测评四十四利用空间向量求线线角与线面角Word格式.docx
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所以<
a,b>
=60。
.
CD所成角为0,则cos0=（）
【解析】选D.如图,因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,
所以取BC中点O,则AO,BC,OD两两垂直，以0为原点，建立如图空间直角坐标系0-xyz.
AS=（0,-2,-^V3）^P=（^3,-2,0）,
【解析】选B.建系如图，设正方体棱长为
liP,F
-1,尹.
设平面AEF的一个法向量为n=（x,y,z）.
in*AlF=0,
即V
（-X+^=0
2
所以n=（1,2,1）,cos<
n,血竄>
△_"
设AB与平面AEF的夹角为0,
贝Usin0=cos<
n,Al民>
=^
即所求线面角的正弦值为-
5.在正四棱锥S-ABCD中,0为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点,且S0=0D则直线BC
6.
与平面PAC所成的角是（）
设0D=S0=0A=0B=0C=a,
则A（a,0,0）,B（0,a,0）,C（-a,0,0）,
P（0,-簣）,则G4=（2a,0,0）,
尿（-a,-貯,g,0）,设平面PAC的一个法向量为n=（x,y,z）,
则K互7解得F二臥可取n=（0,1,1）,
71*AP=0,（y—爲
又因为0°
<
<
C3,n>
180°
CB,n>
=60°
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°
-60°
=30°
.
二、填空题（每小题5分,共15分）
7.在三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,/BAC=90,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中
点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为
【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
由AB=AC=1,PA=2,
得A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,P（0,0,2）,
所以R4=（0,0,-2）,DE=（0，寸,0
"
=（-越,1
设平面DEF的法向量为n=（x,y,z）,
y=6
彳得
-X+y+2z=0.
取z=1,则n=（2,0,1）,
设直线PA与平面DEF所成的角为0,
肓亍IPA•rI
贝Usin0=|迹<
n,Pj4>
|=~~-=—,
iJMiliil5
所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为——
8.在三棱柱ABC-ABC中,侧棱AiA丄底面ABC,AC=1,AA=2,/BAC=90,若AB与直线AC的
4
夹角的余弦值是一则棱AB的长度是
■—P*
【解析】如图建立坐标系.设AB=a,则
A（O,O,O）,Bi（a,0,2）,Ai（0,0,2）,C（0,1,0）,
—
所以AHi=（a,0,2）,且lC=（0,1,-2）,
*
所以|COSVABi,AlC>
|
解得a=1,所以棱AB的长度是1.
答案:
1
9.在三棱柱ABC-ABC中，底面边长和侧棱长都相等，/BAA=/CAA=60°
则异面直线AB与
BG所成角的余弦值为
【解析】连接AB交AB于点0,取AiG的中点D,连接BDQO.
因为0,D分别为AiB,AiG的中点,
设各棱长为a,则DB史a.
因为/AAB=60,所以0B=A0La.
又因为-^C-AB,
2*■为
所以5亡丄=（百卫丄+4C-AB）2
+2山?
11•AC+刈ZT*-2卫百1•AE-
=a2+2a2cos60°
+a2-2a2cos60°
-2a2cos60°
+a2=2a2,所以11=V2a,
所以0DhBG—a.
22
在^DOB中,由余弦定理得
所以AB与BG所成角的余弦值为.
b
答案：
一
€
三、解答题（每小题10分,共20分）
10.如图所示,在正方体ABCDA'
B'
CD'
中,已知点H在正方形AB'
CD的对角线
B'
D'
上,/HDA=60.求DH与CC所成的角的大小.
LA,
丄）丄二==亠活三■亠*
【解析】如图所示,
事+
以D为原点，DA为单位长度，建立空间直角坐标系D-xyz,贝^门国=（1,0,0）,CZ7=（0,0,1）.
fJ
1
设DW=（m,m,1）（m>
0）.
由已知,<
丽，刃>
=60
由•DH=|D14|•iDHi•cos<
DH,DA>
可得2m韶2nF+1,
解得m孚所以可?
=（孚孚1
——*——rLx®
+L斗0+丄”L*乜因为cos<
DH,CC’>
——J'
lXy2
>
i80°
所以＜而，亡＞=45即DH与CC所成的角为45°
11.（2020•黄冈模拟）如图所示,在四棱台ABCD-ABiCiD中,AAi丄底面ABCD四边形ABCD为菱
形,/BAD=120,AB=AAi=2AiBi=2,
（1）若M为CD的中点,求证:
AM丄平面AABB.
（2）求直线DD与平面AiBD所成角的正弦值.
【解析】⑴因为四边形ABCE为菱形，/BAD=i20,
连接AC,则^ACD为等边三角形，
又因为M为CD的中点，
又因为ABAAA=A,
所以AM!
平面AABiB.
⑵因为四边形ABCD为菱形，/BAD=i20,AB=AA=2AB=2,
所以/AMDMBAM=90,
所以DM=i,AM=3,
又因为AA丄底面ABCD,分别以AB,AM,AA为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
A（O,O,2）,B（2,O,O）,D（-1,*3O）,
d（T厝」2）,
所以I55i=G厂Y，2）,
IW=（-3,J^,。
）,
Aj”=（2,0,-2）,
设平面AiBD的一个法向量n=（x,y,z）.
n*JiD=O
则有
-3x+V3y=0n亠AiB-O?
j
（2x-2z=0
令x=1,则n=（1,V3,1）,
所以直线DD与平面ABD所成角0的正弦值sin0=|cosn,
fl*DD,
Ini•IDDJ
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