一阶语言的语形Word文档格式.docx
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3）Am的一个子集P={孟子}；
4）Am2的一个子集Q={<
孟母，孟子>
}；
5）Am上的一个一元函数f：
f（x）=x的母亲。
如果我们设计一个一阶语言Lm来描述Am，Lm就必须包含下列符号：
1）个体常项a（指称孟子）；
2）一元谓词P（表达集合P）；
3）二元谓词Q（表达集合Q）；
4）函数符号f（表达函数f）。
（我们把语言Lm之内的符号用斜体书写，如P，注意它与P在语言层次上的差别。
）
当然，这些只是Lm中的非逻辑符号。
为了表达Am中的“孟子P并且<
Q”（对应于S中的“孟子贪玩并且孟母关心孟子”），“并非所有的个体都不属于P”等较复杂的事实，Lm中还需要量词、个体变项和联结词等逻辑符号。
这些非逻辑符号和逻辑符号，组成了Lm的初始符号表或字母表。
对这个例子做一下抽象，考虑一个普遍的情形，其中的全域、特定个体、关系、函数等都无特别的限制。
按照上例提示的语言构造方法，我们可以如下定义一般的一阶语言的字母表：
1.1定义一个一阶语言L的字母表由以下符号组成：
1）一组非逻辑符号，其中包含：
i）一个（可能空的）个体常项集；
ii）对每个n1,一个（可能空的）n元谓词集；
iii）对每个n1,一个（可能空的）n元函数符号集
2）一组固定的逻辑符号，其中包含：
i）个体变项x0,x1,x2,…（可数无穷多）；
ii）量词，；
iii）联结词，，，；
iv）等词；
v）括号），（。
在所有这几类中，采用什么样的符号无关紧要，但我们要求所有这些符号都是可辨认的、相互不同的。
这里采用的符号中，称为全称量词，是存在量词。
，，，，分别称为否定词、合取词、析取词和蕴涵词。
这个定义涵括了种种不同的一阶语言。
从定义可以看出，所有的一阶语言都具有共同的逻辑符号，它们的差别只在非逻辑符号上。
等词是一个特别的二元谓词。
我们假定每个一阶语言都需要等词，所以把它单拿出来作逻辑符号。
还有其他的定义方式，不假定等词是每个一阶语言都必需的，因而把等词与其他谓词同等看待，也放到非逻辑符号里。
相对于这种定义，我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。
L的这些初始的符号，是用来进一步构造L的词项、公式等语言对象的。
后面会说明，一个词项或公式是一个有穷长的符号串，其中出现的个体变项只有有穷多个。
但为了组成任意有穷长的项或公式，字母表里就必须有可数无穷多的个体变项。
至于个体变项之外的其他逻辑符号，我们只需要有穷多个。
二者相加，每个一阶语言都有可数无穷多逻辑符号。
另一方面，不同的语言的非逻辑符号的任何一类，根据语言所要描述的结构的不同，都可以是有穷集（包括空集）或无穷集，甚至是不可数集。
因为
|字母集|=|逻辑符号集|+|非逻辑符号集|=0+|非逻辑符号集|
所以，一个语言的字母表的大小取决于它的非逻辑符号集的大小。
当非逻辑符号集可数时，字母集可数；
当非逻辑符号集不可数时，字母集也不可数。
如果我们进一步要求L是一个形式语言（见第一章4.2节的描述），我们就必须要求它的字母集及其每个子类都是能行可判定的，就是说，对任何一个符号，它是否属于L的字母集，是不是L的逻辑符号，是不是L的非逻辑符号，是逻辑符号的哪一类，是非逻辑符号的哪一类等问题，我们都分别有能行的程序来判定。
形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。
这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。
我们以下谈论的，除非特别指明，都是形式语言。
所以，它们的字母表和其中的每一类符号都是能行可判定的，特别就大小来说，是可数的。
词项、公式等对象的形态最终由字母表决定。
又因为所有一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号集。
若它的非逻辑符号集是有穷的，我们就说这个语言是有穷的；
