高中数学第一章 111命题教学设计Word文档格式.docx
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若sinA>sinB,则A>B,其逆命题为真命题.(×
、例题解析
类型一 命题的概念及真假判断
命题角度1 命题的概念
例1 判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(1)
是有理数;
(2)3x2≤5;
(3)梯形是不是平面图形呢?
(4)若x∈R,则x2+4x+5≥0;
(5)一个数的算术平方根一定是负数;
(6)若a与b是无理数,则ab是无理数.
考点 命题的定义及分类
题点 命题的定义
解
(1)“
是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢?
”是疑问句,所以它不是命题.
(4)“若x∈R,则x2+4x+5≥0”是陈述句,并且它是真的,所以它是命题.
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
(6)“若a与b是无理数,则ab是无理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题.
反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点
(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.
(2)语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.
(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;
否则就不是命题.
跟踪训练1 下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°
;
②2>3;
③一个数不是正数就是负数;
④x>2;
⑤这座山真险啊!
A.①②③B.①③④
C.①②⑤D.②③⑤
答案 A
解析 依据命题定义,得①②③为命题.
命题角度2 命题真假的判断
例2 给定下列命题:
①若a>
b,则2a>
2b;
②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;
③直线x=
是函数y=sinx的一条对称轴;
④在△ABC中,若
·
>
0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的是________.
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)=2x的单调性,知①为真命题;
而函数y=sinx的对称轴方程为x=
+kπ,k∈Z,故③为真命题;
又因为
=|
||
|cos(π-B)=-|
|cosB>
0,故得cosB<
0,从而得B为钝角,所以④为真命题.
引申探究
1.本例中命题④变为:
若
<
0,则△ABC是锐角三角形,该命题还是真命题吗?
解 不是真命题,
0只能说明∠B是锐角,其他两角的情况不确定.只有三个角都是锐角,才可以判定三角形为锐角三角形.
2.本例中命题④改为:
=0,则△ABC是________三角形.
答案 直角
解析 由
=0,得∠B=90°
,故该三角形为直角三角形.
反思与感悟 一个命题要么为真命题,要么为假命题,且必居其一.欲判断一个命题为真命题,需进行论证,而要判断一个命题为假命题,只需举出一个反例即可.
跟踪训练2
(1)下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关;
②如果数量积a·
b=0,那么向量a=0或b=0;
③二次方程a2x2+2x-1=0有两个不相等的实根;
④函数f(x)在区间[a,b]内有零点,则f(a)·
f(b)<
0.
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 因为Δ=4+4a2>
0,故③正确,而①②④都错误,均可举出反例.
(2)下列命题中为真命题的是( )
A.若x<e,则lnx<1
B.若向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c
C.已知数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列
D.在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足acosB=bcosA,则该三角形为等腰三角形
答案 D
解析 对于A,需满足x>0;
对于B,若b=0,其结论不成立;
对于C,若an=0,则结论不成立.
类型二 命题的结构形式
例3 将下列命题写成“若p,则q”的形式.
(1)末位数是0或5的整数,能被5整除;
(2)方程x2-x+1=0有两个实数根.
考点 命题的结构形式
题点 改写成标准的若p则q形式
解
(1)若一个整数的末位数字是0或5,则这个数能被5整除.
(2)若一个方程是x2-x+1=0,则它有两个实数根.
反思与感悟 将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
跟踪训练3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;
(2)负数的立方是负数;
(3)已知x,y为正整数,当y=x-5时,y=-3,x=2.
解
(1)若一个多边形是正n边形,则这个正n边形的n个内角全相等,是真命题.
(2)若一个数是负数,则这个数的立方是负数,是真命题.
(3)已知x,y为正整数,若y=x-5,则y=-3,x=2,是假命题.
类型三 四种命题的概念及真假判断
命题角度1 四种命题的概念
例4
(1)命题“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题
(2)写出命题“若抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向下,则集合{x|ax2+bx+c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题.
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案
(1)A
(2)解 逆命题:
若集合{x|ax2+bx+c<0}≠∅,则抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向下.
否命题:
若抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向上,则集合{x|ax2+bx+c<0}=∅.
