4专题四带电粒子的运动学生卷文档格式.docx

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侧移距离：

y＝

at2＝

轨迹方程为：

（与m、q无关）

偏转角度φ的正切值：

tanφ＝

若在偏转极板右侧D距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：

所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的连线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离：

y′＝

以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系．

二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动

1．匀速直线运动：

若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．

2．匀速圆周运动：

若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．

质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，则有：

qvB＝m

＝mRω2＝mvω＝mR（

）2＝mR（2πf）2

R＝

T＝

（与v、R无关），f＝

3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．

（1）粒子圆轨迹的圆心的确定

①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2所示．

②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．

③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心（利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧），如图4－4所示．

图4－2　　　　图4－3　　　　　图4－4

（2）粒子圆轨迹的半径的确定

①可直接运用公式R＝

来确定．

②画出几何图形，利用半径R与题中已知长度的几何关系来确定．在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：

粒子速度的偏向角φ等于对应轨迹圆弧的圆心角α，并等于弦切角θ的2倍，如图4－5所示．

图4－5

（3）粒子做圆周运动的周期的确定

①可直接运用公式T＝

②利用周期T与题中已知时间t的关系来确定．若粒子在时间t内通过的圆弧所对应的圆心角为α，则有：

t＝

·

T（或t＝

T）．

（4）圆周运动中有关对称的规律

①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图4－6所示．

②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，如图4－7所示．

图4－6　　　　　　　　图4－7

（5）带电粒子在有界磁场中运动的极值问题

刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．

三、带电粒子在复合场中的运动

1．高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：

①电场与磁场的复合场；

②磁场与重力场的复合场；

③电场与重力场的复合场；

④电场、磁场与重力场的复合场．

2．带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动（如速度选择器）；

当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；

当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化．因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略．

3．带电粒子所受三种场力的特征

（1）洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f洛＝0；

当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f洛＝qvB．当洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功．

（2）电场力的大小为qE，方向与电场强度E的方向及带电粒子所带电荷的性质有关．电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关．

（3）重力的大小为mg，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关．

注意：

①微观粒子（如电子、质子、离子）一般都不计重力；

②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；

③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定．

4．带电粒子在复合场中的运动的分析方法

（1）当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解．

（2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．

（3）当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解．

如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他方程联立求解．

由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．

热点、重点、难点

一、根据带电粒子的运动轨迹进行分析推理

图4－8

●例1　如图4－8所示，MN是一正点电荷产生的电场中的一条电场线．一个带负电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示．下列结论正确的是（　　）

A．带电粒子从a到b的过程中动能逐渐减小

B．正点电荷一定位于M点的左侧

C．带电粒子在a点时具有的电势能大于在b点时具有的电势能

D．带电粒子在a点的加速度大于在b点的加速度

二、带电粒子在电场中的加速与偏转

图4－9

●例2　喷墨打印机的结构简图如图4－9所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为1×

10－5m，此微滴经过带电室时被带上负电，带电荷量的多少由计算机按字体笔画的高低位置输入信号加以控制．带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体．无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒．偏转板长1.6cm，两板间的距离为0.50cm，偏转板的右端距纸3.2cm．若墨汁微滴的质量为1.6×

10－10kg，以20m/s的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是8.0×

103V，其打到纸上的点距原射入方向的距离是2.0mm．求这个墨汁微滴通过带电室所带的电荷量的多少．（不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限于平行板电容器的内部，忽略边缘电场的不均匀性）为了使纸上的字放大10%，请你分析并提出一个可行的方法．

★同类拓展1　如图4－10甲所示，在真空中，有一半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距为R，板长为2R，板间的中心线O1O2与磁场的圆心O在同一直线上．有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子以速度v0从圆周上的a点沿垂直于半径OO1并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O1点水平飞出磁场时，给M、N两板加上如图4－10乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板的边缘飞出．（不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计）