反之就称这个语言是无穷的。
比如，上例的Lm可以简化地表达为：
Lm={a,P,Q,f}。
显然，Lm是有穷语言。
一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。
比如，Lm能够用来描述任何只具有一个特指个体，一个性质，一个二元关系和一个一元函数的结构，甚至组成上更贫乏的结构。
比如，Lm能描述以自然数集N为全域的包含特指个体0、N中一元后继函数s与N中二元关系“…小于或等于…”的结构。
这时，a指称0，Q表达“…小于或等于…”，f表示s。
在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。
我们约定，在元语言中用
x,y,z等代表一阶语言的个体变项；
c,d,e等代表一阶语言的个体常项；
P,Q,R等代表一阶语言的谓词；
f,g,h等代表一阶语言的函数符号。
注意，在本书的书写中，为了强调对象语言和元语言的区别，我们用斜体字母表示个体变项和非逻辑符号在对象语言（一阶语言）里的出现，用黑体字母表示它们的元语言变项。
至于其他的逻辑符号（量词、联结词、等词等），它们在元语言中的出现，就用原符号来表示，从上下文即可分辨这些出现的语言层次。
下面我们举几个具体的一阶语言字母表的例子。
1.2例L0=。
这个语言没有非逻辑符号，但有一个二元谓词（等词），能表达相等关系。
它是最小的一阶语言。
1.3例L1st。
它有可数无穷多个体常项：
c0,c1,c2,…；
对每个n1，还有可数无穷多n元谓词：
P01,P11,P21,…
P02,P12,P22,…
…
和可数无穷多n元函数符号：
f01,f11,f21,…
f02,f12,f22,…
…
谓词和函数符号的上标表示这个符号是多少元的，下标用法如前，表示这个符号是（某元的）第几个符号。
L1st是最大的一阶语言，它有足够多的非逻辑符号，一般的数学和非数学结构都可以用它来描述。
但是，在描述一些特殊的结构时，如Am，这个“全能”的语言就多余出许多符号，反而显得不那么方便。
1.4例Lord={}。
这里的是个二元谓词，除此之外Lord没有非逻辑符号。
Lord可以描述任何只有一个二元关系（没有特指个体、函数）的结构，如偏序、全序结构等。
1.5习题设计一阶语言的字母表，使它们能够分别描述：
（1）全域是自然数集N的一个结构，它包含特指个体0和1，N中二元关系“…小于或等于…”，以及N中的加法和乘法函数。
（2）第二章习题2.3中关于上帝的结构G。
2.归纳定义
下一步我们要从字母表中构造一阶语言的词项（以下简称项）。
项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f（x）=x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。
现在的问题是：
到底哪些东西是项，或者，我们如何确切定义项的集合？
让我们先回到情形S或结构Am中来，考虑一个相似的问题：
我们如何定义其中的个体集？
从中我们可以总结出一种适用于项的定义方法。
结构Am中的个体集Am，初看起来可以定义为：
{x|x是孟子，或x是孟子的母亲，或x是孟子的母亲的母亲，……}，如此枚举，把其中的元素一直这样列下去。
可是，这个做法一是繁复不堪，二是不能推广到无穷的情形：
假设某种情形中继续下去的过程没有尽头，我们就需要用一个无穷长的语句做定义的条件，但我们的语句都是有穷长的。
那么，是否可以借助某个总括了“母亲”、“母亲的母亲”等等的二元关系来定义Am？
假设“…是…的女性直系先辈”是这样一个二元关系，那么似乎有Am={x|x是孟子或x是孟子的女性直系先辈}。
但是，在Am的情形中，这个关系不是直接给定的，因此，我们需要首先定义这个关系，而定义这个关系，其实相当于定义Am这个集合。
我们绕了个圈子，最后退回了原地。
适当的方法是把Am定义为满足以下三个条件的个体集：
1）孟子Am。
2）对任意的x，如果xAm，则x的母亲属于Am，即f（x）Am。
3）除了1）和2）所要求的那些元素，没有别的东西属于Am（或者说，Am是包含那些元素的集合里面最小的一个，再或者说，Am只包含有穷步使用条件1）和2）而得到的那些元素）。