逆否命题:
若集合{x|ax2+bx+c<0}=∅,则抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向上.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)逆命题:
交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.
(2)否命题:
同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.
(3)逆否命题:
交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.
跟踪训练4 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)实数的平方是非负数;
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.
解
(1)逆命题:
若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.
若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.
若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.
(2)逆命题:
若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.
若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.
若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.
命题角度2 四种命题的真假判断
例5 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
(1)若a>
b,则ac2>
bc2;
(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形.
题点 判断四种命题的真假
若ac2>
bc2,则a>
b.真命题.
若a≤b,则ac2≤bc2.真命题.
若ac2≤bc2,则a≤b.假命题.
若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补.真命题.
若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.
若四边形不是圆的内接四边形,则该四边形的对角不互补.真命题.
反思与感悟 若原命题为真命题,则它的逆命题、否命题可能为真命题,也可能为假命题.
原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.
在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4.
跟踪训练5 已知命题“若2m-1<x<3m+2,则1<x<3”的逆命题为真命题,则m的取值范围是________.
答案
解析 其逆命题为若1<x<3,则2m-1<x<3m+2.
该命题为真命题,需满足
解得
≤m≤1,
故m的取值范围为
.
、过手训练
1.下列语句为命题的是( )
A.2x+5≥0B.求证对顶角相等
C.0不是偶数D.今天心情真好啊
解析 结合命题的定义知C为命题.
2.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是( )
A.若a∉A,则b∉BB.若a∈A,则b∉B
C.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∉A
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 命题“若p,则q”的否命题是“若非p,则非q”,“∈”与“∉”互为否定形式.
3.命题“若a≥b,则a+b>2017且a>-b”的逆否命题是( )
A.若a+b≤2017且a≤-b,则a<b
B.若a+b≤2017且a≤-b,则a>b
C.若a+b≤2017或a≤-b,则a<b
D.若a+b≤2017或a≤-b,则a≤b
题点 按要求写命题
解析 将原命题的条件与结论互换的同时,对条件和结论进行否定即得逆否命题.“若a≥b,则a+b>2017且a>-b”的逆否命题为“若a+b≤2017或a≤-b,则a<b”.故选C.
4.命题“函数y=log2(x2-mx+4)的值域为R”为真命题,则实数m的取值范围为_________.
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 (-∞,-4]∪[4,+∞)
解析 由题意可知,满足条件时,需方程x2-mx+4=0的判别式Δ≥0,即(-m)2-4×
4≥0,解得m≤-4或m≥4.
5.命题:
3mx2+mx+1>
0恒成立是真命题,求实数m的取值范围.
解 “3mx2+mx+1>
0恒成立”是真命题,需对m进行分类讨论.
当m=0时,1>
0恒成立,所以m=0满足题意;
当m>
0,且Δ=m2-12m<
0,
即0<
m<
12时,3mx2+mx+1>
0恒成立,
所以0<
12满足题意.
综上所述,实数m的取值范围是0≤m<
12.
、总结反思
1.根据命题的定义,可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题需要给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,且不写在条件p中.
课后作业
一、选择题
1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线
题点 区分命题的条件和结论
解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线,那么它们互相平行”,故选D.
2.下列命题为假命题的是( )
A.若a·
b=0(a≠0,b≠0),则a⊥b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.0是偶数
D.5>3
解析 结合向量的有关知识知A为真命题,B为假命题.C、D显然是真命题.
3.命题“若x2>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是( )
A.若x2>1,则-1≤x≤1
B.若-1≤x≤1,则x2≤1
C.若-1<x<1,则x2<1
D.若x<-1或x>1,则x2>1
解析 结合逆否命题的定义知B正确.
4.下列命题是真命题的是( )
A.若ab=0,则a2+b2=0B.若a>
b,则ac>
bc
C.若M∩N=M,则N⊆MD.若M⊆N,则M∩N=M
解析 A中,a=0,b≠0时,a2+b2=0不成立;
B中,c≤0时不成立;
C中,M∩N=M说明M⊆N.故A,B,C均错误.
5.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是( )
A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥b
C.若a,b相交,则α,β相交D.若α,β相交,则a,b相交
解析 D中如果α,β相交,a和b可以相交,也可以异面.
