工程问题公式Word文件下载.docx
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a=a3
3、长方形:
C-周长S-面积a-边长
周长=（长+宽）×
2C=2（a+b）
面积=长×
宽S=ab
4、长方体:
V-体积S-面积a-长b-宽h-高
表面积（长×
宽+长×
高+宽×
高）×
2S=2（ab+ah+bh）
体积=长×
宽×
高V=abh
5、三角形:
S-面积a-底h-高
面积=底×
高÷
2S=ah÷
2
三角形高=面积×
2÷
底
三角形底=面积×
高
6、平行四边形：
高S=ah
7、梯形：
S-面积a-上底b-下底h-高
面积=（上底+下底）×
8、圆形：
S-面积C-周长∏-圆周率d-直径r-半径
周长=直径×
圆周率=2×
圆周率×
半径C=∏d=2∏r
面积=半径×
半径×
圆周率S=∏r2
9、圆柱体：
V-体积h-高S-底面积r-底面半径C-底面周长
侧面积=底面周长×
高S侧=Ch
表面积=侧面积+底面积×
2S表=S侧+2∏r2
体积=底面积×
高V=∏r2h
体积＝侧面积÷
2×
半径
10、圆锥体：
V-体积h-高S-底面积r-底面半径
体积=底面积×
3
和差问题的公式
（和＋差）÷
2＝大数（和－差）÷
2＝小数
和倍问题
和÷
（倍数－1）＝小数小数×
倍数＝大数（或者和－小数＝大数）
差倍问题
差÷
倍数＝大数（或小数＋差＝大数）植树问题
1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷
株距－1
全长＝株距×
（株数－1）
株距＝全长÷
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷
株距
株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷
（株数＋1）
2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷
株距全长＝株距×
株数株距＝全长÷
盈亏问题
（盈＋亏）÷
两次分配量之差＝参加分配的份数
（大盈－小盈）÷
（大亏－小亏）÷
相遇问题
相遇路程＝速度和×
相遇时间相遇时间＝相遇路程÷
速度和
速度和＝相遇路程÷
相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×
追及时间追及时间＝追及距离÷
速度差
速度差＝追及距离÷
追及时间
流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷
水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷
浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷
溶液的重量×
100%＝浓度
溶液的重量×
浓度＝溶质的重量溶质的重量÷
浓度＝溶液的重量
利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷
成本×
100%＝（售出价÷
成本－1）×
100%
涨跌金额＝本金×
涨跌百分比
折扣＝实际售价÷
原售价×
100%（折扣＜1）
利息＝本金×
利率×
时间
税后利息＝本金×
时间×
（1－20%）
长度单位换算
1千米（km）=1000米（m）1米（m）=10分米（dm）1分米（dm）=10厘米（cm）1米（m）=100厘米（cm）1厘米（cm）=10毫米（mm）
面积单位换算
1平方千米（km2）=100公顷（ha）1公顷（ha）=10000平方米（m2）1平方米（m2）=100平方分米（dm2）
1平方分米（dm2）=100平方厘米（cm2）1平方厘米（cm2）=100平方毫米（mm2）
体（容）积单位换算
1立方米（m3）=1000立方分米（dm3）1立方分米（dm3）=1000立方厘米（cm3）1立方分米（dm3）=1升（l）
1立方厘米（cm3）=1毫升（ml）1立方米（m3）=1000升（l）
重量单位换算
1吨（t）=1000千克（kg）1千克（kg）=1000克（g）1千克（kg）=1公斤（kg）
人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年1年=12月大月（31天）有:
1\3\5\7\8\10\12月
小月（30天）的有:
4\6\9\11月
平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天
1日=24小时（h）1小时（h）=60分（s）1分（min）=60秒（s）1小时（h）=3600秒（s）
]
追击问题公式
相向而行）：
追及路程/追及速度和=追及时间（
同向而行）：
追及路程/追及速度差=追及时间
追及距离除以速度差等于追及时间.追及时间乘以
速度差等于追及距离.追及距离除以追及时间等于
速度差.追及：
速度差×
追及时间=追及路程
追及路程÷
速度差=追及时间（同向追及）
甲路程—乙路程=追及时相差的路程相遇：
相遇路
程÷
速度和=相遇时间 速度和×
相遇时间=相
遇路程速度差×
追及时间=追及路程 追及路程
÷
速度差=追及时间（同向追及） 甲路程—乙
路程=追及时相差的路集合我所搜到的答案
基本内容 工程问题是小学数学应用题教学中的重
点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象
逻辑思维能力的重要工具。
它是函数一一对应思想
在应用题中的有力渗透。
工程问题也是教材的难点
。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题
，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
因此，在教学中，如何让学生建立正确概念是
数学应用题的关键。
本节课从始至终都以工程问题
的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概
念。
联系实际谈话引入。
引入设悬，渗透概念。
目
的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作
效率之间的概念及它们之间的数量关系。
初步的复
习再次强化工程问题的概念。
通过比较，建立概念。
在教学中充分发挥学生
的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解
决合作问题。
合理运用强化概念。
学生在感知的基础上，于
头脑中初步形成了概念的表象，具备概念的原型。
一部分学生只是接受了概念，还没有完全消化概念
所以我编拟了练习题，目的在于通过学生运用，
来帮助学生认识、理解、消化概念，使学生更加熟
练的找到了工程问题的解题方法。
在学生大量练习
后，引出含有数量的工作问题，让学生自己找到问
题的答案。
从而又一次突出工程问题概念的核心。
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，
完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工
作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的
基本数量关系是——工作量=工作效率×
时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应
用题，我们都叫做“工程问题”.
举一个简单例子.：
一件工作，甲做10天可完
成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算
作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量
，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位
，
再根据基本数量关系式，得到
所需时间=工作量÷
工作效率
=6（天）?
