直线形中的常用公理和定理Word下载.docx
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•Z1=Z2
10■定理：
两直线平行内错角相等
•Z1=Z211■定理：
两直线平行，同旁内角互补
•Z1+Z2=180°
12■公理：
同位角相等两直线平行（公理和定义可以用来证明定理）
vZ1=/2
二a//b
13■定理：
内错角相等两直线平行
vZ1=Z2
•••a//b
14.定理：
同旁内角互补，两直线平行
vZ1+Z2=180°
•a//b
15■定理：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
va//b,a//c
•b//c
16■定理：
如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
va丄c,b丄c
•a//bl
仃■定理：
角平分线上的点，至U这个角的两边距离相等
vOP平分ZAOB,PA丄OA,PB丄OB
•PA=PB
18■定理：
在一个角的内部，至蛹的两边距离相等的点在这个角的角平分线上•••PA丄OA,PB丄OB
PA=PB
二OP平分/AOB
佃定义：
两个角的和等于直角时，称两个角互为余角，两个角的和等于平角时，称两个角互为补角。
•••/1与/2互补
•••/1与Z2互余vZ1+Z2=90°
20定理：
同角（或等角）的余角相等
vZ1+ZA=90°
vZ1+Z2=90°
•ZA=Z221.内角和定理：
三角形的内角和等于180°
ZA+ZB+ZC=180°
22.外角和定理：
三角形的内角和等于360°
Z1+Z2+Z3=360°
23■三角形的外角定理：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
vZ1是厶ABC的外角
•Z1=ZB+ZC
24■三角形的外角推论：
三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角
•••/1>
ZB
Z1>
ZC
25■三角形的三边关系：
三角形任意两边的和大于第
三边，任意两边的差小于第三边
ab>
c,a+c>
ba-bvc,a—c>
bb+c>
a
b—cva
1
26.三角形的面积：
S=丄ah
2
27.推论：
等底等高的三角形面积相等，等高三角形面积的比等于底的比
vBD=DC
SaABD=SaADC,Saefh:
Saehg=FH:
HG
28.全等三角形的判别：
公理：
（1）边角边
（2）角边角（3）边边边
（1）vAB=DE,ZB=ZE,BC=EF
•△ABCBADEF
（2）vZA=ZD,AB=DE,ZB=ZE
•AABCBADEF
（3）vAB=DE,BC=EF,AC=DF
•AABCBADEF
（4）定理：
角角边
vZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF
D
29.公理：
全等三角形的对应角相等，对应边相等
vAABCBADEF
•
（1）ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF
（2）AB=DE,BC=EF,AC=DF
E
30•定理：
（1）有两个角对应相等的两个三角形相似
（2）
（3）
（1）
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似vZA=/D，/B=ZE
•••△ABCsADEF
vAB:
DE=BC:
EF
EF=AC：
DF
31.定理：
相似三角形对应角相等，对应边成比例
32.定理：
相似三角形对应角平分线的比，对应中线的比，对应高的比，周长的比都等于相似比
vAABCsADEF
•••AH:
AD=EF:
BC
33•定理：
相似三角形面积的比等于相似比的平方
•••AB//DC
:
.Saaob:
Sacod=（BO:
OD）2
34.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
•••点D和E分别是AB和AC的中点
•••DE是厶ABC的中位线，
•••DE//BC,DE=丄BC
C
35•等腰三角形的性质和判定：
（2）等腰三角形的两个底角相等
（1）vZB=ZC
•••AB=AC
（2）vAB=AC
•ZB=ZC
有两个角相等的三角形是等腰三角形
36.定理：
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合
（三线合一）
（1）vAB=AC,AD平分/BAC•••BD=DC,AD丄BC
（2）vAB=AC,BD=DC
•••AD平分/BACAD丄BC
（3）vAB=AC,AD丄BC
•••BD=DC,AD平分/BAC
37.等边三角形的判定定理：
有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形
（1）vAB=BC=AC
.•./A=ZB=ZC
（2）vZA=ZB=ZC
AB=BC=AC
（3）tAB=AC,ZC=60
38.定理：
有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
•••/C=ZF=90°
AC=DF,CB=FE.Rt△ABC也Rt△DEF
39.勾股定理：
直角三角形中，两条直角边平方的和等于斜边的平方
•••/C=90°
.a2b2=c2
40.勾股定理的逆定理：
在三角形中，如果一条边的平方等于其它两边平方的和，那么这条边所对的角是90°
•••a2b2=c2
c
A__—XB
41.
（1）定理：
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
（2）逆定理：
在三角形中，如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角
三角形
（1）I/C=90°
D是AB的中点
sinAcosBc
tarB
tanA二旦
b
cosAsirBc
A
46.平行四边形的判定定理：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（5）对角线互相平分的四边形平行四边形
（1）vAB//CD,AD//BC
•••四边形ABCD是平行四边形
（2）vAB=CD,AD=BC•四边形ABCD是平行四边形
（3）vZABC=ZADC，/BAC=ZBCA•四边形ABCD是平行四边形
（4）
vAB=CD,AB//CD•四边形ABCD是平行四边形
（5）vAO=OC,BO=OD•四边形ABCD是平行四边形
47•平行四边形的面积：
S=ah
49.
