广义角三角函数.docx

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广义角三角函数

2-4廣義角的三角函數

重點整理

1.有向角：

規定平面上一射線（始邊）依逆時針旋轉為正角、順時針旋轉為負角，旋轉至（終邊）所得的角即稱為有向角（有方向性的角）。

其角度為旋轉量前加正或負。

（依其旋轉方向決定）

2.有向角之角度不再限制於到之間，因此稱為廣義角。

3.同界角：

兩個有向角若其始邊及終邊相同，則稱他們為同界角。

因此”與為同界角”。

4.在坐標平面上以軸正向為的始邊，原點為其頂點（此角稱為在標準位置），若其終邊落在第象限上，則稱為第象限角（若終邊落在坐標軸上，則稱為象限角），因此：

（1）為第一象限角，。

（2）為第二象限角，。

（3）為第三象限角，。

（4）為第四象限角，。

5.若為在標準位置的廣義角，且為其終邊上的一點，，則定義的三角函數為：

，，，，，

6.任意兩同界角的六個三角函數值均相等。

7.由定義可知各象限角的三角函數值可能正或負，可由右圖來判別正值。

8.三角函數特別角之函數值：

（利用右圖，單位圓上一點的坐標為）

函數

9.由定義可知，三角函數值的範圍如下：

，而可為任意實數。

10.由定義可知各象限角的三角函數值可能正或負，可由右圖來判別正值。

11.廣義角三角函數值化為銳角三角函數值：

若，

（1），

，

。

（2），

，

。

（3），

，

。

（4），

，

。

（5），

，

。

（6），

，

。

（7），

，

。

（8），

，

。

（9），

，

。

12.變換規則：

（1）遇“換成”時：

函數不變，但前面需加上所在象限角對應之三角函數之正負號。

例如：

（2）遇“換成”時：

三角函數之正函數與餘函數互換（即，，），且前面需加上所在象限角對應之三角函數之正負號。

（3）其餘三角函數，由倒數關係式可知，與同、與同、與同。

重要例題：

1.求

（1），

（2），（3），在與之間的同界角。

2.若為第二象限角，則可能為第象限角。

類1.若為第二象限角，則為第象限角。

類2.的最小正同界角為；最大負同界角為。

類3.若，則中有幾個角在第二象限？

Ans:

1.一或三，2.，3.17。

3.求

（1），

（2），（3）

4.若有向角終邊上一點且，求的其他三角函數值。

類1.求。

類2.若終邊上有一點，且，則

（1），

（2）。

類3.如右圖，單位圓與軸交於、兩點。

角的頂點為原點，始邊在軸的正向上，終邊為，直線垂直於軸且與角的終邊交於點。

則下列哪一個函數值為？

（A）（B）（C）（D）（E）。

（86.社）

Ans:

1.–2，2.

（1）,

（2），3.D。

5.若非象限角，且，則點在第象限。

6.下列何者有意義？

（A）（B）（C）（D）（E）。

類1.座標平面上，若點落在第二象限，則點落在第象限。

類2.點在第象限。

類3.設，則。

類4.若，下列何者有意義？

（A）（B）（C）（D）。

Ans:

1.三，2.四，3.2，4.BC。

7.若，則。

類1.若，且，則。

類2.若，則。

類3.若，則。

類4.已知，則。

類5.設為第三象限角，且滿足，求？

類6.設為第二象限角，且滿足，求？

Ans:

1.1，2.，3.，4.，5.，6.。

8.，則　　　　，　　　。

類1.若，則。

類2.已知，且及為的兩根，則判別式。

（82.社）

類3.已知，則。

類4.設，則。

Ans:

1.，2.，3.，4.。

9.化簡

類1.。

類2.若，，，則。

類3.。

類4.化簡其值為　　　　　。

類5.若，則=。

類6.求。

Ans:

1.–1，2.8，3.，4.1，5,，6.。

10.設，則。

（以來表示）

類1.若，則。

類2.設，則。

Ans:

1.，2.。

11.；。

類1.；。

類2.設，則；=。

類3.。

類4.。

Ans:

1.0,0，2.1,-1，3.90，4.–1。

12.若，解方程式，得。

類1.若，解方程式，得。

類2.　　　　　個。

Ans:

1.，2.8。

13.求的最大值及最大值？

類1.求的最大值及最小值？

Ans:

1.21,9。

14.利用三角函數數值表查下列各三角函數值：

（1），

（2），（3），（4）。

類1.利用三角函數數值表查下列各三角函數值：

（1），

（2），（3），（4）。

Ans:

1.

（1）-0.2164，

（2）-0.1944，（3）-1.064，（4）0.9013。

15.已知，則？

類1.已知，則？

類2.已知，若，且，則？

Ans:

1.0.3462，2.。

預備題目：

類5.若，則=。

16.若，比較下列大小：

；；；；；。

類1.下列何者正確？

（A）（B）（C）（D）（E）。

類2.下列何者較大，而較小？

（A）（B）（C）（D）（E）。

17.設，若存在使得，則的範圍為。

類1.若存在使得，則的範圍為。

類6.設為一三角形的三內角，試證：

（1），

（2），（3），（4）。