第四讲导数与函数的零点讲义非常好有解析.docx

1、第四讲导数与函数的零点讲义非常好有解析函数的零点【题型一】函数的零点个数【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数 ，常通过研究函数的单调性、极值后， 描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。3【例1】已知函数f(x) x 3ax 1,a 0求f(x)的单调区间；若f (x)在x 1处取得极值，直线 y=m与y f (x)的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围。变式：已知定义在 R上的奇函数f(x)，满足f(x 4) f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x) m (m 0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，则x x2 x3 x4 .【答案】-8【解析】因为定义在 R上的

2、奇函数，满足 f(x 4) f (x)，所以f(x 4) f( x)，所 以，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线 x 2对称且f(0) 0,由f(x 4) f (x)知f(x 8) f (x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f (x)在区间0,2上是增 函数，所以f (x)在区间-2,0上也是增函数如图所示，那么方程 f(x)=m(m0) 在区间8,8上有四个不同的根x1, x2 , x3, x4，不妨设为 x2 x3 x4 由对称性知X1 X2 12 X3 X4 4 所以 X1 X2 X3 X4 12y【题型二】复合函数的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的， 在处

3、理其零点个数问题时， 应分清内层和外层函数与零点的关系。【解题技巧】函数 h(x) f(f(x) c的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想分两步进行。即 令f(x) d，则h(x) f (d) c第一步：先 判断f(d) c的零点个数情况第二步：再判断f (x) d的零点个数情况【例2】已知函数f(x) x3 3x设h(x) f(f (x) c，其中c 2 ,2，求函数y h(x)的 零点个数1 (江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试(数学)已知函数f (x) x3 3ax2 9a2x(a 0).若方程 f (x) 121 nx 6ax 9a2 a 在l,2恰好有两个相异的实根，求

4、实数a的取值范围(注:1 n2疋0.69):【题型三】 如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点【解题技巧】(1)要求证一个函数 存在零点，只须要用“函数零点的 存在性定理”即可证明。即：如果函数f(x)在区间a, b上是一条连续不断曲线，并且 f (a) f(b) 0 ,则函数f (x)在区间 a, b上至少有一个零点。即存在一点x0 a, b ，使得f(x0) 0,这个X。也就是方程f(x) 0的根一.(2)要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的 存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：如果函数f(x)在区间a, b上是单调函数，

5、并且 f(a) f (b) 0 ,则函数f(x)在区间a, b上至多有一个零点。3 9 2【例3】设函数f(x) x x 6x a.2(1)对于任意实数x , f (x) m恒成立，求m的最大值;(2)若方程f (x) 0有且仅有一个实根，求 a的取值范围.a变式：设函数 f (x) ln x ,g(x) , F (x) f (x) g(x)。若方程 f(x) x2在区间1 , e 上有唯一实数解，求实数 m的取值范围；解析：方程f(x) mx在区间1 , e2上有唯一实数解等价于mxIn x 斗方程m 在区间1 ,x2e 上有唯一实数解。记 h(x) lnx x 1 ,xe2，则 h (x)

6、 1 ? x ,令 h (x) 0，得：xx当 x 1 , e时，h (x)0, h(x)递增;当 x e , e2时，h (x)10 , h(x)递减。所以 h(x)max h(e) 。e易求得：h(1) 0, h(e2)为使方程m 在区间1x上有唯一实数解,ln x的图象有唯一交点,x故m的取值范围是【例4】已知函数x ex mx在(1,)上没有零点，求 m的取值范围;【题型四】 如何运用导数来判断与求证含参函数的零点【例5】(2013 江苏卷)设函数f(x) ln x ax , g(x) ex ax，其中a为实数.若g(x)在(1,)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的

7、结论.基础练习：1 .己知 f(x) ex alnx a，其中常数 a 0.(1 )当a e时，求函数f(x)的极值；12 .已知函数 f (x)= 2m ( x- 1) 2- 2x + 3+ lnx , m R.当 m 0 时，若曲线 y= f (x)在点P (1, 1 )处的切线I与曲线y= f (x)有且只有一个公共点，求实数 m的值.).若直线l: y kx 1与曲线13 已知函数 f(x) x 1 x(a R,e为自然对数的底数 ey f (x)没有公共点，求k的最大值.4.已知函数(x)=-x3+3x1-a2xax-axG R,其中a0 .若函数f (x)在区间(-2,0)内恰有两

8、个零点，求a的取值范围;5.设 a 1，函数 f (x) (1 x2)ex a .(1 )求f (x)的单调区间；(2)证明：f (x)在 ， 上仅有一个零点；参考答案与解析 2 2【例 1】解析：(1) f (x) 3x 3a 3(x a),当 a 0时，对 x R，有 f(x) 0,当a 0时，f (x)的单调增区间为(，)当a 0时，由f (x) 0解得x 、-a或x 、a ；由 f (x) 0 解得 a x a ,)；f(x)的单调减区间为当a 0时，f(x)的单调增区间为(，.a),. a,(、a,a)。(2)因为f (x)在x 1处取得极大值,所以 f( 1) 3( 1)2 3a

9、0, a 1.所以 f (x) x3 3x 1, f(x) 3x2 3,由f (x) 0解得捲 1,x2 1。由(1)中f (x)的单调性可知，f (x)在x 1处取得极大值f( 1) 1 ,19 3，在x 1处取得极小值f(1) 3。因为直线y m与函数y f (x)的图象有三个不同的交点，又f ( 3)f (3) 17 1，结合f (x)的单调性可知， m的取值范围是(3,1)。【例2】令f (x) x3 3x d，则：h(x) f (f (x) c f (d) c3(1)先讨论关于d的方程f(d)=c即d 3d c根的情况：c 2, 2Q f (d) 3d2 3 3(d 1)(d 1)单

10、调递增。f (d)在区间 ,1上单调递增，在区间 1,1单调递减，在区间 1,f(d)极小值f (1) 2 f(d)极大值f ( 1) 2描绘出函数的草图，并据草图可得：方程 f(d)=c根的情况如下表所示：C的取值范围根的个数根或根的范围c 22个根d 2 或 d 12 c 23个根d1、d2、d3c 22个根d 1 或 d 2(2)下面考虑方程f(x) d即x3 3x d根的情况:据上述表格及图形 f (x) d和f(d)=c的根的情况如下表c的范围f (d) c根的个数根d的范围f (x)=d根的个数c 22个根d1、d2d1 13个根5个根d2 22个根2 c 23个根d 1、d?、d

11、 32 d1 23个根9个根2 d2 23个根2 d3 23个根c 22个根d1、d2d1 13个根5个根d1 22个根综上所述：当c=2时，函数y h(x)有5个零点；当c 0).“ ，、 ， 、 1 mx2 (m+ 1)x+1 (x 1)(mx 1), 、则 g( (x)= m (x 1) 1 +-= = (x 0).x x x1 11当 0v mv 1 时，由 g( (x) 0 得 0vxv 1 或 x ，由 g( (x)v 0 得 1 vxvm m合题意.1 1当 m 1 时，由 g (x) 0 得 0vxv 或 x 1,由 g (x)v 0 得 vxv 1,m m所以函数g (乂)在(0,丄)为增函数，在(,1)上为减函数，在(1 ,+)上为增函 m m数.又g (1) = 0，且当Xi0时，g (x)t 8，此时曲线 y= g (x)与x轴有两个交点.故m 1不合