特殊的四边形压轴题文档格式.docx
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(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.
6.正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠DAG=α,其中0°
≤α≤180°
,连结DF,BF,如图.
(1)若α=0°
,则DF=BF,请加以证明;
(2)试画一个图形(即反例),说明
(1)中命题的逆命题是假命题;
(3)对于
(1)中命题的逆命题,如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题,请直接写出你认为需要补充的一个条件,不必说明理由.
7.如图正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.
点F是CD边的中点;
∠MBC=2∠ABE.
8.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.
∠BFC=∠BEA;
AM=BG+GM.
9.如图,已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点.
四边形PMEN是平行四边形;
(2)请直接写出当AP为何值时,四边形PMEN是菱形;
(3)四边形PMEN有可能是矩形吗?
若有可能,求出AP的长;
若不可能,请说明理由.
10.如图,已知正方形ABCD,把边DC绕D点顺时针旋转30°
到DC′处,连接AC′,BC′,CC′,写出图中所有的等腰三角形,并写出推理过程.
11.如图,在正方形ABCD中,点E、点F分别在边BC、DC上,BE=DF,∠EAF=60°
.
(1)若AE=2,求EC的长;
(2)若点G在DC上,且∠AGC=120°
,求证:
AG=EG+FG.
12.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O.点E是线段DO上一点,连接CE.点F是∠OCE的平分线上一点,且BF⊥CF与CO相交于点M.点G是线段CE上一点,且CO=CG.
(1)若OF=4,求FG的长;
BF=OG+CF.
13.
(1)如图①,两个正方形的边长均为3,求三角形DBF的面积.
(2)如图②,正方形ABCD的边长为3,正方形CEFG的边长为1,求三角形DBF的面积.
(3)如图③,正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b,求三角形DBF的面积.
14.如图,正方形ABCD中,E是BD上一点,AE的延长线交CD于F,交BC的延长线于G,M是FG的中点.
①∠1=∠2;
②EC⊥MC.
(2)试问当∠1等于多少度时,△ECG为等腰三角形?
请说明理由.
15.如图,正方形ABCD中,M为BC上除点B、C外的任意一点,△AMN是等腰直角三角形,斜边AN与CD交于点F,延长AN与BC的延长线交于点E,连接MF、CN.
BM+DF=MF;
(2)求∠NCE的度数.
16.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°
,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形?
17.如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC外角的平分线,已知∠BAC=∠ACD.
△ABC≌△CDA;
(2)若∠B=60°
四边形ABCD是菱形.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°
,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.
求证:
19.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)证明:
∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;
(3)在
(2)的条件下,试确定E点的位置,使得∠EFD=∠BCD,并说明理由.
20.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
21.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
22.如图,过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ACED的形状,并说明理由;
(2)若BD=8cm,求线段BE的长.
23.如图,菱形ABCD中,E是AD中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F.
(1)DE和BF相等吗?
(2)连接AF、BE,四边形AFBE是平行四边形吗?
说明理由.
24.如图1,菱形ABCD中,点E、F分别为AB、AD的中点,连接CE、CF.
CE=CF;
(2)如图2,若H为AB上一点,连接CH,使∠CHB=2∠ECB,求证:
CH=AH+AB.
25.如图,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF,连接AF、CF.
(1)请你猜想图中与点F有关的一个正确结论;
(2)证明你的猜想.
26.如图,菱形ABCD中,点E、M在AD上,且CD=CM,点F为AB上的点,且∠ECF=
∠B.
(1)若菱形ABCD的周长为8,且∠D=67.5°
,求△MCD的面积;
BF=EF﹣EM.
27.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°
,点E、F分别在边BC、CD上.
(1)若AB=4,试求菱形ABCD的面积;
(2)若∠AEF=60°
AB=CE+CF.
28.
(1)人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的:
如图1,?
ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,HG∥AB,图中哪两个平行四边形的面积相等?
为什么?
根据习题背景,写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ;
(2)如图2,点P为?
ABCD内一点,过点P分别作AD、AB的平行线分别交?
ABCD的四边于点E、F、G、H.已知S?
BHPE=3,S?
PFDG=5,则S△PAC= ;
(3)如图3,若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°
内角的菱形EFGH(不重复、无缝隙).已知①②③④四个平行四边形面积的和为14,四边形ABCD的面积为11,则菱形EFGH的周长为 .
29.将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,然后展开,折痕为EF,连接AE、CF,求证:
四边形AECF是菱形.
30.如图,△ABC中,∠BAC=90°
,点D是BC的中点,AE∥DC,EC∥AD,连接DE交AC于点O,
四边形ADCE是菱形;
(2)若AB=AO,求tan∠OCE的值.
2017年11月04日数学1的初中数学组卷参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
AH=AB ;
【分析】
(1)由三角形全等可以证明AH=AB,
(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB,
(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.
【解答】解:
(1)如图①AH=AB.
(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.
∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°
,
在Rt△AEB和Rt△AND中,
,∴Rt△AEB≌Rt△AND,
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,∴∠EAM=∠NAM=45°
,在△AEM和△ANM中,
∴△AEM≌△ANM.∴S△AEM=S△ANM,EM=MN,∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.
(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,
∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°
分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,由
(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
设AH=x,则MC=x﹣2,NC=x﹣3,在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2
∴52=(x﹣2)2+(x﹣3)2(6分)解得x1=6,x2=﹣1.(不符合题意,舍去)∴AH=6.【点评】主要考查正方形的性质和三角形全等的判断,难度中等.
2.如图,在?
(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.
【分析】第
(1)问要证明三角形全等,由平行四边形的性质,很容易用SAS证全等.
第
(2)要求菱形的面积,在第
(1)问的基础上很快知道△ABE为等边三角形.这样菱形的高就可求了,用面积公式可求得.
【解答】
∵在?
ABCD中,AB=CD,∴BC=AD,∠ABC=∠CDA.
又∵BE=EC=
BC,AF=DF=
AD,∴BE=DF.∴△ABE≌△CDF.
(2)解:
∵四边形AECF为菱形,∴AE=EC.又∵点E是边BC的中点,∴BE=EC,即BE=AE.
又BC=2AB=4,∴AB=
BC=BE,∴AB=BE=AE,即△ABE为等边三角形,
?
ABCD的BC边上的高为2×
sin60°
=
,∴菱形AECF的面积为2
【点评】考查了全等三角形,四边形的知识以及逻辑推理能力.
(1)用SAS证全等;
(2)若四边形AECF为菱形,则AE=EC=BE=AB,所以△ABE为等边三角形.
3.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)因为AF∥BC,E为AD的中点,即可根据AAS证明△AEF≌△DEC,故有BD=DC;
(2)可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE(1分)∵E是AD的中点,∴AE=DE.(2分)
∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF≌△DEC.(3分)∴AF=DC,∵AF=BD∴BD=CD,∴D是BC的中点;
(4分)
(2)四边形AFBD是矩形,(5分)证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°
,(6分)∵AF=BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形,(7分)∴四边形AFBD是矩形.
【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质.要熟知这些判定定理才会灵活运用,根据性质才能得到需要的相等关系.
4.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°
(1)根据题意作出图形即可;
(2)首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线,然后得到DE等于BC的一半,从而得到DE=EF,即DF=BC,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可;
(3)得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.
(1)如图所示:
(2)∵根据作图可知:
MN垂直平分线段AC,
∴D、E为线段AB和AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=
BC,
∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°
,点D的像为点F,∴EF=ED,∴DF=BC,∵DE∥BC,
∴四边形BCFD是平行四边形;
(3)当∠B=60°
时,四边形BCFD是菱形;
∵∠B=60°
,∴BC=
AB,∵DB=
AB,∴DB=CB,
∵四边形BCFD是平行四边形,∴四边形BCFD是菱形.
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及基本作图的知识,解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理,难度不大.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
(1)根据全等三角形的性质求得DQ=PQ,PC=DC=5,然后利用勾股定理即可求得;
(2)方法1、过M作EF⊥CD于F,则EF⊥AB,先证得△MDF≌△PME,求得ME=DF=
,然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得.
方法2、利用三角形的外角和∠DMP=90°
,得出∠DCP=90°
,得出BP=BC=3,再判断出AQ=AP=2即可.
(1)∵△CDQ≌△CPQ,∴DQ=PQ,PC=DC,∵AB=DC=5,AD=BC=3,∴PC=5,
在Rt△PBC中,PB=
=4,∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1,设AQ=x,则DQ=PQ=3﹣x,
在Rt△PAQ中,(3﹣x)2=x2+12,解得x=
,∴AQ=
(2)方法1,如图2,过M作EF⊥CD于F,则EF⊥AB,∵MD⊥MP,
∴∠PMD=90°
,∴∠PME+∠DMF=90°
,∵∠FDM+∠DMF=90°
∴∠MDF=∠PME,∵M是QC的中点,∴DM=
QC,PM=
QC,
∴DM=PM,在△MDF和△PME中,
,∴△MDF≌△PME(AAS),∴ME=DF,PE=MF,
∵EF⊥CD,AD⊥CD,∴EF∥AD,
∵QM=MC,∴DF=CF=
DC=
,∴ME=
,∵ME是梯形ABCQ的中位线,
∴2ME=AQ+BC,即5=AQ+3,∴AQ=2.
方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点,∴DM=CM,∴∠DMQ=2∠DCQ,
∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点,∴MP=CM,∴∠PMQ=2∠PCQ,
∵∠DMP=90°
,∴2∠DCQ+2∠PCQ=90°
,∴∠PCD=45°
,°
∠BCP=90°
﹣45°
=45°
∴∠BPC=45°
=∠BCP,∴BP=BC=3,∵∠CPQ=90°
,∴∠APQ=180°
﹣90°
∴∠AQP=90°
=∠APQ,∴AQ=AP=2.
