高考真题分类汇编理数专题2导数解析版.docx

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高考真题分类汇编理数专题2导数解析版

2017年高考真题分类汇编(理数):

专题2导数

一、单选题(共3题;共6分)

1、(2017•浙江)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(   )

A、

B、

C、

D、

2、(2017•新课标Ⅱ)若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,则f(x)的极小值为(   )

A、﹣1

B、﹣2e﹣3

C、5e﹣3

D、1

3、(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=(   )

A、﹣

B、

C、

D、1

二、解答题(共8题;共50分)

4、(2017•浙江)已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).

(Ⅰ)求f(x)的导函数;

(Ⅱ)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.

5、(2017•山东)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(13分)

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;

(Ⅱ)令h(x)=g(x)﹣af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

6、(2017•北京卷)已知函数f(x)=excosx﹣x.(13分)

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.

7、(2017·天津)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.

(Ⅰ)求g(x)的单调区间;

(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:

h(m)h(x0)<0;

(Ⅲ)求证:

存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.

8、(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;

(Ⅱ)证明:

b2>3a;

(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.

9、(2017•新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.(12分)

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

10、(2017•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)证明:

f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.

11、(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.

(Ⅰ)若f(x)≥0,求a的值;

(Ⅱ)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.

答案解析部分

一、单选题

1、【答案】D

【考点】函数的图象,函数的单调性与导数的关系

【解析】【解答】解:

由当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,

则由导函数y=f′(x)的图象可知:

f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,

且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,

故选D

【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f(x)的图象可能

2、【答案】A

【考点】导数的运算,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】解:

函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1,

可得f′(x)=(2x+a)ex﹣1+(x2+ax﹣1)ex﹣1,

x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,

可得:

﹣4+a+(3﹣2a)=0.

解得a=﹣1.

可得f′(x)=(2x﹣1)ex﹣1+(x2﹣x﹣1)ex﹣1,

=(x2+x﹣2)ex﹣1,函数的极值点为:

x=﹣2,x=1,

当x<﹣2或x>1时,f′(x)>0函数是增函数,x∈(﹣2,1)时,函数是减函数,

x=1时,函数取得极小值:

f

(1)=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1.

故选:

A.

【分析】求出函数的导数,利用极值点,求出a,然后判断函数的单调性,求解函数的极小值即可.

3、【答案】C

【考点】利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点与方程根的关系,函数的零点

【解析】【解答】解:

因为f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+)=0,

所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+)有唯一解,

等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象只有一个交点.

①当a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾;

②当a<0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,

且y=a(ex﹣1+)在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,

所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+)的图象的最高点为B(1,2a),

由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象有两个交点,矛盾;

③当a>0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,

且y=a(ex﹣1+)在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增,

所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+)的图象的最低点为B(1,2a),

由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=,符合条件;

综上所述,a=,

故选:

C.

【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论.

二、解答题

4、【答案】解:

(Ⅰ)函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥),

导数f′(x)=(1﹣••2)e﹣x﹣(x﹣)e﹣x

=(1﹣x+)e﹣x=(1﹣x)(1﹣)e﹣x;

(Ⅱ)由f(x)的导数f′(x)=(1﹣x)(1﹣)e﹣x,

可得f′(x)=0时,x=1或,

当<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;

当1<x<时,f′(x)>0,f(x)递增;

当x>时,f′(x)<0,f(x)递减,

且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔(x﹣1)2≥0,

则f(x)≥0.

由f()=e,f

(1)=0,f()=e,

即有f(x)的最大值为e,最小值为f

(1)=0.

则f(x)在区间[,+∞)上的取值范围是[0,e].

【考点】简单复合函数的导数,利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】(Ⅰ)求出f(x)的导数,注意运用复合函数的求导法则,即可得到所求;

(Ⅱ)求出f(x)的导数,求得极值点,讨论当<x<1时,当1<x<时,当x>时,f(x)的单调性,判断f(x)≥0,计算f(),f

(1),f(),即可得到所求取值范围.

5、【答案】解:

(Ⅰ)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x﹣2sinx,∴f′(π)=2π.

∴曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为:

y﹣(π2﹣2)=2π(x﹣π).

化为:

2πx﹣y﹣π2﹣2=0.

(Ⅱ)h(x)=g(x)﹣af(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx)

h′(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)+ex(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx)

=2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna).

令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.

∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.

(i)a≤0时,ex﹣a>0,∴x>0时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;

x<0时,h′(x)<0,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.

∴x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.

(ii)a>0时,令h′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna)=0.

解得x1=lna,x2=0.

①0<a<1时,x∈(﹣∞,lna)时,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;

x∈(lna,0)时,ex﹣elna>0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;

x∈(0,+∞)时,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.

∴当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.

当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].

②当a=1时,lna=0,x∈R时,h′(x)≥0,∴函数h(x)在R上单调递增.

③1<a时,lna>0,x∈(﹣∞,0)时,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;

x∈(0,lna)时,ex﹣elna<0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;

x∈(lna,+∞)时,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.

∴当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.

当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].

综上所述:

a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.

x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.

0<a<1时,函数h(x)在x∈(﹣∞,lna)是单调递增;函数h(x)在x∈(lna,0)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].

当a=1时,lna=0,函数h(x)在R上单调递增.

a>1时,函数h(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上单调递增;函数h(x)在(0,lna)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].

【考点】导数的加法与减法法则,导数的乘法与除法法则,函数的单调性与导数的关系,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】(Ⅰ)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x﹣2sinx,可得f′(π)=2π即为切线的斜率,利用点斜式即可得出切线方程.

(Ⅱ)h(x)=g(x)﹣af(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx),可得h′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna).令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,可得函数u(

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