变分原理与变分法Word格式.docx

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2仁

）12

②函数的积分：

函数空间i数域

b

J=afn（X）dX

fnUD

Note:

泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；

值域是实数域。

Discussion：

①判定下列那些是泛函：

cf（xy）

'

—-3x+5y=2;

J6（x-x0）f（x）dx=f（x0）

fi=ma少（x）i；

ex

②试举另一泛函例子。

x

物理问题中的泛函举例

q（x）/■'

■'

I

rmTrfT

①弹性地基梁的系统势能

■d丨L

?

*寸恵mF1「时f

x=0,固支；

x=l,

自由

i.梁的弯曲应变能：

□b

=-f'

EJ（雪

2Pdx2

ii.弹性地基贮存的能量：

nf

1J2

=一Jkwdx

20

iii.外力位能：

口l

l

=-0qwdx

iv.系统总的势能：

）2dx

ld2w2

□卡EJ（dxr）

2

Tkw-qW}dx;

x=0

dw=0dx

泛函的提法：

有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。

泛函驻值提法：

在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w（x）,使

系统势能泛函取最小值。

2最速降线问题

问题：

已知空间两点A和B,A高于B,要求在两点间连接一条曲线，使得有重物从A沿此曲线自由下滑时，从A到B所需时间最短（忽略摩擦力）。

作法：

i.通过A和B作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。

B点坐标（a,b）,

设曲线为y=y（x）,并已知：

x=0,y=0；

x=a,y=b

ii.建立泛函：

设P（x,y）是曲线上的点，P点的速度由能量守恒定律求得：

2mv2=mgy二v=^2®

命ds为曲线弧长的微分，有：

ds-J円dx

ds匚—U

=V=42gydt—1——

dt厨J2gy

重物从A点滑到B点的总时间:

在0Wx<

a的区间内找一个函数y（x）使其满足端点几何条件并使T取最小值。

3圆周问题

在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。

i.假设所考虑的曲线用参数形式表示：

x=x（s）,y=y（s）

s为参数。

取S1为曲线上的某一定点，则坐标表示Xi=x（si）,yi=y（si）,因曲线是圭寸闭的，必存在一个s2点使X2=x（s2）,y2=y（s2）与点si（xi,yi）重合。

ii.该封闭曲线的周长:

2+（¥

）2ds

iii.转换R的表达式

由Green公式:

Q

cP

一——）dxdy

S2

=JPdx+Qdy

Si

取P=-

cQcP,

——-——=1excy

J（xy'

（s）-yx'

（s））dsSi

S2

•••R=1Jxdy-ydx=2

S1

泛函驻值的提法：

等周问题即是在满足端点条件X（S1）=x（S2）,y（si）=y（S2）

及周长一定广J（翱+（寻）2=L条件下，寻找一个曲线函数［x（s）使泛函

niy（s）

R取驻值。

4Discussion

悬索线问题：

已知空间中A,B两点及一条长度L>

AB的悬索，单位长的质量为m。

假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索的两端挂在A，B两点，求在平衡状态下绳索的形状。

要求：

列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。

提示：

绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。

1.2变分法（泛函驻值的计算方法）

关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法

1这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显式积分表达。

2所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数（或偏导数）的积分形式，即：

a.

□1=1F（f（x）,f'

（x）,f"

（x）;

x）dxa

b■口2=JJF（f（X,y）,fx（x,y）,fy（x,y）;

x,y）dxdyQ

c.泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（argumen），x或y仅

是积分变量，是被积函数的定义域。

（被积函数是复合函数概念的推广）

3要说清楚一个泛函的极值问题，应注意：

a.应把泛函本身讲清楚（即写出它的形式）；

b.还必须讲明白自变函数的性质，如：

-独立的自变函数的个数（导函数并不独立）；

-每个自变函数定义的区间/区域；

-这些自变函数应满足的条件（如：

边界条件及其受约束的条件等）

c.除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应的自变函数变化性质发生变化。

如：

极小值可能变大；

极大值可能变小；

非极值的驻值可能成为极值。

泛函的驻值问题可以转化为等价的微分方程问题，变分法的理论计算就是完成这类工作。

本章内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。

若干背景知识

从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比解微分方程更加方便，也更为实用。

特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性（有限元的思想基础）。

经Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoulli等数学先驱的卓越工作,完成了①的系统方法。

4但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。

在物理、力学中，即先猜想一个泛函的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。

5泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以Ritz,Galerkin,Treft著名。

关于变分法的一个预备定理

若f（x）在［a,b］上连续，若对任意满足玖a）=卑b）=0的连续函数％x）都

有：

Jf（x）®

（x）dx=0a

则f（x）在［a,b］上处处为零。

反证法：

设X0为［a,b］中的点，在X0点f（X0）工0,可取f（X0）＞0,

Tf（x）在区间上连续，必存在xo的一个充分小邻域上f（x）>

0,x0-S<

x<

xo+£

又•••平X为任意连续函数（满足边界条件），可取％x也在该邻域内大于零,而在该邻域外恒等于零。

所以有

af（x）W（x）dx>

0

矛盾！

即f（x）必须为零；

同理可证小于零情况。

该定理可推广多元变量的函数问题。

1.2.1定积分aF（x,y,y）dx的驻值（变分）问题

目的：

通过简单泛函的极值分析，获得建立变分法的基本概念、计算步骤（把变分解转化成微分方程）

在自变量x的区间［a,b］内决定一个函数y（x），使它满足边界条件：

y=a|x三，y=0lx=b并使泛函:

V=JF（x,y,y）dx取极值。

a

GH曲线的增量

计算6V方法1:

先用变分观点解释

iy

dX

设想已取得了一条曲线GACH方程为：

y=y（x）

在GACH附近另取一条曲线GBDH，令该曲线无限接近GACH，其方程为:

yi（x）=y（x）+即（X）

®

（x）是一个无穷小量，称为自变函数的变分（若X不变，即为曲线纵坐标的增量）（注意与函数微分的区别，这里函数的变分仍然是一个函数）相应两条曲线，获得两个泛函值：

V=〔F（x,y,y）dx

V+KV=JF（x,y+§

y,y'

+）dx

基本引理：

（切）’=切’

证：

5y（x）=yi（x）—y（x）=（6y）\y；

（x）—y'

（x）三6y

推广：

（即）16厂

另一条认识（柱

At

y（xc）=y（XA）+ydx

yi（XB）=y（XA）+5yA

Ct

yi（XD）=y（xc）+®

c

Bt

yi（XD）=yi（XB）+y；

dx

yi=y+6y

AV「a{F（x,y+5y,y'

+W）-F（x,y,y）}dx

因为F（x,y,y7是X,y,y勺勺连续可导函数（工程上一般如此），故6y及6y，很

小时，AV也很小，即5y,5y'

T0AVt0

取等式两端的一阶无穷小量，即:

b/FFF

争+辭"

（可以从Tailor展开式去理解）

dV称为泛函V的一阶变分，简称变分，即泛函的一阶变分是泛函增量中的一阶小量部分（把自变函数的变分芳作为一阶小量）所以，变分的运算服从无穷小量的运算规则。

计算6V方法2:

（把求泛函的极值转化成求普通函数的极值）

记：

yi（x）=yo（x）+y（x）0<

s<

1（y。

及6y固定）

—b

VO=aF（x,y。

+y,丫0十毛&

y"

）dx

当V在y0上取极值，则相应于名=0的泛函值/.V^）现在成为普通的函数

极值条件:

V'

（◎|名卫=0（先不管该条件，现仅研究其导数计算）

d®

详吟型+工冒鸟dxd"

U兰勿+些枷xadyd名dyd名acy列

上两式中出现,的项。

取分步积分：

切和§

y'

并不能独立变化,

可设法把勿'

项转换成只与6y有关

brl.B

'

dx=-『uVdx+uv1：

取:

u竿v7

cy

-诗勿dx7dX（1>

x+1>

代入一阶变分式:

bcFdcFcFb

示胁dx+hy|a

要选定的函数满足边界条件，所以:

bFFdFF

=W=〔［生-2（竺）］5ydx

“点ydx釦

计算6V=0

若方括号内的函数在区间内不为0,则可任选6y使6V大于零或小于零，即

使V不能获得极值，故需方括号的项为零。

即：

主_2（圭）=0（Euler方程）

rIc・

cydxcy

此即与泛函驻值等价的微分方程。

或：

令5V=0

由变分基本定理：

寫切任意连续函数，方括号中函数连续。

cFdcF

1+y'

=—-——（—）=0dydxdy

Exampie最速降线问题：

F=——（注不显含x）

V2gy

代入Euler方程，并乘以函数Q可得:

Q互一qQ（生）=Q至+Q芈_a（Q%=0cydxcycycydxcy

rF

由于一=0（F中不显含X），上式中只要令Q*，把上式配成全微分形式:

dcF,

-（F-^y）=0这是因为:

dL年丄不dy丄WFdy‘点F

=£

+石dxVdx（恳（代回原Euler方程，即得全微分）

后两项由Q的假设

cyWy’

由全微分方程

F—^y'

C代入F的具体表达式:

_Jy（1+y'

2）

y（1+y'

2）=v=

令:

y'

=ctant

y1+ctant

2v

=vsint=—（1-c02t）

=dx=dy2vsintcost

dt=2vsintdtctant

=v（1-cos2t）dt

上式积分得:

注意:

引用初始条件：

令：

卩=-,2t=9

v

X=—（2t-sin2tp^C1

y=—（1—Co2t）

X=0,y=0,只能有:

Ci=0

X=卩（日—sin0）

{,,/即为最速降线（圆滚线（渐开））方程。

y=%1-cosS）

Homework:

在连接XY平面上两点的Mo及Mi的所有曲线中，要这样一条曲线使它绕0X轴旋转成的曲面有最小表面积。