高中数学复习提升第一部分专题三第一讲 空间几何体的线面关系文档格式.docx
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A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β
α∥β;
当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
5.(2017·
福州质检)“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是( )
A.直线l与平面α内的任意一条直线垂直
B.过直线l的任意一个平面与平面α垂直
C.存在平行于直线l的直线与平面α垂直
D.经过直线l的某一个平面与平面α垂直
A,B,C均为充要条件,因为“直线l垂直于平面α”可以推得“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”,反之未必成立,故选D.
D
6.(2017·
菏泽模拟)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交D.以上均有可能
7.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E,F分别为AD,CD的中点,若过EF作平行于平面AB1C的平面,则所作平面在正方体表面截得的图形的周长为( )
A.6
B.
+2
C.3
D.2
8.已知点E,F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则满足与平面ABCD平行的直线MN有( )
A.0条B.1条
C.2条D.无数条
9.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M,N分别在AB1,BC1上,且AM=
AB1,BN=
BC1.给出下列结论:
①AA1⊥MN;
②A1C1∥MN;
③MN∥平面A1B1C1D1;
④B1D1⊥MN.其中正确结论的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
10.直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:
①若m∥n,n∥α,则m∥α;
②若m∥β,α∥β,则m∥α;
③若m⊥n,n⊥α,则m∥α;
④若m⊥β,α⊥β,则m∥α.其中正确命题的个数是( )
由空间直线与平面平行关系可知①正确;
由空间直线与平面平行关系可知②正确;
由线面垂直,线面平行的判定和性质可知③正确;
由线面垂直,面面垂直可知④正确,故选D.
11.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
B.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β
C.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β
D.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β
当m∥α,n⊥β,m⊥n时,α,β可能垂直,可能相交也可能平行,故选项A,B错误;
如图所示,由m∥n,得m,n确定一个平面γ,设平面γ交平面α于直线l,因为m∥α,所以m∥l,l∥n,又n⊥β,所以l⊥β,又l⊂α,所以α⊥β,故选项C正确,D错误,故选C.
12.已知α,β是两个不同的平面,有下列三个条件:
①存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β;
②存在一条直线a,a⊂α,a⊥β;
③存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α.
其中,所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )
A.①B.②
C.③D.①③
对于①,存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β,则α⊥β,反之也成立,即“存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β”是“α⊥β”的充要条件,所以①对,可排除B、C.
对于③,存在两条垂直的直线a,b,则直线a,b所成的角为90°
,因为α⊥β,b⊥α,所以α,β所成的角为90°
,即α⊥β,反之也成立,即“存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α”是“α⊥β”的充要条件,所以③对,可排除A,选D.
二、填空题
13.(2017·
合肥检测)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,有以下四个命题.
①
⇒β∥γ;
②
⇒m⊥β.
③
⇒α⊥β;
④
⇒m∥α.
其中正确的命题是________.
对于②,直线m与平面β可能平行或相交或在平面内;
对于④,直线m可能也在平面α内.而①③都是正确的命题.
①③
14.设α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个命题:
①若n⊂α,n∥β,α∩β=m,则n∥m;
②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;
④若m⊥α,α⊥β,m∥n,则n∥β.
其中正确的命题序号为________.
逐个判断.由线面平行的性质定理知①正确;
由面面平行的判定定理知直线m,n相交时才成立,所以②错误;
由面面垂直的性质定理知③正确;
④中,可以是n⊂β,所以④错误,即正确命题是①③.
15.若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;
②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;
③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;
④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.
对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;
对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,在平面β内存在无数条与交线平行的直线,这无数条直线均与直线m垂直,故②正确;
对于③,④,若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确.
②④
16.设x,y,z为空间不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,下列说法中能保证“若x⊥z,y⊥z,则x∥y”为真命题的序号为________.
①x为直线,y,z为平面;
②x,y,z都为平面;
③x,y为直线,z为平面;
④x,y,z都为直线;
⑤x,y为平面,z为直线.
①x⊥平面z,平面y⊥平面z,
∴x∥平面y或x⊂平面y.
又∵x⊄平面y,故x∥y,①成立;
②x,y,z均为平面,则x可与y相交,故②不成立;
③x⊥z,y⊥z,x,y为不同直线,故x∥y,③成立;
④x,y,z均为直线,则x与y可平行,可异面,也可相交,故④不成立;
⑤z⊥x,z⊥y,z为直线,x,y为平面,所以x∥y,⑤成立.
