东营专版201x年中考数学复习 专题类型突破 专题一 5大数学思想方法训练.docx

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东营专版201x年中考数学复习专题类型突破专题一5大数学思想方法训练

专题一　5大数学思想方法

类型一分类讨论思想

（xx·临沂中考）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG.

（1）如图，当点E在BD上时，求证：

FD＝CD；

（2）当α为何值时，GC＝GB？

画出图形，并说明理由．

【分析】

（1）先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；

（2）当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．

【自主解答】

在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．

1．（xx·宿迁中考）在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）

A．5B．4C．3D．2

2．（xx·随州中考）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：

天数（x）

1

3

6

10

每件成本p（元）

7.5

8.5

10

12

任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：

设李师傅第x天创造的产品利润为W元．

（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）求李师傅第几天创造的利润最大？

最大利润是多少元？

（3）任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：

如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？

类型二数形结合思想

（xx·齐齐哈尔中考）某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s（km）和行驶时间t（min）之间的函数关系如图所示．

请结合图象解决下面问题：

（1）学校到景点的路程为________km，大客车途中停留了________min，a＝________；

（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？

（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．

【分析】

（1）根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；

（2）计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；

（3）先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6km的速度与80km/h作比较可得结论．

（4）利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．

【自主解答】

把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．

3．（xx·大庆中考）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（－1，0），点B（3，0），点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；

②若－1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

③若y2＞y1，则x2＞4；

④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为－1和.

其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

4．（xx·苏州中考）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D交BC于点E.若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为（）

A．3B．2C．6D．12

5．（xx·上海中考）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写自变量的取值范围）

（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？

类型三转化与化归思想

（xx·江西中考）如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．

（1）若屏幕上下宽BC＝20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；

（2）若肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，上臂DE＝30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH＝72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？

（参考数据：

sin69°≈，cos21°≈，tan20°≈，tan43°≈，所有结果精确到个位）

【分析】

（1）在Rt△ABC中利用三角函数即可直接求解；

（2）延长FE交DG于点I，利用三角函数求得∠DEI即可求得β的值，从而作出判断．

【自主解答】

把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．

6．（xx·山西中考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是（）

A．4π－4B．4π－8C．8π－4D．8π－8

7．（xx·黄冈中考）则a－＝，则a2＋值为______．

8．（xx·白银中考）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？

（参考数据：

≈1.7，≈1.4）

类型四方程思想

（xx·娄底中考）如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E.

（1）当PB是⊙O的切线时，

求证：

∠PBD＝∠DAB；

（2）求证：

BC2－CE2＝CE·DE；

（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

【分析】

（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；

（2）连接OC，设圆的半径为r，证△ADE∽△CBE，由＝知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；

（3）先求出BC，CE，再根据BC2－CE2＝CE·DE计算可得．

【自主解答】

在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．

9．（xx·白银中考）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是________．

10．（xx·上海中考）如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．

类型五函数思想

（xx·杭州中考）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.

（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y.

①求y关于x的函数解析式；

②当y≥3时，求x的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？

为什么？

【分析】

（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；

（2）直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．

【自主解答】

在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．

11．（xx·桂林中考）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）与x轴交于点A（－3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.

（1）求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；

（2）点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？

若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

类型一

【例1】

（1）如图1，连接AF.

由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，

∠EAF＝∠ABD.

∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，

∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，

∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.

∵AB＝CD，∴FD＝CD.

（2）如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，

易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.

又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，

∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.

如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，BG，DG，

同理，△ADG是等边三角形，

∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.

综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.

变式训练

1．C　

2．解：

（1）设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，

代入（1，7.5），（3，8.5）得

解得

即p与x的函数关系式为p＝0.5x＋7（1≤x≤15，x为整数）．

当1≤x＜10时，

W＝[20－（0.5x＋7）]（2x＋20）＝－x2＋16x＋260.

当10≤x≤15时，

W＝[20－（0.5x＋7）]×40＝－20x＋520，

即W＝

（2）当1≤x＜10时，

W＝－x2＋16x＋260＝－（x－8）2＋324，

∴当x＝8时，W取得最大值，此时W＝324.

当10≤x≤15时，W＝－20x＋520，

∴当x＝10时，W取得最大值，此时W＝320.

∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元．

（3）当1≤x＜10时，

令－x2＋16x＋260＝299，得x1＝3，x2＝13，

当W＞299时，3＜x＜13.

∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.当10≤x≤15时，

令W＝－20x＋520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11.

由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×（11－3）＝160（元）．

答：

李师傅共可获得160元奖金．

类型二

【例2】

（1）由图形可得学校到景