两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的
许多例子都是从这一问题发展产生的.
为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），
如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.
还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作
量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两人合作所需天数是
30÷
（3+2）=6（天）
数计算，就方便些.
∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成
反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当
知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，
也
需时间是
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常
教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重
于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我
们的解题思路更灵活一些.
一、两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两
个队等等的两个集体.
例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天
可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续
完成.乙需要做几天可以完成全部工作？
答：
乙需要做4天可完成全部工作.
解二：
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量
是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成
余下工作所需时间是
（18-2×
3）÷
3=4（天）.
解三：
甲与乙的工作效率之比是
6∶9=2∶3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工
作所需时间是6-2=4（天）.
例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完
成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40
天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要
多少天？
解：
共做了6天后，
原来，甲做24天，乙做24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天
来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是
如果甲独做，所需时间是
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做
28天即可完成；
如果由甲、乙两人合作，需48天
完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完
成，那么乙还需要做多少天？
先对比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48
-28=20（天），由此得出甲的
甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（
天），相当于乙要做
因此，乙还要做
28+28=56（天）.
乙还需要做56天.
例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队
单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了
2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.
问开始到完工共用了多少天时间？
解一：
甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完
成工作量
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数
是
2+8+1=11（天）.
从开始到完工共用了11天.
设全部工作量为30份.甲每天完成3份
，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做
2天之后，还需两队合作
（30-3×
8-1×
2）÷
（3+1）=1（天）
.
甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-
8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×
3=6（天）
.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）
工作量.
4=3+1，
其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合
作1天.
例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队
单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队
休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用
了16天.问乙队休息了多少天？
如果16天两队都不休息，可以完成的工
作量是
由于两队休息期间未做的工作量是
乙队休息期间未做的工作量是
乙队休息的天数是
乙队休息了5天半.
设全部工作量为60份.甲每天完成3份
，乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×
16-60=20（份）.
因此乙休息天数是
（20-3×
2=5.5（天）.
甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作
量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是
16-6-4.5=5.5（天）.
例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要
10天，单独完成乙工作要15天；
李单独完成甲工
作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作
都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需
要多少天？
很明显，李做甲工作的工作效率高，张做
乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数
），张每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作
（60-4×
8）份.由张、李合作需要
（60-4×
8）÷
（4+3）=4（天）.
8+4=12（天）.
这两项工作都完成最少需要12天.
例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15
天，如果两人合作，他
要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少
，那么两人要合作多少天？
设这项工程的工作量为30份，甲每天完成
3份，乙每天完成2份.
两人合作，共完成
3×
0.8+2×
0.9=4.2（份）.
因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工
作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合
作的天数是
（30-3×
（4.2-3）=5（天）.
很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲
的工作效率比单独做时快
如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多
少小时？
乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时，甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
甲单独完成这件工作需要33小时.
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理
.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算
简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙
每
有一点方便，但好处不大.不必多此一举.
二、多人的工程问题
我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题
要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是
差不多.
例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，
乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60
天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完
成
甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化，设全部工作量为180份，
甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份
，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会
方便些？
例10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18
天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，
然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍
，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍
，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
甲做1天，乙就做3天，丙就做3×
2=6（
天）.
说明甲做了2天，乙做了2×
3=6（天），丙做
6=12（天），三人一共做了
2+6+12=20（天）.
完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24
这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工
作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完
成3.总共用了
例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13
天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由
甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少
天？
丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙
的工作效率是乙的工作效率的4÷
2=2（倍），甲
、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，
相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3
倍.
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲
需要
甲独做需要26天.
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率
之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合
作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的
工作量，可转化为甲再做13天来完成.
例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙
组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作
多少时间能完成这项工作？
设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
合作3天能完成这项工作.
甲组3人8天能完成，因此2人12天能完
成；
乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完
成？
小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二
是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就
能得出答数.
例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如
果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间
与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间
一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件
2400个.问丙车间制作了多少个零件？
仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
丙车间制作了4200个零件.
10与6最小公倍数是30.设制作零件全
部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每
天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×
2=16（份）
，丙完成30-16=14（份），就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.
综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
2400÷
（12-8）×
7=4200（个）.
例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，
乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B
，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开
始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个
仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在
相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓
库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一
个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每
小时搬运5，丙每小时搬运4.
三人共同搬完，需要
60×
2÷
（6+5+4）=8（小时）.
甲需丙帮助搬运
（60-6×
8）÷
4=3（小时）.
乙需丙帮助搬运
（60-5×
4=5（小时）.
三、水管问题
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一
样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量
或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水
量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，
不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工
程问题的解题思路基本相同.
例15甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水
池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过
3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入
0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
甲每分钟注入水量是：
（1-1/9×
3）
10=1/15
乙每分钟注入水量是：
1/9-1/15=2/45
因此水池容积是：
0.6÷
（1/15-2/45）=27（
立方米）
水池容积是27立方米.
例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等
.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的
1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间
注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增
开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开
了几根水管？
分析：
增开水管后，有原来2倍的水管，注水
时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，
因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时
间注水量的4倍。
设水池容量是1，前后两段时间的
注水量之比为：
1：
4，
那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水
量是1/（1+4）=1/5。
10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每
根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水
官的注水量是1/10×
1/3=1/30
要注满水池的1/5，需要水管1/5÷
1/30=6（
根）
前后两段时间的注水量之比为：
[（1-1/3）÷
1/3×
2]=1：
4
前段时间注水量是：
1÷
（1+4）=1/5
每根水管在预定1/3的时间注水量为：
10
×
开始时打开水管根数：
1/5÷
1/30=6（根）
开始时打开6根水管。
例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁
两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单
开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要
4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水
，如按甲、乙、丙、丁、甲、
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