①③⑤
B组 “12+4”组合练(建议用时:
45分钟)
1.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内所有的直线都与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内所有的直线都与a相交
D.直线a与平面α有公共点
根据线面位置关系可以得到直线a与平面α相交或在平面α内,易知D正确.
2.设α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件为( )
A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l
B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
C.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α
D.n⊥α,n⊥β,m⊥α
对于A,α⊥β,α∩β=l,m⊥l,缺少条件m⊂α,故不正确;
对于B;
α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
对于C,α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
对于D,n⊥α,n⊥β,则α∥β,又m⊥α,则m⊥β,故正确,故选D.
3.如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE
因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.
4.(2017·
天津模拟)如图所示,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°
,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
∵∠BAC=90°
,∴AB⊥AC,
又AC⊥BC1,BC1∩AB=B,
∴AC⊥平面ABC1,
又AC⊂平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ABC1.
∵平面ABC1∩平面ABC=AB,
∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.
5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,则下列说法正确的是( )
A.O是△AEF的垂心
B.O是△AEF的内心
C.O是△AEF的外心
D.O是△AEF的重心
由题意可知PA、PE、PF两两垂直,
所以PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,因为PO∩PA=P,
所以EF⊥平面PAO,
∴EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
∴O为△AEF的垂心.故选A.
6.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n
B.m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n
C.m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β
D.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
7.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,且m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是( )
A.若α∥β,则m∥n
B.若m∥n,则α∥β
C.若n⊥α,则m⊥β
D.若m⊥β,则α⊥β
8.在空间中,a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则真命题是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则a⊥b
C.若a∥α,a∥b,则b∥α
D.若α∥β,a⊂α,则a∥β
9.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,则下列四个命题中不正确的是( )
A.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
B.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
C.若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β
D.若m∥α,α∩β=n,则m∥n
10.若m,n为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题:
①若m∥α,m∥β,则α∥β;
②若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
③若m∥α,m∥n,则n∥α;
④若m⊥α,α∥β,则m⊥β.
其中为真命题的是( )
A.③④B.①②
C.②④D.①③
对于命题②,∵m∥β,∴存在直线n⊂β且m∥n.∵m⊥α,n⊥α,∴α⊥β,∴②正确.对于命题④,∵一条直线垂直于两平行平面中的一个,那么这条直线也与另一平面垂直.∴④正确.故选C.
11.在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中,D为BB1的中点,F在AC1上,且DF⊥AC1,则下述结论:
①AC1⊥BC;
②AF=FC1;
③平面DAC1⊥平面ACC1A1.其中正确的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
BC⊥CC1,若AC1⊥BC,则BC⊥平面AA1C1C,显然不成立(设棱长为2),∴①错;
②连接AD,DC1,在△ADC1中,AD=DC1=
,而DF⊥AC1,∴F是AC1的中点,∴②对;
由②知在△ADC1中,DF=
,连接CF,易知CF=
,而在Rt△CBD中,CD=
,∴DF2+CF2=CD2,∴DF⊥CF,又DF⊥AC1,CF∩AC1=F,∴DF⊥平面AA1C1C,又DF⊂平面DAC1,∴平面DAC1⊥平面ACC1A1,∴③对,故选C.
12.如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是( )
A.BM是定值
B.点M在某个球面上运动
C.存在某个位置,使DE⊥A1C
D.MB∥平面A1DE
取CD的中点F,连接MF,BF,AF(图略),则MF∥DA1,BF∥DE,∴平面MBF∥平面A1DE,∴MB∥平面A1DE,故D正确.
∵∠A1DE=∠MFB,MF=
A1D,FB=DE,由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·
FB·
cos∠MFB,∴MB是定值,故A正确.∵B是定点,BM是定值,∴M在以B为球心,MB为半径的球上,故B正确.∵A1C在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连线,不可能与DE垂直,∴不存在某个位置,使DE⊥A1C.故选C.
13.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;
②α⊥β;
③n⊥β;
④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:
________(用代号表示).
若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;
同理①②④⇒③也错误;
①③④⇒②与②③④⇒①均正确.
①③④⇒②或(②③④⇒①)
14.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线MN与AC所成的角为60°
.
其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上).
AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,为60°
③④
15.如图,PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________.
∵PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,
∴CB⊥PA,CB⊥AC,又PA∩AC=A,
∴CB⊥平面PAC.
又AF⊂平面PAC,∴CB⊥AF.
又∵F是点A在PC上的射影,
∴AF⊥PC,又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,
∴AF⊥平面PBC,
故①③正确.又∵E为A在PB上的射影,∴AE⊥PB,
∴PB⊥平面AEF,故②正确.