图4－10

（1）求磁场的磁感应强度B．

（2）求交变电压的周期T和电压U0的值．

（3）当t＝

时，该粒子从M、N板右侧沿板的中心线仍以速度v0射入M、N之间，求粒子从磁场中射出的点到a点的距离．

三、带电粒子在有界磁场中（只受洛伦兹力）的运动

1．带电粒子在磁场中的运动大体包含五种常见情境，即：

无边界磁场、单边界磁场、双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场．带电粒子在磁场中的运动问题综合性较强，解这类问题往往要用到圆周运动的知识、洛伦兹力，还要牵涉到数学中的平面几何、解析几何等知识．因此，解此类试题，除了运用常规的解题思路（画草图、找“圆心”、定“半径”等）之外，更应侧重于运用数学知识进行分析．

2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时，其轨迹为不完整的圆周，解决这类问题的关键有以下三点．

①确定圆周的圆心．若已知入射点、出射点及入射方向、出射方向，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两直线的交点即为圆周的圆心；

若已知入射点、出射点及入射方向，可通过入射点作入射线的垂线，连接入射点和出射点，作此连线的垂直平分线，两垂线的交点即为圆周的圆心．

②确定圆的半径．一般在圆上作图，由几何关系求出圆的半径．

③求运动时间．找到运动的圆弧所对应的圆心角θ，由公式t＝

T求出运动时间．

3．解析带电粒子穿过圆形区域磁场问题常可用到以下推论：

①沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出．

②同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与射入方向在同一直径上，则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值且为α＝2arcsin

＝2arcsin

③在圆形区域边缘的某点向各方向以相同速率射出的某种带电粒子，如果粒子的轨迹半径与区域圆的半径相同，则穿过磁场后粒子的射出方向均平行（反之，平行入射的粒子也将汇聚于边缘一点）．

●例3　如图4－11甲所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P（0，h）点以一定的速度平行于x轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R0的圆周运动；

若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在只加电场，当粒子从P点运动到x＝R0平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点，不计重力，求：

图4－11甲

（1）粒子到达x＝R0平面时的速度方向与x轴的夹角以及粒子到x轴的距离．

（2）M点的横坐标xM．

●例4　如图4－12甲所示，质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v0．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：

图4－12甲

（1）荧光屏上光斑的长度．

（2）所加磁场范围的最小面积．

★同类拓展2　如图4－13甲所示，ABCD是边长为a的正方形．质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场．不计重力，求：

图4－13甲

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小．

（2）此匀强磁场区域的最小面积．

四、带电粒子在复合场、组合场中的运动问题

●例5　在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图4－14甲所示．磁场的磁感应强度B随时间t的变化情况如图4－14乙所示．该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点．在t＝0时刻，有一个质量为m、电荷量为＋q的小球（可看做质点），从M点开始沿着水平直线以速度v0做匀速直线运动，t0时刻恰好到达N点．经观测发现，小球在t＝2t0至t＝3t0时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点．求：

图4－14

（1）电场强度E的大小．

（2）小球从M点开始运动到第二次经过D点所用的时间．

（3）小球运动的周期，并画出运动轨迹（只画一个周期）．

五、常见的、在科学技术中的应用

带电粒子在电场、磁场中的运动规律在科学技术中有广泛的应用，高中物理中常碰到的有：

示波器（显像管）、速度选择器、质谱仪、回旋加速器、霍耳效应传感器、电磁流量计等．

●例6　一导体材料的样品的体积为a×

b×

c，A′、C、A、C′为其四个侧面，如图4－15所示．已知导体样品中载流子是自由电子，且单位体积中的自由电子数为n，电阻率为ρ，电子的电荷量为e，沿x方向通有电流I．