容易看出，这样定义的Am包含且仅仅包含孟子、孟母、孟母的母亲等。
根据1），孟子在Am中；
再由2），孟母也在Am中；
还是根据2）孟母的母亲，孟母的母亲的母亲……都在Am中；
最后由3），只有上述人在Am中，Am不包含其他个体。
这种定义集合的方法叫做归纳定义。
一般而言，对一个集合A的归纳定义包含上例那样的三个步骤。
第一步，我们规定某些（不限于一个）特定的元素属于A，这一步叫基始条件。
上例的基始条件便是1）。
第二步称归纳条件，它包含有穷的一组条件，其中每个条件涉及一个n（n1）元函数f，并规定，对任何a1,…,anA，函数值f（a1,…,an）A。
上例的归纳条件只有一个，表达在2）中，其中涉及的是一元函数：
第三步陈述的是封闭条件，它规定A只包含有穷步反复使用满足基始条件和归纳条件而得到的元素，如上例中3）。
直观上看，一个归纳定义是层层“生成”某个集合的过程。
基始条件规定了这个集合的最初元素，这是第一层。
然后，我们把归纳条件应用于这些基始元素，生出新的元素，就是说，把每个条件涉及的函数运算分别施于基始元素，生成函数值作为新元素，这是第二层。
在第三层，归纳条件反过来再应用于第一层的元素加上第二层得到的新元素，生出更多的元素。
如此等等，一层层反复应用归纳条件，最终得到这个集合的全部元素，而且排除了其他的东西。
归纳定义的集合可以是无穷的，但封闭条件保证了，集合的每个元素都是有穷步应用归纳条件之后“加入”这个集合的，不存在其他的“加入”途径。
换句话说，对每个元素都有某个自然数n，标志它生成的步数。
对一个对象的定义，应该唯一地确定这个对象。
那么，对一个集合的归纳定义，是不是合乎这个标准呢？
是的。
实际上，所有满足基始条件与归纳条件的集合的交集，就是唯一地被归纳定义所确定的集合。
比如，在上例里面，令
C={X|X满足Am的归纳定义中的条件1）和2）}，就是说，
C={X|孟子X；
而且，对任意的x，如果xX，则f（x）X}。
那么，我们有下面的结果：
2.1引理C是满足Am的归纳定义中的条件1）、2）和3）的唯一集合。
证明：
先验证C满足条件1）、2）和3）。
第一，由C中每个集合都满足1）知，孟子属于C中每个集合，因此也属于C。
这表明，C满足1）。
第二，对任何x，如果xC，则x属于C中每个集合。
因为C中每个集合满足2），所以f（x）属于C中每个集合。
由此知，f（x）C，即C满足2）。
第三，任给集合D，如果D满足1）和2），则由C的定义，DC。
所以，CD（参见第二章习题1.6-iii）。
这说明，C是满足1）和2）的最小集合，即C满足条件3）。
再证明唯一性。
设集合E满足1）、2）和3）。
由E满足1）和2）知，EC，因此CE。
又因E满足3），E是满足1）和2）的最小集合。
已知C满足1）和2），所以，EC。
即有E=C。
由E的任意性，C是唯一的。
特殊的例证不保证一般的结果。
但是，这个证明的思路并不依赖集合Am的特殊性质，因此它可以推广到任意归纳定义的情形中，这个工作留作习题。
2.2习题证明：
每一个归纳定义都唯一地确定一个集合。
归纳定义在数学中有广泛的应用。
我们举一个例子，用个体0、1和函数f（x）=x1归纳定义自然数集合N：
1）0N。
2）如果xN，则x1N。
3）除了上面所要求的，没有别的东西是N的元素。
2.3习题
1）用个体0、1和函数f（x）=x1与g（x）=x1归纳定义整数集合Z。
2）设计基始条件和归纳条件，归纳定义奇数集合。
一个集合，如果对它有一个归纳定义，那么我们就可以设计一个有力的证明方法，来证明这个集合的全部元素都有某性质P，这个方法叫做归纳证明。
对归纳定义的集合A，要证明任意xA都有P（x），我们只要做两步工作：
1）证明A的基始元素（基始条件确定的元素）都有性质P。
这一步称为归纳基始。
2）证明每个归纳条件涉及的函数都“保持”性质P。
就是说，对任意这样的一个n元函数f证明：
如果a1,…,anA，且P（a1）,…,P（an），则P（f（a1,…,an））。
这一步称为归纳推步，其中蕴涵的前件a1,…,anA且P（a1）,…,P（an），称为归纳假设。
