变分原理与变分法Word格式.docx

1、2仁）12函数的积分：函数空间i数域bJ = a fn（X）dXfnU DNote:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。Discussi on：判定下列那些是泛函：cf （x y） -3x+5y=2; J 6（x-x0） f （x）dx = f （x0）fi=ma少（x）i ；ex试举另一泛函例子。x物理问题中的泛函举例q（x） /IrmTrfT 弹性地基梁的系统势能 d丨 L? *寸 恵mF 1时fx = 0,固支；x = l,自由i.梁的弯曲应变能：b=-f EJ （雪2 P dx2ii.弹性地基贮存的能量：n f1J 2=一 J kw dx20iii.外力位能：口 ll=

2、-0 qwdxiv.系统总的势能：）2dxl d 2w 2卡EJ（dxr）2Tkw - qWdx; x = 0dw = 0 dx泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w（x）,使系统势能泛函取最小值。2最速降线问题问题：已知空间两点A和B, A高于B,要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A沿此曲线自由下滑时，从 A到B所需时间最短（忽略摩擦 力）。作法：i.通过A和B作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B点坐标（a, b）,设曲线为 y = y（x）,并已知：x = 0, y = 0 ； x

3、= a, y = bii.建立泛函：设P（x , y）是曲线上的点，P点的速度由能量守恒定律求得：2mv2 =mgy二 v =2命ds为曲线弧长的微分，有：ds -J円 dxds 匚 U=V = 4 2 gy dt 1 dt 厨 J2gy重物从A点滑到B点的总时间:在0WxAB的悬索，单位长的 质量为m。假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索 的两端挂在A，B两点，求在平衡状态下绳索的形状。要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。提示：绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。1.2变分法（泛函驻值的计算方法）关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法1这里所研究的泛函一般用积分

4、显式表达，并不等于所有泛函都能用显 式积分表达。2所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数 （或偏导数）的积分形式，即：a. 1 = 1 F（f （x）, f（x）, f（x）;x）dx ab口 2 = JJ F（ f（X, y）, fx （x, y）, f y （x, y）; x, y）dxdy Qc.泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（argumen），x或y仅是积分变量，是被积函数的定义域。（被积函数是复合函数概念的推 广）3要说清楚一个泛函的极值问题，应注意：a.应把泛函本身讲清楚（即写出它的形式）；b.还必须讲明白自变函数的性质，如：-独立的自变函数的个数（

5、导函数并不独立）；-每个自变函数定义的区间/区域；-这些自变函数应满足的条件（如：边界条件及其受约束的条件等）c.除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应 的自变函数变化性质发生变化。如：极小值可能变大；极大值可能变 小；非极值的驻值可能成为极值。泛函的驻值问题可以转化为等价的微分方程问题 ，变分法的理论计算就 是完成这类工作。本章内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。若干背景知识从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比解微分方程更加方便， 也更为实用。特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性 （有限元的思想基础）。经 Euler, Lagrange, D

6、irichlet, Hilbert, Bernoulli 等数学先驱的卓越工作, 完成了的系统方法。4但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。在物理、力学中，即先 猜想一个泛函的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。5泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以 Ritz,Galerkin,Treft著名。关于变分法的一个预备定理若f（x）在a,b上连续，若对任意满足 玖a）=卑b）=0的连续函数 x）都有：J f（x）（x）dx = 0 a则f（x）在a, b上处处为零。反证法：设X0为a, b中的点，在X0点f（X0）工0,可取f（X0）0,T f（x）在区间上连续，必存在 xo的一个充分小邻

7、域上f（x）0, x 0- Sx 0矛盾！即f（x）必须为零；同理可证小于零情况。 该定理可推广多元变量的函数问题。1.2.1定积分aF（x,y, y）dx的驻值（变分）问题目的：通过简单泛函的极值分析，获得建立变分法的基本概念、 计算步骤（把 变分解转化成微分方程）在自变量x的区间a, b 内决定一个函数y（x），使它满足边界条件：y=a|x三，y = 0 lx=b 并使泛函:V = J F（x,y,y）dx 取极值。aGH曲线的增量计算6V方法1:先用变分观点解释iydX设想已取得了一条曲线 GACH方程为：y= y （x）在GACH附近另取一条曲线GBDH，令该曲线无限接近GACH，其方

8、程为:yi（x） = y（x）+ 即（X）（x）是一个无穷小量，称为自变函数的变分（若 X不变，即为曲线纵坐标 的增量）（注意与函数微分的区别，这里函数的变分仍然是一个函数） 相应两条曲线，获得两个泛函值：V= F（x, y, y）dxV+ KV = J F （x, y + y, y + ） dx基本引理：（切）=切证：5 y（x） =yi（x） y（x）= （6 y）y；（x） y（x）三 6y推广：（即）16厂另一条认识（柱Aty（xc） = y（XA）+ y dxyi（XB）= y（XA）+ 5yACtyi（XD）= y（xc） +cBtyi（XD）=yi（XB）+ y；dxyi =y+

9、6 yAVaF（x,y +5y,y + W）-F（x,y,y）dx因为F（x,y,y7是X, y, y勺勺连续可导函数（工程上一般如此），故6y及6y，很小时，AV也很小，即 5y,5yT 0 AVt 0取等式两端的一阶无穷小量，即:b /F FF争+辭（可以从Tailor展开式去理解）dV称为泛函V的一阶变分，简称变分，即泛函的一阶变分是泛函增量中的 一阶小量部分（把自变函数的变分 芳作为一阶小量）所以，变分的运算服从 无穷小量的运算规则。计算6V方法2:（把求泛函的极值转化成求普通函数的极值）记：yi（x） = yo（x） + y（x） 0sx + 1代入一阶变分式:b cF d cF c

10、F b示胁dx+hy|a要选定的函数满足边界条件，所以:b FF d FF=W =生-2（竺）5ydx“点y dx釦计算6V =0若方括号内的函数在区间内不为 0,则可任选6y使6V大于零或小于零，即使V不能获得极值，故需方括号的项为零。即： 主_2（圭）=0 （ Euler方程）r I c cy dx cy此即与泛函驻值等价的微分方程。或：令5V =0由变分基本定理：寫切任意连续函数，方括号中函数连续。cF d cF1 +y=-（）=0 dy dx dyExam pie最速降线问题：F = （注不显含x）V 2gy代入Euler方程，并乘以函数Q可得:Q 互一 qQ（生）=Q 至 +Q 芈_

11、a（Q%=0 cy dx cy cy cy dx cyrF由于一 =0 （F中不显含X），上式中只要令Q*，把上式配成全微分形式:d cF ,-（F-y）=0这是因为:d L 年丄不dy丄WF dy 点F=+石dx Vdx （恳 （代回原Euler方程，即得全微分）后两项由Q的假设cy Wy由全微分方程FyC代入F的具体表达式:_ Jy（1+y2）y（1 +y2） =v=令: y=cta nty 1 +ct a nt2 v=vs in t = （1 -c 0 2t）= dx = dy 2vsintcostdt =2vsin tdt cta nt=v（1 -cos2t）dt上式积分得:注意:引用初始条件：令：卩=-,2t=9vX =（2t -sin 2tpC1y = （1 Co2t）X= 0, y=0,只能有:Ci=0X =卩（日sin 0） , / 即为最速降线（圆滚线（渐开）方程。y = %1 -cosS）Homework:在连接XY平面上两点的Mo及Mi的所有曲线中，要这样一条曲线 使它绕0X轴旋转成的曲面有最小表面积。