图4－15

（1）导体样品A′、A两个侧面之间的电压是________，导体样品中自由电子定向移动的速率是________．

（2）将该导体样品放在匀强磁场中，磁场方向沿z轴正方向，则导体侧面C的电势________（填“高于”、“低于”或“等于”）侧面C′的电势．

（3）在

（2）中，达到稳定状态时，沿x方向的电流仍为I，若测得C、C′两侧面的电势差为U，试计算匀强磁场的磁感应强度B的大小．

★同类拓展3　如图4－16甲所示，离子源A产生的初速度为零、带电荷量均为e、质量不同的正离子被电压为U0的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板HM上的小孔S离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入磁感应强度为B的匀强磁场．已知HO＝d，HS＝2d，∠MNQ＝90°

．（忽略离子所受重力）

图4－16甲

（1）求偏转电场场强E0的大小以及HM与MN的夹角φ．

（2）求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径．

（3）若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点S1处，质量为16m的离子打在S2处．求S1和S2之间的距离以及能打在NQ上的正离子的质量范围．

经典考题

带电粒子在电场、磁场以及复合场、组合场中的运动问题是每年各地高考的必考内容，留下大量的经典题型，认真地总结归纳这些试题会发现以下特点：

①重这些理论在科学技术上的应用；

②需要较强的空间想象能力．

1．图示是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹．云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里，云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用．分析此径迹可知粒子（　　）

A．带正电，由下往上运动

B．带正电，由上往下运动

C．带负电，由上往下运动

D．带负电，由下往上运动

2．图示为一“滤速器”装置的示意图．a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间．为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能够沿水平直线OO′运动，由O′射出．不计重力作用．可能达到上述目的的办法是（　　）

A．使a板的电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里

B．使a板的电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里

C．使a板的电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外

D．使a板的电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外

3．图示是质谱仪的工作原理示意图．带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E．平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2．平板S下方有强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是（　　）

A．质谱仪是分析同位素的重要工具

B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外

C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于

D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的荷质比越小

4．带电粒子的比荷

是一个重要的物理量．某中学物理兴趣小组设计了一个实验，探究电场和磁场对电子运动轨迹的影响，以求得电子的比荷，实验装置如图所示．

（1）他们的主要实验步骤如下．

A．首先在两极板M1M2之间不加任何电场、磁场，开启阴极射线管电源，发射的电子从两极板中央通过，在荧屏的正中心处观察到一个亮点．

B．在M1M2两极板间加合适的电场：

加极性如图所示的电压，并逐步调节增大，使荧屏上的亮点逐渐向荧屏下方偏移，直到荧屏上恰好看不见亮点为止，记下此时外加电压为U．请问本步骤的目的是什么？

C．保持步骤B中的电压U不变，对M1M2区域加一个大小、方向均合适的磁场B，使荧屏正中心重现亮点，试问外加磁场的方向如何？

（2）根据上述实验步骤，同学们正确推算出电子的比荷与外加电场、磁场及其他相关量的关系为

．一位同学说，这表明电子的比荷将由外加电压决定，外加电压越大则电子的比荷越大．你认为他的说法正确吗？

为什么？

5．1932年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，加速电压为U．加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．

（1）求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比．

（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t．

（3）实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制．若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm．

6．如图甲所示，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向外．P是y轴上距原点为h的一点，N0为x轴上距原点为a的一点．A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为

，A的中点在y轴上，长度略小于

．带电粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变．质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点．不计重力．求粒子入射速度的所有可能值．

能力演练

一、选择题（10×

4分）

1．如图所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成60°

角，b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成30°

角．关于a、b两点的场强大小Ea、Eb及电势φa、φb的关系，以下结论正确的是（　　）

A．Ea＝

，φa＞φb

B．Ea＝

Eb，φa＜φb

C．Ea＝3Eb，φa＞φb

D．Ea＝3Eb，φa＜φb

2．一正电荷处于电场中，在只受电场力作用下从A点沿直线运动到B点，其速度随时间变化的图象如图所示，tA、tB分别对应电荷在A、B两点的时刻，则下列说法中正确的有（　　）