而AF⊥平面PCB,∴AE不可能垂直于平面PBC.故④错.
①②③
16.如图是一个正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM与ED是异面直线;
②CN与BE平行;
③CN与BM成60°
角;
④DM与BN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
由题意画出该正方体的图形如图所示,连接BE,BN,显然①②正确;
对于③,连接AN,易得AN∥BM,∠ANC=60°
,所以CN与BM成60°
角,所以③正确;
对于④,易知DM⊥平面BCN,所以DM⊥BN正确.
①②③④
B卷 大题规范练(建议用时:
60分钟)
1.(2017·
泰安模拟)如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E,F,G分别为PC,AD,PD的中点,OP=OA,PA⊥PD.
求证:
(1)FG∥平面BDE;
(2)平面BDE⊥平面PCD.
证明:
(1)连结OE(图略).
在△APC中,E、O分别为PC、AC的中点,
∴OE∥PA,
在△APD中,F、G分别为AD、PD的中点,
∴FG∥PA,
∴FG∥OE,
又FG⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,
∴FG∥平面BDE.
(2)∵PA⊥PD,OE∥PA,
∴OE⊥PD,
又OP=OA,OA=OC,
∴OP=OC,
∴OE⊥PC,
又PC∩PD=P,
∴OE⊥平面PCD,
又OE⊂平面BDE,
∴平面BDE⊥平面PCD.
2.(2017·
德州模拟)在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是等边三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4
,∠CDA=120°
,点N在线段PB上,且PN=2.
(1)求证:
BD⊥PC;
(2)求证:
MN∥平面PDC.
(1)∵△ABC是等边三角形,M是AC中点,
∴BM⊥AC,即BD⊥AC.
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC.
(2)在等边△ABC中,BM=6.
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD.
∠ADC=120°
,∴DM=2,
在直角△PAB中,PA=4,AB=4
,PB=8,
∴
=
,
∴MN∥PD.
又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC,
∴MN∥平面PDC.
3.如图①,矩形ABCD中,AB=2BC=4,M,N,E分别为AD,BC,CD的中点.现将△ADE沿AE折起,折起过程中点D仍记作D,得到图②所示的四棱锥DABCE.
(1)证明:
MN∥平面CDE;
(2)当AD⊥BE时,求四棱锥DABCE的体积.
取AE的中点F,连接MF,NF,如图.
因为M,F分别为AD,AE的中点,所以MF∥DE,又MF⊄平面CDE,DE⊂平面CDE,所以MF∥平面CDE.
同理可证NF∥平面CDE.
又MF,NF⊂平面MNF,MF∩NF=F,所以平面MNF∥平面CDE.
因为MN⊂平面MNF,所以MN∥平面CDE.
(2)在题图①中,因为AB=2BC=4,
所以BE=AE=2
,AE2+BE2=AB2,
所以BE⊥AE.
又AD⊥BE,AE,AD⊂平面ADE,AE∩AD=A,
所以BE⊥平面ADE,又BE⊂平面ABCE,
所以平面ADE⊥平面ABCE.
连接DF,由△ADE为等腰三角形,F为AE的中点,得DF⊥AE,所以DF⊥平面ABCE,所以线段DF即为四棱锥DABCE的高.
因为AD=DE=2,所以AE=2
,所以DF=
四边形ABCE的面积为S=
×
2=6,
所以四棱锥DABCE的体积为V=
6×
=2
4.在四棱锥EABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,
F为BE的中点.
DE∥平面ACF;
(2)若AB=
CE,在线段EO上是否存在点G,使CG⊥平面BDE?
若存在,求出
的值;
若不存在,请说明理由.
连接OF,因为O为DB中点,F为EB中点,
所以OF∥DE.
又OF⊂平面ACF,DE⊄平面ACF,
所以DE∥平面ACF.
(2)在线段ED上存在点G,使CG⊥平面BDE.
理由如下:
如图,取EO的中点G,连接CG.
在四棱锥EABCD中,
AB=
CE,CO=
AB=CE,所以CG⊥EO.
又由EC⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,所以EC⊥BD,
由四边形ABCD是正方形可知,AC⊥BD,
又AC∩EC=C,
所以BD⊥平面ACE,而BD⊂平面BDE,
所以平面ACE⊥平面BDE,且平面ACE∩平面BDE=EO,
因为CG⊥EO,CG⊂平面ACE,所以CG⊥平面BDE,
故在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE.
由G为EO的中点,得