贝塞尔函数.docx

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贝塞尔函数

贝塞尔函数

当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。

在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。

如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。

本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。

下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。

贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。

设有半径为的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：

用分离变量法解这个问题，先令

代入方程（5.1）得

或

由此得到下面关于函数和的方程

（5.4）

（5.5）

从（5.4）得

方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。

为了求出这个方程满足条件

（5.6）

的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得

再令，

代入（5.7）并分离变量可得

（5.9）

（5.10）

由于是单值函数，所以也必是单值得，因此应该是以为周期的周期函数，这就决定了只能等于如下的数：

对应于，有

（为常数）

以代入（5.10）得

（5.11）

这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是阶贝塞尔方程。

若再作代换

，

并记

，

则得

.

这是阶贝塞尔方程最常见的形式。

由条件（5.8）及温度是有限的，分别可得

（5.12）

因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在处的第一类边界条件，第二个条件是在处的自然边界条件，由于在处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。

在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。

§5.2贝塞尔方程的求解

在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。

按惯例，仍以表示自变量，以表示未知函数，则阶贝塞尔方程为

（5.13）

其中为任意实数或复数。

我们仅限于为任意实数，且由于方程中的系数出现的项，所以在讨论时，不妨先假定。

设方程（5.13）有一个级数解，其形式为

，（5.14）

其中常数和可以通过把和它的导数代入（5.13）来确定。

将（5.14）及其导数代入（5.13）后得

化简后写成

要上式为恒等式，必须各个幂的系数全为零，从而得到下列各式：

1°；

2°；

3°。

由1°得，代入2°得。

先暂取，代入3°得

4°。

因为，由4°知，而都可以用表示，即

，

，

，

…

.

由此知（5.14）的一般项为

是一个任意常数，让取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。

把取作

这样选取可使一般项系数中2的次数与的次数相同，并可以运用下列恒等式：

使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成

（5.15）

这样就比较整齐、简单了。

以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解

用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。

这个无穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数。

记作

（5.16）

至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解。

当为正整数或零时，，故有

（5.17）

取时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解

（5.18）

比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把换成，即可得到（5.18）式。

因此不论式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。

当不为整数时，这两个特解与是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为

（5.19）

其中为两个任意常数。

当然，在不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与线性无关的特解，它与就可构成（5.13）的通解，这样的特解是容易找到的。

例如，在（5.19）中取，则得到（5.13）的一个特解

（5.20）

显然，与是线性无关的，因此，（5.13）的通解可以写成

（5.21）

由（5.20）式所确定的函数称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数。

§5.3当n为整数时贝塞尔方程的通解

上一节说明，当不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式确定，当为整数时，（5.13）的通解应该是什么样子呢？

首先，我们证明当为整数时，与是线性相关的。

事实上，不妨设为正整数（这不失一般性，因为负整数时，会得到同样的结果），这在（5.18）中，当时均为零，这时级数从起才开始出现非零项。

于是（5.18）可以写成

即与线性相关，这时与已不能构成贝塞尔方程的通解了。

为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与线性无关的特解。

取哪一个特解？

自然我们想到第二类贝塞尔函数。

不过当为整数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。

在为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为

（5.22）

由于当为整数时，，所以上式右端的极限为“”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得

（5.23）

其中，称为欧拉常数。

根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与是线性无关的（因为当时，为有限值，而为无穷大）。

综上所述，不论是否为整数，贝塞尔方程（5.13）的通解都可表示为

其中为任意常数，为任意实数。

§5.4贝塞尔函数的递推公式

不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。

先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。

在（5.17）中令及得

取出第一个级数的第项求导数，得

这个式子正好是中含这一项的负值，且知的第一项导数为零，故得关系式

（5.24）

将乘以并求导数，又得

即

（5.25）

以上结果可以推广，现将乘以求导数，得

即

（5.26）

同理可得

（5.27）

将（5.26）和（5.27）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得

及.