为什么这两步就保证了A中所有元素都有性质P呢？
直观上看，1）和2）保证了所有满足A的归纳定义的基始条件和归纳条件的元素都有性质P，而封闭条件则规定A只有这些元素。
比如，具体到上面关于孟子等人的集合Am，1）保证了孟子有性质P；
2）保证了
孟子有性质P孟母有性质P孟母的母亲有性质P……
从此推出，孟子、孟母、孟母的母亲……都有性质P。
最后根据Am定义中的封闭条件，这些是Am的所有元素，所以Am中所有个体具有性质P。
这是直观思路，严格的证明留作习题。
2.4习题对于任意可归纳定义的集合A和任意性质P，假设你已经完成了归纳基始和归纳推步的证明。
现在令Q{xxB且x有性质P}，请证明：
BQ，即B的所有元素都有性质P。
（提示：
参考习题2.2。
至于归纳证明的应用，中学数学里常见的数学归纳法就是一个典型的例子。
要证明任意的自然数都有性质P，只要证
1）归纳基始：
P（0）；
并且
2）归纳推步：
对任意的自然数k，P（k）P（k1）。
就完成了这个证明。
这是因为，自然数集合可以像上面那样归纳定义。
在以后的运用中，我们经常采取归纳证明的另一种形式。
就是在归纳假设里，不光假定眼下用来生成新元素的那些“老”元素有某性质，而是进一步假定先前生成的所有“老”元素都有此性质，由此证明当下用函数生成的新元素也有这个性质。
比如，要证明任意的自然数都有性质P，我们只要证明：
对任意的自然数k，如果小于k的数都有性质P，则P（k）。
这有时被称作“第二数学归纳法”。
3．项
现在回到我们的一阶语言中来，讨论项的定义问题。
一个一阶语言一经给定，我们就可以暂时忘记它所要描述的结构，而把这个语言看作一些单纯的符号，以及符号的组合。
这是语形研究的特点，语形性质可以（而且应该）独立于语言的解释或意义而得到研究。
给定一个一阶语言的字母表，我们可以把项定义为其中的字母形成的某种符号串。
一个符号串是符号组成的一个有序n元组（n1），n称为这个符号串的长度。
如<
f>
，<
f,g>
f,g,a>
，等分别为长度为1，2，3的三个符号串。
长度为1的符号串就是一个符号本身。
以下表示符号串时，我们去掉集合论中的尖括号和逗号，直接把符号按顺序排列，如上面三个符号串分别表示为：
f，fg，fga。
我们约定，在元语言中用，，等代表任意一阶语言L的字母表的元素组成的符号串（简称L-串）。
如果L的字母集为A，则L-串的集合={An|n1}。
对任意有穷个符号串1,2,…,n，我们用12…n表示这n个符号串前后连贯起来形成的新符号串。
如1=f，2=fg，则12=ffg。
这使得我们可以对任意n1，在L-串的集合上定义如下的n元连接函数函数Cn：
Cn（1,2,…,n）=12…n
容易验证，对每个n1和任意n个符号串1,2,…,n，Cn（1,2,…,n）总是有穷长的。
当然，要精确地定义连接函数，可以用归纳定义的方法。
递归！
！
3.1习题归纳证明：
对每个n，Cn（1,2,…,n）的长度是1,2,…,n的长度之和。
因此，连接函数的确把有穷个L-串头尾连接起来，形成一个新的L-串。
如果同时有Cn（1,2,…,n）=和，则根据有序组的定义，和长度相同且每个位置上相对应的符号分别相同，就是说，=。
这说明，Cn的确是函数。
以下称函数值Cn（1,2,…,n）为1,2,…,n的连接。
利用L的字母表和L-串上的连接函数，我们就可以归纳定义L的项（或L-项）。
3.2定义设L为一阶语言。
L-项定义为：
1）基始条件：
i）L字母表中的每个个体常项是L-项。
ii）每个个体变项是L-项。
2）归纳条件：
对任意n1，若f是L的n元函数符号，且符号串t1,…,tn是n个L-项，则它们的连接ft1…tn也是L-项。
3）封闭条件：
没有其他东西是L-项。
定义中的基始条件由L的字母表决定。
对每个n1，归纳条件涉及的函数是Cn1，它把f和n个现有的项连接为一个新的项。
封闭条件相当于说L-项的集合是满足1）和2）的最小集合，或者说，每个L-项都是从基始的个体常项和变项出发，有穷次应用归纳条件而生成的。
叙述这个定义时，我们用到了新的元语言变项t。