6.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·
b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·
(a-b)=a2-b2
解析 设向量a,b的夹角为θ,因为a·
b=|a||b|cosθ,所以|a·
b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,A成立;
由向量的运算律易知C,D成立.故选B.
7.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
②若α∥β,β⊥γ,则α∥γ;
③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;
④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.
其中为真命题的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①③
解析 结合线面位置关系易知①③为真命题.
8.对于原命题“正弦函数不是分段函数”,下列说法正确的是( )
A.否命题是“正弦函数是分段函数”
B.逆否命题是“分段函数不是正弦函数”
C.逆否命题是“分段函数是正弦函数”
D.以上都不正确
题点 四种命题的判断
解析 否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”,
所以A错误;
B正确;
C不正确,故选B.
二、填空题
9.有下列命题:
①22340能被5整除;
②不存在x∈R,使得x2+x+1<0;
③对任意的实数x,均有x+1>x;
④方程x2-2x+3=0有两个不等的实根.
其中假命题有________.(只填序号)
答案 ④
解析 易知①②③为真命题,④中Δ=4-12<0,方程x2-2x+3=0无实根,因而④为假命题.
10.命题“当a>0,a≠1时,若函数f(x)=logax在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是__________________________.
答案 当a>0,a≠1时,若loga2≥0,则函数f(x)=logax在其定义域内不是减函数.
11.已知p:
关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:
函数f(x)=-(5-2a)x是减函数,若p,q中有且只有一个是真命题,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,-2]
解析 p为真命题时,Δ=4a2-16<0,
解得-2<a<2.
q为真命题时,5-2a>1,
解得a<2.
当p真q假时,
a∈∅.
当p假q真时,
即a≤-2.
故实数a的取值范围为(-∞,-2].
三、解答题
12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)当ac>
bc时,a>
b;
(2)当m>
时,mx2-x+1=0无实根;
(3)当ab=0时,a=0或b=0.
题点 改写成标准的若p则q形式,并判断命题的真假
解
(1)若ac>
bc,则a>
b.
∵ac>
bc,c<
0时,a<
b,∴该命题是假命题.
(2)若m>
,则mx2-x+1=0无实根.
∵Δ=1-4m<
0,∴该命题是真命题.
(3)若ab=0,则a=0或b=0,∴该命题是真命题.
13.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
解 其逆否命题:
已知a,x为实数,
若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集.
∵a<1,∴Δ=(2a+1)2-4×
(a2+2)=4a+1-8=4a-7<0,
即不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,
∴原命题的逆否命题是真命题.
四、探究与拓展
14.命题“ax2-2ax+3>
0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.a<
0或a≥3B.a≤0或a≥3
C.a<
0或a>
3D.0<
a<
3
解析 若命题“ax2-2ax+3>
0恒成立”是真命题,当a=0时,3>
0符合题意,当a≠0时,则a>
0且Δ<
0,解得0<
3,综上可知,当0≤a<
3时,命题“ax2-2ax+3>
0恒成立”是真命题,故当a<
0或a≥3时,命题“ax2-2ax+3>
0恒成立”是假命题.
15.写出命题“当2m+1>0时,如果
>0,那么m2-5m+6<0”的逆命题、否命题和逆否命题,并分别指出四种命题的真假.
解 由2m+1>0,得m>-
由
>0,得m<-3或m>
,
又m>-
,所以m>
由m2-5m+6<0,得2<m<3,
,所以2<m<3.
由此可知,原命题可变为“如果m>
,那么2<m<3”,
显然原命题是假命题.
逆命题为“当2m+1>0时,如果m2-5m+6<0,
那么
>0”,
即“如果2<m<3,那么m>
”,它是真命题.
否命题为“当2m+1>0时,如果
≤0,
那么m2-5m+6≥0”,
因为
所以
所以-
<m<
得
即-
<m≤2或m≥3,
所以否命题可表述为“如果-
那么-
<m≤2或m≥3”,它是真命题.
逆否命题为“当2m+1>0时,如果m2-5m+6≥0,
≤0”,
则逆否命题可表述为“如果-
”,它是假命题.