新课标全国卷3高考理科数学试题及答案.docx
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新课标全国卷3高考理科数学试题及答案
绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔新课标Ⅲ〕
理科数学
考前须知：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A=，B=，那么AB中元素的个数为
A．3B．2C．1D．0
2．设复数z满足（1+i）z=2i，那么∣z∣=
A．B．C．D．2
3．某城市为理解游客人数的变化规律，进步旅游效劳质量，搜集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量〔单位：
万人〕的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，以下结论错误的选项是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量顶峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳
4．（+）（2-）5的展开式中33的系数为
A．-80B．-40C．40D．80
5．双曲线C：
（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，那么C的方程为
A．B．C．D．
6．设函数f（x）=cos（x+），那么以下结论错误的选项是
A．f（x）的一个周期为−2πB．y=f（x）的图像关于直线x=对称
C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（,π）单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，那么输入的正整数N的最小值为
A．5B．4C．3D．2
8．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为
A．B．C．D．
9．等差数列的首项为1，公差不为0．假设a2，a3，a6成等比数列，那么前6项的和为
A．-24B．-3C．3D．8
10．椭圆C：
，〔a>b>0〕的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，那么C的离心率为
A．B．C．D．
11．函数有唯一零点，那么a=
A．B．C．D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．假设=+，那么+的最大值为
A．3B．2C．D．2
二、填空题：
此题共4小题，每题5分，共20分。
13．假设，满足约束条件，那么的最小值为__________．
14．设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，那么a4=___________．
15．设函数那么满足的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有以下结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的选项是________。
〔填写所有正确结论的编号〕
三、解答题：
共70分。
解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
〔一〕必考题：
共60分。
17．〔12分〕
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+cosA=0，a=2,b=2．
〔1〕求c；
〔2〕设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．
18．〔12分〕
某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温〔单位：
℃〕有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20，25〕，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15〕
[15，20〕
[20，25〕
[25，30〕
[30，35〕
[35，40〕
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
〔1〕求六月份这种酸奶一天的需求量X〔单位：
瓶〕的分布列；
〔2〕设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y〔单位：
元〕，当六月份这种酸奶一天的进货量n〔单位：
瓶〕为多少时，Y的数学期望到达最大值？
19．〔12分〕
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
〔1〕证明：
平面ACD⊥平面ABC；
〔2〕过AC的平面交BD于点E，假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部，求二面角D–AE–C的余弦值．
20．〔12分〕
抛物线C：
y2=2x，过点〔2,0〕的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
〔1〕证明：
坐标原点O在圆M上；
〔2〕设圆M过点P〔4，-2〕，求直线l与圆M的方程．
21．〔12分〕
函数=x﹣1﹣alnx．
〔1〕假设，求a的值；
〔2〕设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．
〔二〕选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题计分。
22．[选修44：
坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为〔t为参数〕，直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
〔1〕写出C的普通方程；
〔2〕以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．[选修45：
不等式选讲]〔10分〕
函数f〔x〕=│x+1│–│x–2│．
〔1〕求不等式f〔x〕≥1的解集；
〔2〕假设不等式f〔x〕≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围．
绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.
二、填空题
13.-114.-815.16.②③
三、解答题
17.解：
〔1〕由得tanA=
在△ABC中，由余弦定理得
〔2〕有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为
18.解：
〔1〕由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
.
因此的分布列为
由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，
假设最高气温不低于25，那么Y=6n-4n=2n
假设最高气温位于区间，那么Y=6×300+2〔n-300〕-4n=1200-2n;
假设最高气温低于20，那么Y=6×200+2〔n-200〕-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+〔1200-2n〕×0.4+（800-2n）×
当时，
假设最高气温不低于20，那么Y=6n-4n=2n;
假设最高气温低于20，那么Y=6×200+2〔n-200〕-4n=800-2n;
因此EY=2n×（0.4+0.4）+（800-2n）×
所以n=300时，Y的数学期望到达最大值，最大值为520元。
19.解：
〔1〕由题设可得，
又是直角三角形，所以
取AC的中点O，连接DO,BO,那么DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以
〔2〕
由题设及〔1〕知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系，那么
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的间隔为D到平面ABC的间隔的，即E为DB的中点，得E.故
设是平面DAE的法向量，那么
可取
设是平面AEC的法向量，那么同理可得
那么
所以二面角D-AE-C的余弦值为
〔1〕设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
〔2〕由〔1〕可得
故圆心M的坐标为，圆M的半径
由于圆M过点P〔4，-2〕，因此,故
即
由〔1〕可得，
所以，解得.
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为〔3,1〕，圆M的半径为，圆M的方程为
当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为
21.解：
〔1〕的定义域为.
假设，因为，所以不满足题意；
假设，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.
故a=1
〔2〕由〔1〕知当时，
令得，从而
故
而，所以m的最小值为3.
22.解：
〔1〕消去参数t得l1的普通方程；消去参数m得l2的普通方程
设P〔x,y〕,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为
〔2〕C的极坐标方程为
联立得.
故，从而
代入得，所以交点M的极径为.
23.解：
〔1〕
当时，无解；
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
〔2〕由得，而
且当时，.
故m的取值范围为
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