A．A处的场强一定大于B处的场强

B．A处的电势一定低于B处的电势

C．正电荷在A处的电势能一定大于B处的电势能

D．由A至B的过程中，电场力一定对正电荷做负功

3．如图所示，带正电的粒子以一定的初速度v0沿中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出，已知板长为L，板间的电压为U，带电粒子所带电荷量为q，粒子通过平行金属板的时间为t，不计粒子的重力，则（　　）

A．粒子在前

时间内，电场力对粒子做的功为

B．粒子在后

C．粒子在竖直方向的前

和后

位移内，电场力做的功之比为1∶2

D．粒子在竖直方向的前

位移内，电场力的冲量之比为1∶1

4．如图所示，在一正交的电场和磁场中，一带电荷量为＋q、质量为m的金属块沿倾角为θ的粗糙绝缘斜面由静止开始下滑．已知电场强度为E，方向竖直向下；

磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；

斜面的高度为h．金属块滑到斜面底端时恰好离开斜面，设此时的速度为v，则（　　）

A．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，做的是加速度逐渐减小的加速运动

B．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了qEh

C．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了

mv2－mgh

D．金属块离开斜面后将做匀速圆周运动

5．如图所示，充电的两平行金属板间有场强为E的匀强电场和方向与电场垂直（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度为B，构成了速度选择器．氕核、氘核、氚核以相同的动能（Ek）从两极板中间垂直于电场和磁场射入速度选择器，且氘核沿直线射出．不计粒子的重力，则射出时（　　）

A．动能增加的是氚核B．动能增加的是氕核

C．偏向正极板的是氚核D．偏向正极板的是氕核

6．如图所示，竖直放置的两个平行金属板间有匀强电场，在两板之间等高处有两个质量相同的带电小球，P小球从紧靠左极板处由静止开始释放，Q小球从两板正中央由静止开始释放，两小球最后都能打在右极板上的同一点．则从开始释放到打到右极板的过程中（　　）

A．它们的运行时间tP＞tQ

B．它们的电荷量之比qP∶qQ＝2∶1

C．它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝4∶1

D．它们的电势能减少量之比ΔEP∶ΔEQ＝2∶1

7．均匀分布着等量异种电荷的半径相等的半圆形绝缘杆被正对着固定在同一平面上，如图所示．AB是两种绝缘杆所在圆圆心连线的中垂线而且与二者共面，该平面与纸面平行，有一磁场方向垂直于纸面，一带电粒子（重力不计）以初速度v0一直沿直线AB运动．则（　　）

A．磁场是匀强磁场

B．磁场是非匀强磁场

C．带电粒子做匀变速直线运动

D．带电粒子做变加速运动

8．如图所示，带电粒子在没有电场和磁场的空间内以速度v0从坐标原点O沿x轴方向做匀速直线运动．若空间只存在垂直于xOy平面的匀强磁场时，粒子通过P点时的动能为Ek；

当空间只存在平行于y轴的匀强电场时，则粒子通过P点时的动能为（　　）

A．EkB．2EkC．4EkD．5Ek

9．如图所示，一个带电荷量为＋Q的点电荷甲固定在绝缘平面上的O点；

另一个带电荷量为－q、质量为m的点电荷乙，从A点以初速度v0沿它们的连线向甲滑行运动，运动到B点静止．已知静电力常量为k，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为s．下列说法正确的是（　　）

A．O、B间的距离为

B．点电荷乙从A运动到B的运动过程中，中间时刻的速度小于

C．点电荷乙从A运动到B的过程中，产生的内能为

mv02

D．在点电荷甲产生的电场中，A、B两点间的电势差UAB＝

10．如图甲所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等．有一个带电粒子以垂直于x轴的初速度v0从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成45°

角进入磁场，又恰好垂直进入第Ⅳ象限的磁场．已知OP之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x轴时，在电场和磁场中运动的总时间为（　　）

A．

B．

（2＋5π）

C．

（2＋

）D．

）

二、非选择题（共60分）

11．（6分）在“用描迹法画出电场中平面上的等势线”的