计算方法习题集含答案第四版Word文档格式.docx

1、 证明：当m=0时设m=k时等式成立，即当m=k+1时。习题2 .11. 试构造迭代收敛的公式求解下列方程： （1）; （2）。解：（1）迭代公式，公式收敛k 0 1 2 30 0.25 0.25098 0.25098（2）， 局部收敛k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.3862. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式： （1）,对应迭代公式; （2），对应迭代公式; （3）,对应迭代公式。 判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4位有效数字。（1）

2、局部收敛（2） 局部收敛 （3） 不是局部收敛迭代公式（1）：0 1 2 3 4 5 6 71.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.49 10 11 12 13 14 15 161.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595迭代公式（2）：k 0 1 2 3 4 5 61.5 1.481 1.473 1.469 1.467 1.466 1.4663. 已知在a,b内有一根，在a,b上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。方程

3、等价于构造迭代公式令由于在a,b上也一阶可微故上述迭代公式是有局部收敛性.4. 设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，令则取则 时 有从而 故 令 ， 由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。5. 用牛顿法求方程在3,4中的根的近似值（精确到小数点后两 位）。y次迭代公式3.5 3.64 3.63 3.636. 试证用牛顿法求方程在1,3内的根是线性收敛的。y次迭代公式 故从而 ，时， 故， 故牛顿迭代公式是线性收敛的7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。相应的牛顿迭代公式为迭代函数，则，习题3.11.

4、 设有方程组（1） 考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；（2） 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。（1） A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。 （2）雅克比法：，取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3） ，高斯-塞德尔法： ， 取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3），2. 设有方程组, , 迭代公式： , . 求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.证明：迭代公式中的矩阵， 由迭代收敛的充要条件知 即证。3. 用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求. 解：SOR方法故， 迭代初值

5、k0 0.000000 0.0000001 0.6000000 -1.3200002 1.2720000 -0.8544003 0.858240 -1.0716484 1.071341 -0.9642685 0.964293 -1.0178596 1.017857 -0.9910717 0.991071 -0.9977688 1.004464 -0.9977689 0.997768 -1.00111610 1.001116 -0.99944211 0.999442 -1.00027912 1.000279 -0.99986113 0.999861 -1.00007014 1.000070 -0

6、.99996515 0.999965 -1.00001716 1.000017 -0.9999914. 用选列主元高斯消去法求解方程组解得5. 用追赶法解三角方程组 解：高斯迶元 回代得解为6. 用三角分解法求解方程组 解：系数矩阵三角分解为：原方程可表为：解 得 解得7. 用选主元法去法计算下列行列式的值. 解：8. 设计算 . 解：习题四.11. 给出概率积分 的数据表：试用二次插值计算.X 0.46 0.47 0.48 0.49f（x） 0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683取插值节点：2. 已知y=sinx的函数表X 1.5 1.6 1.7sin

7、x 0.99749 0.99957 0.99166试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin（1.609）（保留5位小数），并估计其误差.由题意得如下差商表故又 故：3. 设为互异节点（）,求证 （1） （2） 证明：又所以 故原等式左边用二项式展开得：由结论 得即证 4. 若,求和. 解：5. 证明两点三次Hermite插值余项是 且即 为的二阶零点设 易知由微分中值定理（Rolle定理），使得进而 有三个零点，有两个零点，有一个零点，即使得6. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S（x）X -1 0 1 3Y -1 1 3 314 28已知边界条件 即从而解得 当即时故 同理

8、，在及上均有7. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合X 19 25 31 38 44Y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8依题意 故正则方程为解得 故拟合曲线为习题5. 1 试确定下面求积公式使其具三次代数精度.要公式有3次代数精度，需有 解得： 故求积公式为2 在区间上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及代数精度. 解：当时，又 故 当时，有求积公式 （）其中 由Lagrange差值定理有：故余项对（）至少有四次代数精度 时 式（）左边=右边=时 故（）式具有5次代数精度3 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算 , （取步长h

9、=1/6）.（1）用复合梯形公式 故 （2）用复合Simpson公式： 4 用变步长梯形求积公式计算 , （精确到）.由得：5 用Romberg算法计算积分, （精确到）. 解： 由公式即已经达到预定精度 取6 试构造两点Gauss公式, 并由此计算积分（精确到） 二次Lagendre多项式：Gauss点为由公式 得 令即使得习题61 试用三种方法导出线性二步方法 解：（1）Taylor展开法 线性k步公式为 得即得且（2） 数值积分法 用矩形求积公式令（中矩形公式）即得：（3） 由隐式欧拉法得 由显示欧拉法得 1 代入得2 用Taylor展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法.线性k

10、步公式为，在（6.17）中令 即取。满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令可得方法即为 3 形如的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误 差主项。由Gear法的定义知，三步Gear法满足 方法为阶，故有 取得得三步Gear方法： 其中 4 试用显式Euler法及改进的Euler法计算初值问题（取步长h=0.2）并比较两者的误差。步长, 真解显式法： 改进法： 显然改进的法误差小于法。5 给出线性多步法 为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的. 线性多步法的相应多项式 多项式的两根为：，。由判断零稳定的充要条件 根条件 知：此方法的零稳定的条

11、件为由于 ， ，当方法为零稳定时 ，从而，故 方法是二阶收敛的。 6 给出题（6.5）题中时的公式的绝对稳定域.6.5中当时，即为方法其相应的差分方程的多项式为令 ， 即方法的绝对稳定域为7 指出Heun方法0 0 0 01/3 1/3 0 02/3 0 2/3 01/4 0 3/4的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题（6.45）的步骤. 法中对方法有类似例将方法应用到得 其中上述步骤可按如下步骤完成：将原问题初值代入得出当前步的， 然后代入，得出，再以，作为第2个计算步的初值重复上述步骤可求出，依次类推即可求出原问题的相继数值序列. 经验证方法满足由方法阶相容的充要条件知方法具有三阶相容阶。