工程问题公式Word文件下载.docx
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a=a3
3、长方形:
C-周长S-面积a-边长
周长=(长+宽)×
2C=2(a+b)
面积=长×
宽S=ab
4、长方体:
V-体积S-面积a-长b-宽h-高
表面积(长×
宽+长×
高+宽×
高)×
2S=2(ab+ah+bh)
体积=长×
宽×
高V=abh
5、三角形:
S-面积a-底h-高
面积=底×
高÷
2S=ah÷
2
三角形高=面积×
2÷
底
三角形底=面积×
高
6、平行四边形:
高S=ah
7、梯形:
S-面积a-上底b-下底h-高
面积=(上底+下底)×
8、圆形:
S-面积C-周长∏-圆周率d-直径r-半径
周长=直径×
圆周率=2×
圆周率×
半径C=∏d=2∏r
面积=半径×
半径×
圆周率S=∏r2
9、圆柱体:
V-体积h-高S-底面积r-底面半径C-底面周长
侧面积=底面周长×
高S侧=Ch
表面积=侧面积+底面积×
2S表=S侧+2∏r2
体积=底面积×
高V=∏r2h
体积=侧面积÷
2×
半径
10、圆锥体:
V-体积h-高S-底面积r-底面半径
体积=底面积×
3
和差问题的公式
(和+差)÷
2=大数(和-差)÷
2=小数
和倍问题
和÷
(倍数-1)=小数小数×
倍数=大数(或者和-小数=大数)
差倍问题
差÷
倍数=大数(或小数+差=大数)植树问题
1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷
株距-1
全长=株距×
(株数-1)
株距=全长÷
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷
株距
株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷
(株数+1)
2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数=段数=全长÷
株距全长=株距×
株数株距=全长÷
盈亏问题
(盈+亏)÷
两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷
(大亏-小亏)÷
相遇问题
相遇路程=速度和×
相遇时间相遇时间=相遇路程÷
速度和
速度和=相遇路程÷
相遇时间
追及问题
追及距离=速度差×
追及时间追及时间=追及距离÷
速度差
速度差=追及距离÷
追及时间
流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷
浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷
溶液的重量×
100%=浓度
溶液的重量×
浓度=溶质的重量溶质的重量÷
浓度=溶液的重量
利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷
成本×
100%=(售出价÷
成本-1)×
100%
涨跌金额=本金×
涨跌百分比
折扣=实际售价÷
原售价×
100%(折扣<1)
利息=本金×
利率×
时间
税后利息=本金×
时间×
(1-20%)
长度单位换算
1千米(km)=1000米(m)1米(m)=10分米(dm)1分米(dm)=10厘米(cm)1米(m)=100厘米(cm)1厘米(cm)=10毫米(mm)
面积单位换算
1平方千米(km2)=100公顷(ha)1公顷(ha)=10000平方米(m2)1平方米(m2)=100平方分米(dm2)
1平方分米(dm2)=100平方厘米(cm2)1平方厘米(cm2)=100平方毫米(mm2)
体(容)积单位换算
1立方米(m3)=1000立方分米(dm3)1立方分米(dm3)=1000立方厘米(cm3)1立方分米(dm3)=1升(l)
1立方厘米(cm3)=1毫升(ml)1立方米(m3)=1000升(l)
重量单位换算
1吨(t)=1000千克(kg)1千克(kg)=1000克(g)1千克(kg)=1公斤(kg)
人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:
1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:
4\6\9\11月
平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天
1日=24小时(h)1小时(h)=60分(s)1分(min)=60秒(s)1小时(h)=3600秒(s)
]
追击问题公式
相向而行):
追及路程/追及速度和=追及时间(
同向而行):
追及路程/追及速度差=追及时间
追及距离除以速度差等于追及时间.追及时间乘以
速度差等于追及距离.追及距离除以追及时间等于
速度差.追及:
速度差×
追及时间=追及路程
追及路程÷
速度差=追及时间(同向追及)
甲路程—乙路程=追及时相差的路程相遇:
相遇路
程÷
速度和=相遇时间 速度和×
相遇时间=相
遇路程速度差×
追及时间=追及路程 追及路程
÷
速度差=追及时间(同向追及) 甲路程—乙
路程=追及时相差的路集合我所搜到的答案
基本内容 工程问题是小学数学应用题教学中的重
点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象
逻辑思维能力的重要工具。
它是函数一一对应思想
在应用题中的有力渗透。
工程问题也是教材的难点
。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题
,它具有抽象性,学生认知起来比较困难。
因此,在教学中,如何让学生建立正确概念是
数学应用题的关键。
本节课从始至终都以工程问题
的概念来贯穿,目的在于使学生理解并熟练掌握概
念。
联系实际谈话引入。
引入设悬,渗透概念。
目
的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作
效率之间的概念及它们之间的数量关系。
初步的复
习再次强化工程问题的概念。
通过比较,建立概念。
在教学中充分发挥学生
的主体地位,运用学生已有的知识“包含除”来解
决合作问题。
合理运用强化概念。
学生在感知的基础上,于
头脑中初步形成了概念的表象,具备概念的原型。
一部分学生只是接受了概念,还没有完全消化概念
所以我编拟了练习题,目的在于通过学生运用,
来帮助学生认识、理解、消化概念,使学生更加熟
练的找到了工程问题的解题方法。
在学生大量练习
后,引出含有数量的工作问题,让学生自己找到问
题的答案。
从而又一次突出工程问题概念的核心。
在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,
完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工
作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的
基本数量关系是——工作量=工作效率×
时间.
