动点的轨迹问题Word文档格式.docx

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利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

8.待定系数法：

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

9.点差法：

求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A（X1,y1）,B（X2,y2）并代

入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。

二、注意事项：

1.

P的运动规律，即P点满足的

求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

2.轨迹方程既可用普通方程F（x,）=O表示，又可用参数方程Z=f（t）（t为参数）

』=g（t）

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某

些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。

（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。

检验方法：

研究运动中的特殊情形或极端情形。

4.求轨迹方程还有整体法等其他方法。

在此不缀述。

【典型例题选讲】

一、直接法题型：

例1已知直角坐标系中，点Q（2,0）,圆C的方程为χ2亠y2=1,动点M到圆C的切

解：

设MN切圆C于N,贝UMN

设M（X,y）,则.X2y2-1=■

=MO

2-ON

..（X-2）2y2

化简得（九2_1）（X2+y2）_4扎2X+（1+4&

2）=O

5

（1）当彊=1时，方程为X,表示一条直线。

4

2、

2

22表示一个圆。

C-I）

线长与MQ的比等于常数h（λ>

0）,求动点M的轨迹。

21*3r2

（2）当＞.--1时，方程化为（X--^）2y2

丸-1

说明：

求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

变式--如图，圆。

1与圆。

2的半径都是1,。

1。

2=4,过动点P分别作圆。

1、圆。

2的

22

因为两圆的半径均为1,所以PO1-1=2（PO2-1）

设P（x,y）,则（X2）2-1=2[（χ-2）2y2-1],即（x-6）2y2=33

所以所求轨迹方程为：

（x_6）2∙y2=33（或X2■y2_12x•3=O）

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意挖”与补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

二、定义法题型：

运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2已知A、B、C是直线I上的三点，且IABI=IBC∣=6，Θ0'

切直线I于点A,又过B、C作Θ0'

异于I的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程•

【解析】设过B、C异于I的两切线分别切Θ0'

于DE两点，两切线交于点P.由切线的性质知：

∣BA∣=∣BD∣，∣PD∣=∣PE∣，

∣CA∣=∣CE∣，故∣PB∣+∣PC∣=∣BD∣+∣PD∣+∣PC∣=∣BA∣+∣PE∣+∣PC∣=∣BA∣+∣CE∣=∣AB∣+∣CA∣=6+12=18>

6=|BC|，

故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以I所在的直线为X

轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，

22可求得动点P的轨迹方程为：

—-1

8172

练习：

已知圆0的方程为χ2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。

由中垂线知，PA=PM故PA+PO=PM+PO=OM=10,即P点的轨迹为

以A、O为焦点的椭圆，中心为（

-3，0），故P点的方程为W3）+±

=125

2516

定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件

三、代入法题型：

例3如图，从双曲线x-y=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为NO求线段QN的中点

P的轨迹方程。

设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）

则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①

又PQ垂直于直线x+y=2,故———也=1,即x-y+y1-x1=0②

X-X1

3113

由①②解方程组得x1=—X•—y-1,y1=—X•—y-1,代

2222

入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0

已知曲线方程f（x,y）=O∙分别求此曲线关于原点，关于X轴，关于y轴，关于直线y=x,关于直线y=-x,关于直线y=3对称的曲线方程。

（f（-x,-y）=O,f（x,-y）=O,f（-x,y）=O,f（y,x）=O,f（-x,-y）=O，f（x,6-y）=0）

四、参数法与点差法题型：

求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4经过抛物线y2=2p（x+2p）（p>

0）的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于BC两

点，求线段BC的中点M轨迹方程。

A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k（x+2p）（k-0）.与抛物线方程联立方程组可解得B

点的坐标为（2?

-2p,2p）,由于AC与AB垂直，则AC的方程为y=-丄（χ∙2p）,与抛

kkk

物线方程联立方程组可解得C点的坐标为（2k2P-2p,—2kp）,又M为BC中点，设M（x,y）,

X=-p2+k2p-2P

则<

k,消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。

PI

y=一_kp

Jk

巩固与提高：

1〉在平面直角坐标系XOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO丄BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

【解析】

解法一：

以OA的斜率k为参数由=kx解得

.∙.OB:

y=

VOA丄OB，

1

VX

X

解得BW

y=X

1一1

设厶AOB的重心G（X，y），

3.'