以后我们就用r，s，t等代表项。
L-项既然是连接函数在L字母表基础上生成的，根据习题3.1，每个L-项都是有穷长的L-串。
L-项的集合与L的字母集一样大，都是可数无穷的。
这是因为，一方面，L-项的集合是L-串的集合的子集，因此，
|L-项集||L-串集|=|{L字母集n|n1}|=00=0；
另一方面，
|L-项集||个体变项集|=0。
3.3例语言L0=（见例1.2），它没有个体常项和函数符号，但有个体变项。
根据定义3.2的1-ii），x0,x1,x2,…是L0-项。
因为没有函数符号，所以不能用归纳条件生成新的项。
根据3），L0只有这些项。
语言Lord={}（见例1.4）也没有个体常项和函数符号。
同理，它的项只是个体变项。
3.4例考虑语言L1st（见例1.3）。
由1），个体常项c0,c1,c2,…，个体变项x0,x1,x2,…都是L1st-项。
由2），n元函数符号与n个常项或变项的连接也是L1st项，如：
f01c1,f31x0,f12c1x0,f25x0x4x9c23c2,…
再由2），归纳条件重复使用可构造更复杂的L1st-项，如：
f21f01c1,f22f01c1f12c1x0,f32f31x0f25x0x4x9c23c2,…
但c1x0不是项，f11f01c1f12c1x0也不是项。
（为什么？
对一个形式语言L来说，一个符号串是不是L-项，或者是否属于L-项的集合，应该是能行可判定的。
这就是说，存在一个有穷长的机械过程或程序，其中每一步到下一步都由确定的规则决定，而对每个符号串，在其上执行这个程序后，都在有穷步后得到一个是或否的答案，回答这个符号串是不是L-项。
一般而言，这样一种程序叫算法。
如对任意自然数是不是偶数，我们就有一个算法来判定这个问题。
对集合A，如果有一个算法来判定任意a是否属于A，则称A为可判定的。
这样描述的算法和可判定性，仍然是直观的概念。
下面我们在这个直观的基础上，说明L-项的集合是可判定的。
3.5定理设L为形式语言。
L-项的集合是可判定的。
首先说明，因为L是形式语言，所以它的个体常项集、个体变项集以及（对每个n1）n元函数符号集都是可判定的。
设符号串的长度为n
（1），我们描述一个判定是否L-项的程序。
第一步：
若n=1，则只有一个符号。
根据以上说明，我们可以判定是不是一个L的个体常项或变项。
如果是，则是L-项；
如果不是，则不是L-项。
第二步：
若n1，则判定的第一个符号是不是L的某个m元函数符号（mn）。
这只要对L的每个元数小于n的函数符号集，逐一判定的第一个符号是否属于这个集合。
如果不是，则不是L-项；
如果是，则继续下一步。
第三步：
判定的每一个符号是否L的个体常项、变项或某个元数小于n的函数符号。
若有一个符号不是三者之一，则不是L-项；
否则继续下一步。
第四步：
在串中，从后往前找到第一个函数符号f，设为k元，检查f后面是否有不少于k个个体常项或变项。
若否，则不是L-项；
若是，则把f和其后的这k个符号抹去，在原位置上写上符号t1，然后继续往前找到下一个函数符号，看它后面是否有足够多个符号，包括个体常项、变项或t1。
若是，则重复上面过程，抹去这个函数符号及其后的相应个符号，代以t2。
按此法继续检查前面的函数符号，直到的第一个符号（根据第二步，它是一个m元函数符号）。
这时，第一个符号后面必须刚好有m个符号，包括个体常项、变项或ti，才能保证是L-项。
这个判定过程表明，L-项的构造可用树形图来分析。
个体常项或变项是只有一个节点的树；
复杂的项从最后一个函数符号开始，逐步列出各简单项和每个ti。
如果项t是项s的一部分，则把t写在s的上面。
比如L1st-项f22f01c1f01f12c1x0的构造过程可以分析为下面的分解树：
c1x0
————
c1f12c1x0（t1）
—————————
f01c1（t3）f01f12c1x0（t2）
————————————
f22f01c1f01f12c1x0
每一层所有的符号串都是项。
最上面没有横线的（叶
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