构造等腰三角形的常用方法Word格式文档下载.docx

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∴△DGF≌△ECF（ASA），

∴GD=CE.

∵AB=AC,

∴∠B=∠ACB，

∵DG∥AE，

∴∠DGB=∠ACB，

∴∠DBG=∠DGB，

∴GD=BD,

∴BD=CE.

2.已知△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD=DE.

（1）如图①，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；

（2）如图②，若点D在AC的延长线上，

（1）中的结论是否还成立，请说明理由.

解：

（1）AD=CE.

理由如下：

过点D作DP∥BC，交AB于点P.

∵△ABC是等边三角形，

∴△APD也是等边三角形，

∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA=60°

，

∵DB=DE,

∴∠DBC=∠DEC，

∵DP∥BC，

∴∠PDB=∠DBC.

∴∠PDB=∠DEC.

又∵∠BPD=∠A+∠ADP=120°

，∠DCE=∠A+∠ABC=120°

∴∠BPD=∠DCE.

在△BPD和△DCE中，

∠BPD=∠DCE，∠PDB=∠CED，DB=DE,

∴△BPD≌△DCE（AAS），

∴PD=CE，

∴AD=CE;

（2）

（1）中的结论成立.

过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P.

∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°

∴∠DBC=∠CED.

∴∠PDB=∠DBC，

∴∠PDB=∠CED.

∠P=∠DCE，∠PDB=∠CED，DB=DE,

∴PD=CE,

∴AD=CE.

方法二利用“三线合一”构造等腰三角形

3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P,连接CP.

若BC=4，点P到BC的距离为1，求△ABC的面积.

延长AP交BC于点E.

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠EBP.

∵AP⊥BP，

∴∠APB=∠BPE.

在△APB和△EPB中，

∠ABP=∠EBP，BP=BP,∠BPA=∠BPE，

∴△APB≌△EPB（ASA），

∴S△ABP=S△BPE，AP=PE.

∵△APC与△PCE等底同高，

∴S△APC=S△PCE，

∴S△ABC=S△ABP+S△BPE+S△APC+S△PCE=2S△BPC，

∵BC=4，点P到BC的距离为1，

∴S△BPC=1/2×

4×

1=2，

∴S△ABC=2×

2=4.

4.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°

，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，

交BD的延长线于点E.

BD=2CE.

延长BA,CE交于点M.

∵CE⊥BD，

∴∠BEC=∠BEM=90°

.

∵BD平分∠ABC，

∴∠MBE=∠CBE.

又∵BE=BE,

∴△MBE≌△CBE（ASA），

∴EM=EC=1/2MC.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠MAC=90°

，AB=AC,

∴∠ABD+∠BDA=90°

∵∠BEC=90°

∴∠ACM+∠CDE=90°

∵∠BDA=∠CDE，

∴∠ABD=∠ACM.

在△ABD和△ACM中，

∠ABD=∠ACM，AB=AC,∠BAD=∠CAM，

∴△ABD≌△ACM（ASA），

∴DB=MC，

∴BD=2CE.

方法三利用“倍角关系”构造等腰三角形

5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC=2∠C.

AB+BD=AC.

在边AC上截取AP=AB，连接PD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠PAD.

在△ABD和△APD中，

AB=AP，∠BAD=∠PAD，AD=AD,

∴△ABD≌△APD（SAS）.

∴∠APD=∠B，PD=BD.

∵∠B=2∠C，

∴∠APD=2∠C.

又∵∠APD=∠C+∠PDC，

∴∠PDC=∠C，

∴PD=PC,

∴AB+BD=AP+PC=AC.

方法四利用“截长补短法”构造等腰三角形

6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°

，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC,求∠C的度数.

方法一：

截长法

如图，在CD上截取点E，使DE=BD，连接AE.

∵AD⊥BE，DE=BD，

∴AB=AE.

∵AB+BD=DC,

∴AE+DE=DC.

又∵DE+CE=DC,

∴CE=AE=AB.

∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C.

∵∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+3∠C=180°

，∠BAC=120°

∴∠C=20°

；

方法二：

补短法

如图，延长DB至点F，使得BF=AB，则AB+BD=BF+BD=DF=CD,

∴AF=AC,∠C=∠F=1/2∠ABC.

∵∠BAC+∠ABC+∠C=∠BAC+3∠C=180°

7.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外一点，且∠ABD=60°

，∠ACD=60°

BD+DC=AB.

延长BD至点E，使得BE=AB，连接AE,CE.

∵∠ABE=60°

，BE=AB,

∴△ABE为等边三角形，

∴∠AEB=60°

，AE=AB.

又∵∠ACD=60°

∴∠ACD=∠ABE.

∵AB=AC,AB=AE,

∴AC=AE,

∴∠ACE=∠AEC，

∴∠DCE=∠DEC，

∴DC=DE,

∴AB=BE=BD+DE=BD+DC,

即BD+DC=AB.