、ky=1k2

3

消去参数k得重心G的轨迹方程为y=3χ2*2

X1X2

TOA⊥OB∙∙∙koAkoB=-1,即X1X2y』2_-1,

（2）

又点A,B在抛物线上，有y1=x12,y2=X；

代入

（2）化简得x1x2=-1

y^*^y21221212222

∙∙y（x1x2）[（x1x2）2x1x2]（3x）3x

333333

所以重心为G的轨迹方程为y=3χ2上。

2〉如图，设抛物线C:

y=X2的焦点为F,动点P在直线丨：

X-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求

【解析】设切点A、B坐标分别为（x,X2）和（X1,X12）（（X1=Xo）,

∙切线AP的方程为:

2χ°

x-y-X；

=0；

切线BP的方程为:

2x1X-y-X10;

解得P点的坐标为:

XP

XoX1

2,yP=x0x1

A

yG二

y°

%YPX0X1X0X1=

（X。

X1）2-X°

X1二

4χp2y

△APB的重心G的轨迹方程.

所以yp--3Yg4xG,由点P在直线丨上运动，从而得到重心G的轨迹方

程为：

212

X-（-3y4x）-2=0,即卩y（4x-X2）.

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。

2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有:

斜率、截距、定比、角、点的坐标等。

3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。

4.多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

五、交轨法与几何法题型

求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

例5抛物线y4px（PO）的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点0在直线AB上的射影M的轨迹。

（考例5）

解1（交轨法）：

点A、B在抛物线y2=4pχ（p.0）上，

设A（注，yA），B（^^lyB）所以koA=4pk°

B=4p,

4p4pyyB

由OA垂直OB得koAkoB=-1,得yAyB=-16p2,

又AB方程可求得y-yA=逬一坞（X-厶），

YAyB4p

4p4p

即（Ya+Yb）y--4pχ--yAyB=O,把YaYb=-16p

代入得AB方程（ya+yB）y--4px+16p2=0①又OM的方程为"

计X②由①②消去得Ya+Yb即得χ2∙y2-4PX=：

0，即得（x-2p）2，y2=4p2。

所以点M的轨迹方程为（x-2p）2∙y2=4p2,其轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆,除去点（0，0）。

用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交

点的两个坐标间的关系即可。

交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：

由解1中AB方程（Ya+yb）y--4px+16p2=0可得AB过定点（4p,0）而OM

垂直AB,所以由圆的几法性质可知：

M点的轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆。

所

以方程为（x-2p）2∙y2=4p2,除去点（0，0）。

六、点差法:

一12

例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C:

yχ上一点，直线I过点P且与抛物线

C交于另一点Q。

若直线I与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。

（图见教

材P129页例2）。

二PQ中点为M的轨迹方程为y=X

2x2

1（Xn0）

方法二（点差法）

P的切线的斜率k切=X1,

X2

消去X1,得y°

'

2x0

121

由y1-X1，y2SX2，X0

21

将上式代入

（2）并整理，得y。

=x27（X0=0）∙

2X0

二PQ中点为M的轨迹方程为y=X+—2+1（XH0）

2x

本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键

是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。

七、向量法:

rXVXV

例7、（1995全国理）已知椭圆如图6,=1,直线L:

=1,P是L

2416128

上一点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足IoQl∙IoPl=IORf.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线

图6

由OQ,OR,OP共线,设OR=mOQ,OP=nOQ,OQ=（x,y）则OR=（mx,my）,OP=（nx,ny）,由∣OP∣.∣OQI=IOR|2,得n=m2....

（1）

在椭圆上，..^.1,

2416

1点P在L上.坐翌=1

XVXV

U=+——

128

X2y21Xy1X

2,代入

（1）得：

-

2416m128n2416

竺.（L∑1L=1即为所求的轨迹为椭圆。

55

23

本题解法较多，是一道有难度的多动点轨迹问题，如果用常规方法求解，其过程曲折，运算繁杂，而利用向量作形与数的转化，由此展开思路，不仅减少运算量，其过程也就变得

平坦自然

总结：

以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：

1.高考方向要把握

高考考查轨迹问题通常是以下两类：

一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。

2.“轨迹”、“方程”要区分

求轨迹方程，求得方程就可以了；

若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。

3.抓住特点选方法

处理轨迹问题成败在于：

对各种方法的领悟与解题经验的积累。

所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。

4.认真细致定范围

确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：

1准确理解题意，挖掘隐含条件；

2列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；

3推理要严密，方程化简要等价；

4消参时要保持范围的等价性；

5数形结合，查“漏”补“缺”。

5.平几知识“用当先”在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：

1题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；

2简化条件式；

3转化化归。

6.向量工具“用自如”向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握，并能运用

自如