在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应
用题,我们都叫做“工程问题”.
举一个简单例子.:
一件工作,甲做10天可完
成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?
一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算
作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量
,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位
,
再根据基本数量关系式,得到
所需时间=工作量÷
工作效率
=6(天)?
两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的
许多例子都是从这一问题发展产生的.
为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),
如第三讲例3和例8所用方法,把工作量多设份额.
还是上题,10与15的最小公倍数是30.设全部工作
量为30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份.
两人合作所需天数是
30÷
(3+2)=6(天)
数计算,就方便些.
∶2.或者说“工作量固定,工作效率与时间成
反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当
知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,
也
需时间是
因此,在下面例题的讲述中,不完全采用通常
教科书中“把工作量设为整体1”的做法,而偏重
于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我
们的解题思路更灵活一些.
一、两个人的问题
标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两
个队等等的两个集体.
例1一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天
可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续
完成.乙需要做几天可以完成全部工作?
答:
乙需要做4天可完成全部工作.
解二:
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量
是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成
余下工作所需时间是
(18-2×
3)÷
3=4(天).
解三:
甲与乙的工作效率之比是
6∶9=2∶3.
甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工
作所需时间是6-2=4(天).
例2一件工作,甲、乙两人合作30天可以完
成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40
天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要
多少天?
解:
共做了6天后,
原来,甲做24天,乙做24天,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天.
这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天
来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做,所需时间是
如果甲独做,所需时间是
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
例3某工程先由甲独做63天,再由乙单独做
28天即可完成;
如果由甲、乙两人合作,需48天
完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完
成,那么乙还需要做多少天?
先对比如下:
甲做63天,乙做28天;
甲做48天,乙做48天.
就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48
-28=20(天),由此得出甲的
甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21(
天),相当于乙要做
因此,乙还要做
28+28=56(天).
乙还需要做56天.
例4一件工程,甲队单独做10天完成,乙队
单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了
2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息).
问开始到完工共用了多少天时间?
解一:
甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完
成工作量
余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数
是
2+8+1=11(天).
从开始到完工共用了11天.
设全部工作量为30份.甲每天完成3份
,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做
2天之后,还需两队合作
(30-3×
8-1×
2)÷
(3+1)=1(天)
.
甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后,还余下(甲队)10-
8=2(天)工作量.相当于乙队要做2×
3=6(天)
.乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)
工作量.
4=3+1,
其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合
作1天.
例5一项工程,甲队单独做20天完成,乙队
单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队
休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用
了16天.问乙队休息了多少天?
如果16天两队都不休息,可以完成的工
作量是
由于两队休息期间未做的工作量是
乙队休息期间未做的工作量是
乙队休息的天数是
乙队休息了5天半.
设全部工作量为60份.甲每天完成3份
,乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
(3+2)×
16-60=20(份).
因此乙休息天数是
(20-3×
2=5.5(天).
甲队做2天,相当于乙队做3天.
甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作
量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是
16-6-4.5=5.5(天).
例6有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要
10天,单独完成乙工作要15天;
李单独完成甲工
作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作
都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需
要多少天?
很明显,李做甲工作的工作效率高,张做
乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙.
设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数
),张每天完成4份,李每天完成3份.
8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作
(60-4×
8)份.由张、李合作需要
(60-4×
8)÷
(4+3)=4(天).
8+4=12(天).
这两项工作都完成最少需要12天.
例7一项工程,甲独做需10天,乙独做需15
天,如果两人合作,他
要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少
,那么两人要合作多少天?
设这项工程的工作量为30份,甲每天完成
3份,乙每天完成2份.
两人合作,共完成
3×
0.8+2×
0.9=4.2(份).
因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工
作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合
作的天数是
(30-3×
(4.2-3)=5(天).
很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
例8甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲
的工作效率比单独做时快
如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多
少小时?
乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时,甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理
.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算
简便.例8就是如此.例8也可以整数化,当求出乙
每
有一点方便,但好处不大.不必多此一举.
二、多人的工程问题
我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题
要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是
差不多.
例9一件工作,甲、乙两人合作36天完成,
乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60
天完成.问甲一人独做需要多少天完成?
设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完
成
甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化,设全部工作量为180份,
甲、乙合作每天完成5份,乙、丙合作每天完成4份
,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会
方便些?
例10一件工作,甲独做要12天,乙独做要18
天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,
然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍
,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍
,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?
甲做1天,乙就做3天,丙就做3×
2=6(
天).
说明甲做了2天,乙做了2×
3=6(天),丙做
6=12(天),三人一共做了
2+6+12=20(天).
完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12,18,24
这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工
作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完
成3.总共用了
例11一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13
天完成.如果丙休息2天,乙就要多做4天,或者由
甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少
天?
丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙
的工作效率是乙的工作效率的4÷
2=2(倍),甲
、乙合作1天,与乙做4天一样.也就是甲做1天,
相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3
倍.
他们共同做13天的工作量,由甲单独完成,甲
需要
甲独做需要26天.
事实上,当我们算出甲、乙、丙三人工作效率
之比是3∶2∶1,就知甲做1天,相当于乙、丙合
作1天.三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的
工作量,可转化为甲再做13天来完成.
例12某项工作,甲组3人8天能完成工作,乙
组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作
多少时间能完成这项工作?
设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
合作3天能完成这项工作.
甲组3人8天能完成,因此2人12天能完
成;
乙组4人7天能完成,因此7人4天能完成.
现在已不需顾及人数,问题转化为:
甲组独做12天,乙组独做4天,问合作几天完
成?
小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二
是比例灵活运用的典型,如果你心算较好,很快就
能得出答数.
例13制作一批零件,甲车间要10天完成,如
果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间
与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间
一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件
2400个.问丙车间制作了多少个零件?
仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
丙车间制作了4200个零件.
10与6最小公倍数是30.设制作零件全
部工作量为30份.甲每天完成3份,甲、乙一起每
天完成5份,由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起,8天完成.乙完成8×
2=16(份)
,丙完成30-16=14(份),就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.
综合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是
2400÷
(12-8)×
7=4200(个).
例14搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,
乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B
,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开
始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个
仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在
相当于三人共同完成工作量2,所需时间是
丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时.
解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓
库的时间.本题计算当然也可以整数化,设搬运一
个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6,乙每
小时搬运5,丙每小时搬运4.
三人共同搬完,需要
60×
2÷
(6+5+4)=8(小时).
甲需丙帮助搬运
(60-6×
8)÷
4=3(小时).
乙需丙帮助搬运
(60-5×
4=5(小时).
三、水管问题
从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一
样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量
或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水
量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题,
不过是工作量有加有减罢了.因此,水管问题与工
程问题的解题思路基本相同.
例15甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水
池.现在,先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过
3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入
0.6立方米水,这个水池的容积是多少立方米?
甲每分钟注入水量是:
(1-1/9×
3)
10=1/15
乙每分钟注入水量是:
1/9-1/15=2/45
因此水池容积是:
0.6÷
(1/15-2/45)=27(
立方米)
水池容积是27立方米.
例16有一些水管,它们每分钟注水量都相等
.现在打开其中若干根水管,经过预定的时间的
1/3,再把打开的水管增加一倍,就能按预定时间
注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增
开水管,也能按预定时间注满水池.问开始时打开
了几根水管?
分析:
增开水管后,有原来2倍的水管,注水
时间是预定时间的1-1/3=2/3,2/3是1/3的2倍,
因此增开水管后的这段时间的注水量,是前一段时
间注水量的4倍。
设水池容量是1,前后两段时间的
注水量之比为:
1:
4,
那么预定时间的1/3(即前一段时间)的注水
量是1/(1+4)=1/5。
10根水管同时打开,能按预定时间注满水,每
根水管的注水量是1/10,预定时间的1/3,每根水
官的注水量是1/10×
1/3=1/30
要注满水池的1/5,需要水管1/5÷
1/30=6(
根)
前后两段时间的注水量之比为:
[(1-1/3)÷
1/3×
2]=1:
4
前段时间注水量是:
1÷
(1+4)=1/5
每根水管在预定1/3的时间注水量为:
10
×
开始时打开水管根数:
1/5÷
1/30=6(根)
开始时打开6根水管。
例17蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁
两条排水管.要灌满一池水,单开甲管需3小时,单
开丙管需要5小时.要排光一池水,单开乙管需要
4小,丁管需要6小时,现在水池内有六分之一的水
,如按甲、乙、丙、丁、甲、