【点评】本题考查了矩形的性质,三角形全等的判定和性质,勾股定理的应用,直角三角形斜边中线的性质,梯形的中位线的性质等,
(2)求得△MDF≌△PME是本题的关键.
(1)利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可;
(2)当α=180°
时,DF=BF.
(3)利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题.
如图1,∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形,
∴AG=AE,AD=AB,GF=EF,∠DGF=∠BEF=90°
,∴DG=BE,在△DGF和△BEF中,
,∴△DGF≌△BEF(SAS),∴DF=BF;
图形(即反例)如图2,
(3)解:
补充一个条件为:
点F在正方形ABCD内;
即:
若点F在正方形ABCD内,DF=BF,则旋转角α=0°
【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质,旋转的性质,命题和定理,掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键,注意利用正方形的性质找三角形全等的条件.
(1)由正方形得到AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°
,AB∥CD,根据AF⊥BE,求出∠AEB=∠AFD,推出△BAE≌△ADF,即可证出点F是CD边的中点;
(2)延长AD到G使BM=MG,得到DG=BC=DC,证△FDG≌△FCB,求出B,F,G共线,再证△ABE≌△CBF,得到∠ABE=∠CBF,根据三角形的外角性质即可求出结论.
∵正方形ABCD,∴AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°
,AB∥CD,
∵AF⊥BE,∴∠AOE=90°
,∴∠EAF+∠AEB=90°
,∠EAF+∠BAF=90°
∴∠AEB=∠BAF,∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,∴∠AEB=∠AFD,
∵∠BAD=∠D,AB=AD,∴△BAE≌△ADF,∴AE=DF,
∵E为AD边上的中点,∴点F是CD边的中点;
(2)证明:
延长AD到G.使MG=MB.连接FG,FB,
∵BM=DM+CD,∴DG=DC=BC,∵∠GDF=∠C=90°
,DF=CF,
∴△FDG≌△FCB(SAS),∴∠DFG=∠CFB,∴B,F,G共线,
∵E为AD边上的中点,点F是CD边的中点,AD=CD∴AE=CF,
∵AB=BC,∠C=∠BAD=90°
,AE=CF,∴△ABE≌△CBF,∴∠ABE=∠CBF,∵AG∥BC,
∴∠AGB=∠CBF=∠ABE,∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE,∴∠MBC=2∠ABE.
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,三角形的外角性质,正方形的性质等知识点,综合运用性质进行证明是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度.
8.如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、AB上两点,且BE=BF,过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M.
(1)根据正方形的四条边都相等,AB=BC,又BE=BF,所以△ABE和△CBF全等,再根据全等三角形对应角相等即可证出;
(2)连接DG,根据正方形的性质,AB=AD,∠DAC=∠BAC=45°
,AG是公共边,所以△ABG和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等,BG=DG,对应角相等∠2=∠3,因为BG⊥AE,所以∠BAE+∠2=90°
,而∠BAE+∠4=90°
,所以∠2=∠4,因此∠3=∠4,根据GM⊥CF和
(1)中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2,在△ADG中,∠DGC=∠3+45°
,所以DGM三点共线,因此△ADM是等腰三角形,AM=DM=DG+GM,所以AM=BG+GM.
证明:
(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°
,在△ABE和△CBF中,
∴△ABE≌△CBF(SAS),∴∠BFC=∠BEA;
(2)连接DG,在△ABG和△ADG中,
,∴△ABG≌△ADG(SAS),
∴BG=DG,∠2=∠3,∵BG⊥AE,∴∠BAE+∠2=90°
,∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°
,∴∠2=∠3=∠4,
∵GM⊥CF,∴∠BCF+∠1=90°
,又∠BCF+∠BFC=90°
,∴∠1=∠BFC=∠2,∴∠1=∠3,
在△ADG中,∠DGC=∠3+45°
,∴∠DGC也是△CGH的外角,∴D、G、M三点共线,
∵∠3=∠4(已证),∴AM=DM,∵DM=DG+GM=BG+GM,∴AM=BG+GM.
【点评】本题综合性较强,主要考查正方形的性质,三角形全等的判定,三角形全等的性质,第二问中,证明三点共线是解题的关键.
(1)根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明.
(2)当DP=CP时,四边形PMEN是菱形,P是AB的中点,所以可求出AP的值.
(3)四边形PMEN是矩形的话,∠DPC必需为90°
,判断一下△DPC是不是直角三角形就行.
解:
(1)∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点,
∴ME是PC的中位线,NE是PD的中位线,∴ME∥PC,EN∥PD,
∴四边形PMEN是平行四边形;
(2)当AP=5时,在Rt△PAD和Rt△PBC中,
∴△PAD≌△PBC,∴PD=PC,∵M、N、E分别是