第五讲矩阵的分块矩阵的初等变换Word文档格式.docx

1、但应保证运算的可行。1.分块矩阵的加法、数乘、转置：定义2.10设矩阵A、B是两个同规格矩阵，且分块法一致，即:A11A12A1rB11B12B1rA21A22A2r ,B21B22B2r ，A 21JB 21As1As2AsrBs1Bs2Bsr为 s t 个子块（Bkj ） s t ，且A的列与B的行分块法一致，则规定A与B的乘法为A1sB1tC11C12C1tA2sB2tC21C22C2tAr1Ar2ArsBstCr1Cr 2Crts其中 CijAik Bkj ，i 1,2,r;j1,2, t。i1（2.29）其中每一 Aij 与 Bij 的规格都对应相同，则规定加法为：A12 B12A2

2、2 B22A2rB2r ；（2.26）As2 Bs2设 为数，则规定数乘为：A2r ；（2.27）A1T1A2T1AsT1此外，规定转置为：ATA1T2A2T2AsT2 。（2.28）A1TrA2TrAsTr2.分块矩阵的乘法：定义2.11 设A是mn 矩阵，B是np 矩阵。若将A分为r s个子块（Aj ）r s，将B 分三、分块对角阵：中Ai是ri阶小方阵（阶数可不同），i 1,2, ,s， ri n ,而其余的非主对角子块都为零矩阵,则称为A的分块对角矩阵。例如：若记若代B为同阶分块对角阵且分块法相同:A11 A22I |Arr 0由此可知分块三角矩阵 AAsA1、B1B ,BsA1 B1

3、则A B, AB;（2.30）AsBskAat（3）,at（2.31）kAsaT（4）若每一0，则有A 1八1（2.32）（2）证：（1）证明见本章附录。类似于（1）的证明，可以引出 推论：分块上三角阵AnAI2Arr其中主对角子块 Aii均为方阵（未必同阶），则有 A可逆的充要条件是0, i 1, ,r。分块下三角阵亦然。（2）、（3）由分块矩阵的加法和乘法、转置和数乘的定义直接可得。1（4）由A 0知A存在，由Ai AiAiAiEiAsAsiEsAi便得Asiaia25 0例2.11 设A =a30 i 0 i,B =0 0 i b30 0 0 i解：令Aii bi i b2，求 AB。b

4、j,i, Ji,2,3，贝U A= AB2B3是，ABjai bj1 ，所以AB=Ai BiAi B2 A2 B3A3B3Bj2 a1 b, a2 b3A1 B2A2 B3 =2a1 b12 a1b2b3=0A2 , B= b1A3 0，其中B,D皆为可逆方阵（不必同阶），求证A可逆，并求A例2.12 设A设A1X Y其中X、T分别与B、D是同阶方阵。由STBCXY BX CS BY CTODT DS DTE2得矩阵方程组BXCSBY CT O, DSO ,DT E2。由此解出：D 1,1 1D O O, X B , Y1CTB CD由（1 ）的推论知 A B D0，故A可逆。所以A可逆，且有

5、类似可证i B 1 B 1CD 1A 1 。0 D 1B O B 1 OC D D 1CB 1 D 1 .2.4 初等变换与初等矩阵（2.33）（2.34）、初等变换的基本过程：定义2.12下面三种行变换称为矩阵的初等行变换:（1）对调两行（对调i、j两行记为仃 rj），称为对调变换;（2）用数k 0乘某一行中所有元素 （第i行乘k记为kri），称为倍乘变换;（3）把某一行所有元素的 k倍加到另一行的对应元素上 （第j行的k倍加到第i行上记为ri krj），称为倍加变换。将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的 初等列变换 的定义（将记号r换成c ）。矩阵的 初等行变换和矩阵的初等列变换，统称

6、为矩阵的 初等变换。初等变换都存在着逆变换，如变换 ri 的逆变换就是其本身；变换 kri的逆变换为一 ri ；k变换ri krj的逆变换为ri （ k）rj ；称” ”为等价关系，若满足下面三条性质：1.反身性：A A;2. 对称性：若有 A B，则必有B A ;3.传递性：若有A B、B C，则必有A C。容易验证矩阵之间的初等变换满足上面等价关系的三条性质。定义2.13 如果矩阵A经有限次初等变换变成 B，则称矩阵 A与B等价。记为 A B。 初等变换的主要作用是化简矩阵而保持其等价性（这在用矩阵解线性方程组中很重要）。化简矩阵A 的主要过程是：首先通过初等行变换把 A化成行阶梯形矩阵（

7、每行首个非零元素的下方全是零），然后继续用初等行变换把 A化成行最简形矩阵（每一非零行的首个非零元素为 1,且这些1所在列的其他元素都为零）。此后如果再用列初等变换，还可将 A进一步化成 等价标准形。34例2.13设A5，用初等变换将其化简。8先用初等行变换将其化为行阶梯形，形式上相当于做由上而下的行消元:2 2儿r3 3日3 22r412 04 224 0934若对c再进一步作初等列变换，则可得1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0C0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 E3 O 31 4 6，0 0 1 0 0 0 0 0就是A的一个行阶梯形矩阵。对 B

