第四讲导数与函数的零点讲义非常好有解析.docx
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第四讲导数与函数的零点讲义非常好有解析
函数的零点
【题型一】函数的零点个数
【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函
数的图象，再借助图象加以判断。
3
【例1】已知函数f（x）x3ax1,a0
求f（x）的单调区间；
若f（x）在x1处取得极值，直线y=m与yf（x）的图象有三个不同的交点，求m
的取值范围。
变式：
已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x4）f（x），且在区间［0,2］上是增函
数，若方程f（x）m（m0）在区间［8,8］上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则
xx2x3x4.
【答案】-8
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f（x4）f（x），所以f（x4）f（x），所以，由f（x）为奇函数，所以函数图象关于直线x2对称且f（0）0,由f（x4）f（x）
知f（x8）f（x），所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f（x）在区间［0,2］上是增函数，所以f（x）在区间［-2,0］上也是增函数•如图所示，那么方程f（x）=m（m>0）在区间
8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，不妨设为x2x3x4由对称性知
X1X212X3X44所以X1X2X3X412
y
【题型二】复合函数的零点个数
复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层
和外层函数与零点的关系。
【解题技巧】函数h（x）f（f（x））c的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想
分两步进行。
即令f（x）d，则h（x）f（d）c
第一步：
先判断f（d）c的零点个数情况
第二步：
再判断f（x）d的零点个数情况
【例2】已知函数f（x）x33x设h（x）f（f（x））c，其中c［2,2］，求函数yh（x）的零点个数
1•（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数
f（x）x33ax29a2x（a0）.若方程f（x）121nx6ax9a2a在［l,2］恰好有两
个相异的实根，求实数a的取值范围（注:
1n2疋0.69）:
【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点
【解题技巧】
（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。
即：
如果函数f（x）在区间a,b上是一条连续不断曲线，并且f（a）f（b）0,则函数
f（x）在区间a,b上至少有一个零点。
即存在一点x0a,b，使得f（x0）0,
这个X。
也就是方程f（x）0的根一.
（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再
用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。
其依据为：
如果函数f（x）在区间a,b上是单调函数，并且f（a）f（b）0,则函数f（x）在区间
a,b上至多有一个零点。
392
【例3】设函数f（x）xx6xa.
2
（1）对于任意实数x,f（x）m恒成立，求m的最大值;
（2）若方程f（x）0有且仅有一个实根，求a的取值范围.
a
变式：
设函数f（x）lnx,g（x）,F（x）f（x）g（x）。
若方程f（x）x
2
在区间［1,e］上有唯一实数解，求实数m的取值范围；
解析：
方程f（x）mx在区间［1,e2］上有唯一实数解等价于
mx
Inx斗
方程m在区间［1,
x
2
e］上有唯一实数解。
记h（x）lnxx[1,
x
e2]，则h（x）1?
x,令h（x）0，得：
x
x
当x[1,e]时，h（x）
0,h（x）递增;
当x[e,e2]时，h（x）
1
0,h（x）递减。
所以h（x）maxh（e）。
e
易求得：
h
（1）0,h（e2）
为使方程m—在区间［1
x
］上有唯一实数解,
lnx
—的图象有唯一交点,
x
故m的取值范围是
【例4】已知函数
xexmx在（1,）上没有零点，求m的取值范围;
【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点
【例5】（2013•江苏卷）设函数f（x）lnxax,g（x）exax，其中a为实数.若g（x）
在（1,）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.
基础练习：
1.己知f（x）exalnxa，其中常数a0.
（1）当ae时，求函数f（x）的极值；
1
2.已知函数f（x）=2m（x-1）2-2x+3+lnx,m€R.当m>0时，若曲线y=f（x）在
点P（1,1）处的切线I与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值.
）.若直线l:
ykx1与曲线
1
3•已知函数f（x）x1x（aR,e为自然对数的底数e
yf（x）没有公共点，求k的最大值.
4.已知函数
（x）
=-x3+
3x
1-a
2
x^ax-a’xGR,其中a>0.若函数
f（x）在区间（-2,0）内恰有两
个零点，求a的取值范围;
5.设a1，函数f（x）（1x2）exa.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：
f（x）在，上仅有一个零点；
参考答案与解析
'22
【例1】解析：
（1）f（x）3x3a3（xa）,
当a0时，对xR，有f'（x）0,
当a0时，f（x）的单调增区间为（，）
当a0时，由f（x）0解得x、-a或x、a；
由f（x）0解得ax\a,
）；f（x）的单调减区间为
当a0时，f（x）的单调增区间为（，.a）,^.a,
（、a,a）。
（2）因为f（x）在x1处取得极大值,
所以f'
（1）3
（1）23a0,a1.