将这两式相减及相加，分别得到

（5.28）

（5.29）

以上几式就是贝塞尔函数的递推公式，它们在有关贝塞尔函数的的分析运算中非常有用。

特别值得一提的是，应用（5.28）式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表和（5.28），即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值。

第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式

（5.30）

作为递推公式的一个应用，考虑半奇数阶的贝塞尔函数，现计算，。

由（5.16）可得

而

从而

（5.31）

同理，可求得

（5.32）

利用递推公式（5.28）得到

同理可得

一般而言，有

（5.33）

这里为了方便起见，采用了微分算子，它是算子连续作用次的缩写，例如，千万不能把它与混为一谈。

从（5.33）可以看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。

§5.5函数展成贝塞尔函数的级数

利用贝塞尔求解数学物理方程的定解问题，最终要把已知函数按贝塞尔方程的特征函数系进行展开。

这一节我们先要所明贝塞尔方程的特征函数系是什么样的函数系，然后证明这个特征函数系是一个正交系。

5.5.1贝塞尔函数的零点

在§5.1中，已经将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成贝塞尔方程的特征值问题：

方程（5.34）的通解为

，

由条件（5.36）可得，即

利用条件（5.35）得

（5.37）

这就说明，为了求出上述特征值问题的特征值必须要计算的零点。

有没有实的零点？

若存在实的零点，一共有多少个？

关于这些问题，有以下结论：

1°有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在轴上关于原点实对称分布的，因而必有无穷多个正的零点。

2°的零点与的零点是彼此相间分布的，即的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个的零点。

3°以表示的非负零点（），则当时无限地接近于，即几乎是以为周期的函数。

与的图形见图5.1。

为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数的正零点的数值已被详细计算出来，并列成表格。

下表给出了的前9个正零点的近似值：

利用上述关于贝塞尔函数零点的结论，方程（5.37）的解为

（）

即

（）（5.38）

与这些特征值相对应的特征函数为

（）（5.39）

5.5.2贝塞尔函数的正交性

现在来讨论特征函数系的正交性，我们将要证明

（5.40）

由于贝塞尔函数系是特征值问题（5.34～5.36）的特征函数系，所以它的正交性由§2.6中的施图姆－刘维尔理论可以直接推出。

不过因为在那里我们并没有就一般情况证明这个结论，因此，我们在这里把贝塞尔函数系的正交性详细证明一下，而且这个证明方法是富有启发性的，完全可以类似的步骤来证明§2.6中的结论3。

下一章将要讲到的勒让德多项式的正交性，也是施图姆－刘维尔理论的另一个具体例子。

下面就来证明（5.40）。

为了书写方便，令

，

，

按定义，，分别满足

以乘第一个方程减去以乘第二个方程，然后对从到积分得

即

由此可得

因，故上式可写成

（5.41）

若取，则

，

从而（5.41）的右端为零，即（5.40）中第一个式子已得证。

为了证明（5.40）中第二个式子，在（5.41）两端令，此时（5.41）右端的极限是“”形式的不定型的极限，利用洛必达法则计算这个极限得

由递推公式

及可知

从而，这就是（5.40）中第二个式子。

通常把定积分

的正平方根，称为贝塞尔函数的模。

利用§2.6中关于特征函数系的完备性可知，任意在上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数，只要它在处有界，在处等于零，则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数

（5.42）

为了确定这个展开式的系数，在（5.42）两端同乘以，并对r从0到R积分，由正交关系式（5.40）得

即

（5.43）

下一节将通过例子说明贝塞尔函数在求解定解问题时的用法。

§5.6贝塞尔函数应用举例

下面举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程。

例1设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零摄氏度，初始时刻圆盘内温度分布为，其中是圆盘内任一点的极半径，求圆盘内温度分布规律。

解由于是在圆盘内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并考虑到定解条件与无关，所以温度分布只能是的函数，于是根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题：

此外，由物理意义，还有条件，且当时，。

令

代入方程（5.44）得

或

由此得

（5.47）

（5.48）

方程（5.48）得解为

因为时，。

所以只能大于零，令，则

此时方程（5.47）的通解为

由的有界性，可知，再由（5.45）得，即是的零点。

以表示的正零点，则

综合以上结果可得

从而

由条件（5.46）得

从而

因，即

故得

另外

从而

所以，所求定解问题的解为

（5.49）

其中是的正零点。

例2求下列定解问题：