等腰梯形的性质定理：
（1）在梯形ABCD中
•/AB=CD
•••/ABC=ZDCB，/BAD=ZCDA
（2）在梯形ABCD中
•AC=BD
48.等腰梯形的判定定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形在梯形ABCD中
•••/ABC=ZDCB
/BAD=ZCDA
•AB=CD,AC=BD
等腰梯形的判定定理：
对角线相等的梯形是等腰梯形
在梯形ABCD中
•/AC=BD
•AB=CD
梯形中常见的辅助线:
行线（平移对角线）
50.梯形的面积：
S=（AD+BC）AE
51.矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）有三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
52.矩形的性质定理：
矩形的对边平行且相等，矩形的对角线相等且互相平分，矩形的四个角都是直角在矩形ABCD中：
AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,BO=OD,/ABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°
53.菱形的性质定理：
菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，菱形的对角相等，菱形的对角线垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角。
在菱形ABCD中
（5）
AB//CD,AD//BC
AB=DC=AD=BC
/BAC=ZBCD，/ADC=ZABCAC丄BD,AO=OC,BO=OD,AC平分/BAD和/BCD,BD平分/ABC和/ADC。
54.菱形的判定定理：
一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形在平行四边形ABCD
中，•••AC=BD
•••四边形ABCD是菱形
（2）在四边形ABCD中，•四边形ABCD是菱形
（3）在平行四边形ABCD•四边形ABCD是菱形
中，•••AC丄BD
AD•BC
（2）S=AD•BE
56.正方形的性质：
正方形具备菱形和矩形的所有性质。
正方形的判定：
55.菱形的面积：
（1）S=
（1）一组邻边相等的矩形是正方形
（2）对角线相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形（4）对角线相等的菱形形是正方形
57.
（1）矩形ABCD中，TAB=BC二四边形ABCD是正方形
（2）矩形ABCD中，TAC=BD二四边形ABCD是正方形
（3）在菱形ABCD中，•••/BAD=90°
二四边形ABCD是正方形
（4）在菱形ABCD中，TAC=BD二四边形ABCD是正方形
58.圆的重要定理：
垂径定理：
垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
•/AB是直径，CD是弦，且AB丄CD于E
•••CE=ED,AC=AD,CB=BD
59.逆定理：
平分弦（被平分的弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
•/AB是直径，CD是弦，且CE=ED,
•AB±
CD,AC=AD,CB=BD
60.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论：
半圆或直径所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径。
61.在同圆或等圆中，如果两条弧、两个圆心角，两条弦，两条弦心距四组量中有有组量相等，那么其余各组量都相等
62•切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）
•••AB是切线，点C是切点
•AB丄OC
63.切线的判定定理：
经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
•••AB丄OC,AB经过点C
•••AB是切线，
64.
圆的周长C=2二R，圆的面积S=二R。
圆内的弧长丨=nR,扇形的面积==11r
1803602
65.圆锥的侧面展开图：
圆锥的侧面S=扇形的面积S=—1R
初中阶段常见的几类函数
1.正比例函数y=kxk=0
（1）求表达式（即求k）,只要一个点。
（2）当k>
0时，图象在第一，三象限，y随x的增大而增大，当kv0时，图象在第二，四象限，y随x的增大而减小。
k□i
二.反比例函数y二一k^0或y=kx,xy=kx
（1）求表达式（即求k）,只要一个点。
四象限，y随x的增大而增大。
⑶点A是双曲线上的一点，AB丄x轴于点B,AB=1yI,BO=1xI,
1111
S=ab•bo=IxI•IyI=IxyI=—IkI
2222
y=kxk=0向下平移IbI个单位得到y=kx■bk=0,
（1）求表达式（即求k和b）,要两个点。
（3）与x轴交于点
（-一,0）,与y轴交于点B（0,b）
4.顶点式：
y=a（x—hf+k（a鼻0）
的对称轴是x=h，顶点坐标是（h,k）,当x=h时，y最大=k
k
5.—般式：
y=axbxca=0
2b
当b-4ac=o时，有一个交点，即：
（,0）
a
当b2-4acvo时，没有交点。
与y轴交点的坐标是（0,c）
6.二次函数应用的重点是：
最大或最小值的问题，
（一）最大利润问题：
（1）设要求的未知量为x，可取得最大或最小的量为y。
（2）找出降或升1元，多或少卖多少件。
（3）用含x的代数式表示出降价或升价后的单价，变化后的销售量。
禾U润总额=每件利润X变化后的销售量。
列出二次函数式。
设要求的未知量为
用含x的代数式表示出与面积相关的边或线段。
根据面积公式或相似三角形，或其他定理列出二次函数式。
7.
函数图象的交点坐标：
一次函数y二kx•bk=0与一次函数y二mx•nm=0的图象的交点坐标是方程组
{
y=kxb
y二mx•n的解
8.—次函数y=kx•bk=0与二次函数y=axbxc0的图象的交点坐标是
方程组
{…
、y二axbxc的解
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