所以f（x）x33x1,f'（x）3x23,
由f（x）0解得捲1,x21。
由
（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x1处取得极大值f
（1）1,
193，
在x1处取得极小值f
（1）3。
因为直线ym与函数yf（x）的图象有三个不同的交点，又f（3）
f（3）171，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（3,1）。
【例2】令f（x）x33xd，则：
h（x）f（f（x））cf（d）c
3
（1）先讨论关于d的方程f（d）=c即d3dc根的情况：
c2,2
Qf（d）3d233（d1）（d1）
单调递增。
f（d）在区间,1上单调递增，在区间1,1单调递减，在区间1,
f（d）极小值f
（1）2f（d）极大值f
（1）2
描绘出函数的草图，并据草图可得：
方程f（d）=c根的情况如下表所示：
C的取值范围
根的个数
根或根的范围
c2
2个根
d2或d1
2c2
3个根
d1、d2、d3
c2
2个根
d1或d2
（2）下面考虑方程f（x）d即x33xd根的情况:
据上述表格及图形f（x）d和f（d）=c的根的情况如下表
c的范围
f（d）c
根的个数
根d的范围
f（x）=d根的个数
c2
2个根d1、d2
d11
3个根
5个根
d22
2个根
2c2
3个根
d1、d?
、d3
2d12
3个根
9个根
2d22
3个根
2d32
3个根
c2
2个根d1、d2
d11
3个根
5个根
d12
2个根
综上所述：
当c=2时，函数yh（x）有5个零点；
当c<2时，函数yh（x）有9个零点。
Iry
【例3】解：
⑴f（x）3x9x63（x1）（x2）,
'2
因为x（,）,f（x）m,即3x9x（6m）0恒成立，
33
所以8112（6m）0,得m，即m的最大值为一
44
⑵因为当x1时，f'（x）0;当1x2时，f'（x）0;当x2时，f'（x）0;
所以当x1时,f（x）取极大值f
（1）-a；
2
当x2时,f（x）取极小值f
（2）2a;
故当f
（2）0或f
（1）0时，方程f（x）0仅有一个实根•解得a2或
5
a.
2
1
【例4】方法一：
当n0，可得h（x）（exmx）exm,因为x1，所以ex-，
1时，h（x）exm0,函数h（x）在（1,e
调递增.
令mmlnm
综上所述，m
（ii）若a=0,则f（x）=—lnx,易得f（x）有1个零点.
4
（iii）若av0,则f（x）-a0在（0,）上恒成立，
x
即：
f（x）lnxax在（0,）上是单调增函数，
当XT0时，f（x）t—8;当xt+8时，f（x）t+8.
此时，f（x）有-个零点.
--
综上所述：
当a=丄或av0时，f（x）有-个零点；当0vav丄时，f（x）有2个零点.
ee
练习-、【答案】
（1）f（x）有极小值0,没有极大值
【解析】函数f（x）的定义域为（0,）,
（1）当ae时，f（x）exelnxe,f（x）exe,
x
十xe
而f（x）e在（0,）上单调递增，又f
（1）0,
x
当0x1时，f（x）f
（1）0，则f（x）在（0,1）上单调递减；
当x1时，f（x）f
（1）0，则f（x）在（1,）上单调递增，所以f（x）有极小值
f
（1）0,没有极大值.
1
2、【解析】由f'（x）=mx—m—2+；，得f'
（1）=一1,
所以曲线y=f（x）在点P（1,1）处的切线I的方程为y=—x+2.
由题意得，关于x的方程f（x）=—x+2有且只有一个解，
1
即关于x的方程gm（x—1）—x+1+lnx=0有且只有一个解.
1
令g（x）=^m（x—1）2—x+1+Inx（x>0）.
“，，、，、1mx2—（m+1）x+1（x—1）（mx—1）,、
则g（（x）=m（x—1）—1+-==（x>0）.
xxx
11
1当0vmv1时，由g（（x）>0得0vxv1或x>，由g（（x）v0得1vxv
mm
合题意.
11
③当m>1时，由g'（x）>0得0vxv或x>1,由g'（x）v0得vxv1,
mm
所以函数g（乂）在（0,丄）为增函数，在（—,1）上为减函数，在（1,+^）上为增函mm
数.
又g
（1）=0，且当Xi0时，g（x）t—8，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点.
故m>1不合
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