计算方法习题集含答案第四版Word文档格式.docx
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证明:
当m=0时
设m=k时等式成立,即
当m=k+1时
。
习题2.1
1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程:
(1);
(2)。
解:
(1)迭代公式,公式收敛
k0123
00.250.250980.25098
(2),,局部收敛
k0123456789
1.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.386
2.方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式:
(1),对应迭代公式;
(2),对应迭代公式;
(3),对应迭代公式。
判断以上三种迭代公式在的收敛性,选一种收敛公式求出附近的根到4
位有效数字。
(1)局部收敛
(2)局部收敛
(3)不是局部收敛
迭代公式
(1):
01234567
1.51.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161.4
910111213141516
1.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595
迭代公式
(2):
k0123456
1.51.4811.4731.4691.4671.4661.466
3.已知在[a,b]内有一根,在[a,b]上一阶可微,且,试构造一个局部
收敛于的迭代公式。
方程等价于
构造迭代公式
令
由于在[a,b]上也一阶可微
故上述迭代公式是有局部收敛性.
4.设在方程根的邻近有连续的一阶导数,且,证明迭代公式具有
局部收敛性。
在邻近有连续一阶导数,则在附近连续,
令则取
则时有
从而故令,
由定理2.1知,迭代公式是有局部收敛性。
5.用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值(精确到小数点后两
位)。
y次迭代公式
3.53.643.633.63
6.试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。
y次迭代公式故
从而,时,故,故牛顿迭代公式是线性收敛的
7.应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛
性。
相应的牛顿迭代公式为
迭代函数,,
则,
习题3.1
1.设有方程组
(1)考察用Jacobi法,Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性;
(2)用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组,要求当时迭代终止。
(1)A是强对角占优阵。
故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。
(2)
雅克比法:
,,,
取初始向量,迭代18次有(i=1,2,3),,
高斯-塞德尔法:
,,取初始向量,迭代8次有(i=1,2,3)
,,
2.设有方程组,,迭代公式:
.求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.
证明:
迭代公式中的矩阵,,由迭代收敛的充要条件知即证。
3.用SOR方法解下列方程组(取松驰因子),要求.
.解:
SOR方法
故,迭代初值
k
00.0000000.000000
10.6000000-1.320000
21.2720000-0.854400
30.858240-1.071648
41.071341-0.964268
50.964293-1.017859
61.017857-0.991071
70.991071-0.997768
81.004464-0.997768
90.997768-1.001116
101.001116-0.999442
110.999442-1.000279
121.000279-0.999861
130.999861-1.000070
141.000070-0.999965
150.999965-1.000017
161.000017-0.999991
4.用选列主元高斯消去法求解方程组
解得
5.用追赶法解三角方程组解:
高斯迶元
回代得
解为
6.用三角分解法求解方程组解:
系数矩阵三角分解为:
原方程可表为:
解得
解
得
7.用选主元法去法计算下列行列式的值.解:
8.设计算.解:
习题四.1
1.给出概率积分的数据表:
试用二次插值计算.
X0.460.470.480.49
f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683
取插值节点:
2.已知y=sinx的函数表
X1.51.61.7
sinx0.997490.999570.99166
试构造出差商表,利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小
数),并估计其误差.
由题意得如下差商表
故
又故:
3.设为互异节点(),求证
(1)
(2)证明:
又
所以故
原等式左边用二项式展开得:
由结论得
即证4.若,求和.解:
5.证明两点三次Hermite插值余项是
且
即为的二阶零点
设
易知
由微分中值定理(Rolle定理),使得
进而有三个零点,有两个零点,有一个零点,
即使得
6.构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x)
X-1013
Y-11331
428
已知
边界条件
即
从而
解
得当即时
故同理,在及上均有
7.用最小二乘法求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合
X1925313844
Y19.032.349.073.397.8
依题意
故
正则方程为
解得故拟合曲线为
习题5.
1.试确定下面求积公式
使其具三次代数精度.
要公式有3次代数精度,需有
解得:
故求积公式为
2.在区间上导出含五个节点的Newton-Cotes公式,并指出其余项及
代数精度.解:
当时,
又故当时,有求积公式
(*)
其中
由Lagrange差值定理有:
故余项
对(*)至少有四次代数精度时式(*)左边=右边=
时
故(*)式具有5次代数精度
3.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算
(取步长h=1/6).
(1)用复合梯形公式故
(2)用复合Simpson公式:
4.用变步长梯形求积公式计算
(精确到).
由
得:
5.用Romberg算法计算积分
(精确到).解:
由公式
即已经达到预定精度取
6.试构造两点Gauss公式
并由此计算积分(精确到)
二次Lagendre多项式:
Gauss点为
由公式得令即使得
习题6
1.试用三种方法导出线性二步方法解:
(1)Taylor展开法线性k步公式为
得
即得
且
(2)数值积分法用矩形求积公式
令(中矩形公式)
即得:
(3)由隐式欧拉法得①
由显示欧拉法得②
1代入②得
2.用Taylor展开法求三步四阶方法类,并确定三步四阶显式方法.
线性k步公式为
,在(6.17)中令即
取。
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法,令可得
方法即为3.形如
的k阶方法称为Gear方法,试确定一个三步Gear方法,并给出其截断误差主项。
由Gear法的定义知,三步Gear法满足方法为阶,故有
取得
得三步Gear方法:
其中
4.试用显式Euler法及改进的Euler法
计算初值问题(取步长h=0.2)
并比较两者的误差。
步长,真解
显式法:
改进法:
显然改进的法误差小于法。
5.给出线性多步法为零稳定的条件,并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的.
线性多步法
的相应多项式多项式的两根为:
,。
由判断零稳定的充要条件根条件知:
此方法的零稳定的条件为
由于,,
,,
当方法为零稳定时,从而,故方法是二阶收敛的。
6.给出题(6.5)题中时的公式的绝对稳定域.
6.5中当时,即为方法
其相应的差分方程的多项式为
令,即方法的绝对稳定域为
7.指出Heun方法
0000
1/31/300
2/302/30
1/403/4
的相容阶,并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.
法
中对方法有
类似例将方法应用到得其中
上述步骤可按如下步骤完成:
将原问题初值代入得出当前步的,然后代入,得出,,再以,作为第2个计算步的初值重复上述步骤
可求出
,,依次类推即可求出原问题的相继数值序列.经验证方法满足
由方法阶相容的充要条件知方法具有三阶相容阶。