高考真题分类汇编理数专题2导数解析版.docx

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高考真题分类汇编理数专题2导数解析版

2017年高考真题分类汇编（理数）：

专题2导数

一、单选题（共3题；共6分）

1、（2017•浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（   ）

A、

B、

C、

D、

2、（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（   ）

A、﹣1

B、﹣2e﹣3

C、5e﹣3

D、1

3、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（   ）

A、﹣

B、

C、

D、1

二、解答题（共8题；共50分）

4、（2017•浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．

（Ⅰ）求f（x）的导函数；

（Ⅱ）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．

5、（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g（x）﹣af（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

6、（2017•北京卷）已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分）

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．

（Ⅰ）求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：

h（m）h（x0）＜0；

（Ⅲ）求证：

存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．

8、（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）证明：

b2＞3a；

（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．

9、（2017•新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．（12分）

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

10、（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）证明：

f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

11、（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；

（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．

答案解析部分

一、单选题

1、【答案】D

【考点】函数的图象，函数的单调性与导数的关系

【解析】【解答】解：

由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，

则由导函数y=f′（x）的图象可知：

f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，

且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，

故选D

【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能

2、【答案】A

【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

【解析】【解答】解：

函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，

可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，

x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，

可得：

﹣4+a+（3﹣2a）=0．

解得a=﹣1．

可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，

=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：

x=﹣2，x=1，

当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，

x=1时，函数取得极小值：

f

（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．

故选：

A．

【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．

3、【答案】C

【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点

【解析】【解答】解：

因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0，

所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解，

等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点．

①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），

由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；

③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），

由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；

综上所述，a=，

故选：

C．

【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．

二、解答题

4、【答案】解：

（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），

导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x

=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；

（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，

可得f′（x）=0时，x=1或，

当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；

当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，

且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，

则f（x）≥0．

由f（）=e，f

（1）=0，f（）=e，

即有f（x）的最大值为e，最小值为f

（1）=0．

则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．

【考点】简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；

（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f

（1），f（），即可得到所求取值范围．

5、【答案】解：

（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．

∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：

y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．

化为：

2πx﹣y﹣π2﹣2=0．

（Ⅱ）h（x）=g（x）﹣af（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）

h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）

=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．

令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．

∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．

（i）a≤0时，ex﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；

x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．

∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．

（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．

解得x1=lna，x2=0．

①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；

x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．

∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．

当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．

③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；

x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．

∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．

当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

综上所述：

a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．

x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．

0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．

a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．

（Ⅱ）h（x）=g（x）﹣af（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（