8、继续作初等行变换，形式上相当于做自下而上的行回消:33 072 23 012 0C，c即为A的一个行最简形矩阵，是 A经初等行变换所能化到的最简形式。由定义知， A c。由等价关系的传递性可知， 若A B，则A、B必定有相同的标准形I m n，反之亦然。因线性方程组与其增广矩阵是一一对应的，所以对增广矩阵的 “消元”实质上就是对线性方程组的“消元”；在上例中，若把 A看成是一个增广矩阵，则其对应的线性方程组如下：X1X2X33x52x12x22x44x5（2.35）3x14x45x5X48X5矩阵C对应的线性方程组:x 1 x2 7 x5 1X3 4 x5 2 （2.36）x 4 3 x 5

9、1由于只经行变换得到 AC，知方程组（2.36）与（2.35）等价（同解）；而（2.36）实际上就是消 元所得到的最简方程组，求解就容易得多了。特别地，若A为可逆方阵，则 A 0,由Cramer法则知，以A为系数矩阵的线性方程组有唯一解，此时最简方程组的系数矩阵恰为单位阵 E，因此AE。可见A可逆时，同阶单位阵 E既是A的行最简形，同时也是 A的等价标准形。、初等矩阵定义2.14 单位矩阵E经一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。三种初等变换对应三种初等阵：行（列）对调而得到的初等矩阵。记1、对调变换得 对调初等矩阵：由单位矩阵E的第i 作位矩阵E的第i列的k倍加到第j列而得到）的初等矩阵。

10、记作1 k （i）E（ j（k）, i）1 （ j）（i） （ j ）可直接验证：用一个初等矩阵乘矩阵 A的结果等于对矩阵 A做了一次初等变换，具体说就是：E（i,j）A导致A的第i , j行对调（即ri rj） ； AE（i, j）导致A的第i , j列对调（即 Ci Cj）；E（i（k）A导致A的第i行乘k （即k rj （k 0） ； AE（i（k）导致A的第i列乘 k （即k Ci） （k 0）；E（ j（k）,i）A导致A的第j行的k倍加到第i行（即r krj ； AE（ j（k）,i）导致A的第i列的k 倍加到第j列（即Cj kci）。于是立即有：定理2.4 设A是一个m n矩阵，

11、对A进行一次初等行变换，相当于在 A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对 A进行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘一个相应的 n阶初等矩阵。由 E（i,j）E（i,j） E, E（i（k）E（i（-） E, E（j（k）,i）E（j（ k）,i） E ,知：初等矩阵皆可逆，且它们的逆阵仍为同类初等阵 ：E（i,j） 1 E（i,j）, E（i（k） 1 E（i（1）, E（j（k）,i） 1 E（j（ k）,i）。定理2.5可逆矩阵A可表示为若干个初等矩阵的乘积因AE ,则EA，则存在初等矩阵R,P2,Pl，使 PPrEPr 1 P A，即得A RP2P。推论1mn矩阵AB的充分必要条件是:存

12、在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B。（此推论证明留给读者）推论2对可逆矩阵A和同阶单位矩阵 E作同样的初等行变换， 则将A变成单位矩阵的同时，单位矩阵E也就变成了 A 1。由定理2.5知，若A 0,则A RP2 P （其中P为初等矩阵，i 1,2, ,l ）由此推得F 1F 1 F1 1A E ,以及 F| 1F| 1 p T （F1 F 1F） 1 A 1。所以对A和E施行相同的初等变换 F 1P| 1 F 1，贝y A变成了 E, E变成了 A 1 例2.14设A1，求2记（A|E）利用初等变换求逆矩阵的思路还可以用于解方程组；设线性方程组的矩阵形式为将E换作得到:2x2 3x

13、32x2 X34x? 3X3例2.15求解方程组 2x12 32 1X2 ,4 3则方程组可写为AX3 1构造增广矩阵（A| ）1 0 ,r22r1 1r12 1 0r3比r3对A施行初等行变换：0 260 0ri 2r3r2 5r3 11 ,（叽1 ，则1 o当然也可先求得A 1（用伴随阵或用初等变换），再得X A1用初等行变换求A的逆矩阵（或求解线性方程组）时，不必验证A是否可逆，如果作变换时左边子块出现了全零行，则表明A不可逆,此时需要另行讨论了,此口需要另行讨论了。3x2例2.16 解齐次方程组3x3o4x15X3因为齐次方程组的常数向量是零向量，故只要用系数矩阵来作初等行变换即可:0 11 1 ,变到行最简形，知原方程组等价于下列最简方程组：这个方程组里的独立方程只有 2个，而未知量个数却为 3,这样的齐次方程组不满足 Cramer法则的条件，就会有非零解。将最简方程改写作为=X3X2= X3x1 tx1令 x3 t ，便得方程组的通解 x2 t ，或x21 t , （t R） 。x3 tx3关于类似情况的更一般的讨论，见第四章。