)
E(j(k),i)
1(j)
(i)(j)
可直接验证:
用一个初等矩阵乘矩阵A的结果等于对矩阵A做了一次初等变换,具体说就是:
E(i,j)A导致A的第i,j行对调(即rirj);
AE(i,j)导致A的第i,j列对调
(即CiCj);
E(i(k))A导致A的第i行乘k(即krj(k0);
AE(i(k))导致A的第i列乘k(即kCi)(k0);
E(j(k),i)A导致A的第j行的k倍加到第i行(即rkrj;
AE(j(k),i)导致A的第i列的k倍加到第j列(即Cjkci)。
于是立即有:
定理2.4设A是一个mn矩阵,对A进行一次初等行变换,相当于在A的左边乘一个相应
的m阶初等矩阵;
对A进行一次初等列变换,相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵。
♦
由E(i,j)E(i,j)E,E(i(k))E(i(-))E,E(j(k),i)E(j(k),i)E,
知:
初等矩阵皆可逆,且它们的逆阵仍为同类初等阵:
E(i,j)1E(i,j),E(i(k))1E(i
(1)),E(j(k),i)1E(j(k),i)。
定理2.5可逆矩阵A可表示为若干个初等矩阵的乘积
因A
E,则E
A,则存在初等矩阵
R,P2,
Pl,使P
PrEPr1PA,即得
ARP2
P。
推论1
m
n矩阵A
B的充分必要条件是:
存在
m阶可逆矩阵
P及n阶可逆矩阵Q,使
PAQB。
(此推论证明留给读者)
推论2对可逆矩阵A和同阶单位矩阵E作同样的初等行变换,则将A变成单位矩阵的同时,
单位矩阵E也就变成了A1。
由定理2.5知,若A0,则ARP2P(其中P为初等矩阵,i1,2,,l)由此推
得
F1F1F11AE,
以及F|1F|1pT(F1F1F)1A1。
所以对A和E施行相同的初等变换F1P|1F1,贝yA变成了E,E变成了A1♦
例2.14设A
1,求
「2
记(A|E)
利用初等变换求逆矩阵的思路还可以用于解方程组;
设线性方程组的矩阵形式为
将E换作得到:
2x23x3
2x2X3
4x?
3X3
例2.15求解方程组2x1
23
21
X2,
43
则方程组可写为
AX
31
构造增广矩阵
(A|)
10,
r2
2r11
r1
「210
〜r3
比
r3
对A施行初等行变换:
02
6
00
ri2r3
r25r31
1,
(叽
1,则
1o
当然也可先求得A1
(用伴随阵或用初等变换),
再得
XA1
用初等行变换求A的逆矩阵(或求解线性方程组)
时,
不必验证
A是否可逆,
如果作变换时
左边子块出现了全零行,则表明
A不可逆,
此时需要另行讨论了
此口」需要另行讨论了。
3x2
例2.16解齐次方程组
3x3
o
4x1
5X3
因为齐次方程组的常数向量是零向量,故只要用系数矩阵来作初等行变换即可:
01
11,
变到行最简形,
知原方程组等价于下列最简方程组:
这个方程组里的独立方程只有2个,而未知量个数却为3,这样的齐次方程组不满足Cramer法则
的条件,就会有非零解。
将最简方程改写作
为=—X3
X2=X3
x1t
x1
令x3t,便得方程组的通解x2t,或
x2
1t,(tR)。
x3t
x3
关于类似情况的更一般的讨论,见第四章。