一阶语言的语形Word文档格式.docx

1、3） Am的一个子集P = 孟子；4） Am2的一个子集Q = ；5） Am上的一个一元函数f：f（x） = x的母亲。如果我们设计一个一阶语言Lm来描述Am，Lm就必须包含下列符号：1） 个体常项a（指称孟子）；2） 一元谓词P（表达集合P）；3） 二元谓词Q（表达集合Q）；4） 函数符号f（表达函数f）。（我们把语言Lm之内的符号用斜体书写，如P，注意它与P在语言层次上的差别。） 当然，这些只是Lm中的非逻辑符号。为了表达Am中的“孟子 P并且 Q”（对应于S中的“孟子贪玩并且孟母关心孟子”），“并非所有的个体都不属于 P”等较复杂的事实，Lm中还需要量词、个体变项和联结词等逻辑符号。这些

2、非逻辑符号和逻辑符号，组成了Lm的初始符号表或字母表。 对这个例子做一下抽象，考虑一个普遍的情形，其中的全域、特定个体、关系、函数等都无特别的限制。按照上例提示的语言构造方法，我们可以如下定义一般的一阶语言的字母表：1.1 定义 一个一阶语言L的字母表由以下符号组成：1） 一组非逻辑符号，其中包含：i）一个（可能空的）个体常项集；ii）对每个n 1, 一个（可能空的）n元谓词集；iii）对每个n 1, 一个（可能空的）n元函数符号集2） 一组固定的逻辑符号，其中包含：i）个体变项 x0, x1, x2, （可数无穷多）；ii）量词 ，；iii）联结词 ，；iv）等词 ；v）括号 ），（。 在所

3、有这几类中，采用什么样的符号无关紧要，但我们要求所有这些符号都是可辨认的、相互不同的。这里采用的符号中，称为全称量词，是存在量词。，分别称为否定词、合取词、析取词和蕴涵词。这个定义涵括了种种不同的一阶语言。从定义可以看出，所有的一阶语言都具有共同的逻辑符号，它们的差别只在非逻辑符号上。等词是一个特别的二元谓词。我们假定每个一阶语言都需要等词，所以把它单拿出来作逻辑符号。还有其他的定义方式，不假定等词是每个一阶语言都必需的，因而把等词与其他谓词同等看待，也放到非逻辑符号里。相对于这种定义，我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。L的这些初始的符号，是用来进一步构造L的词项、公式等语言对

4、象的。后面会说明，一个词项或公式是一个有穷长的符号串，其中出现的个体变项只有有穷多个。但为了组成任意有穷长的项或公式，字母表里就必须有可数无穷多的个体变项。至于个体变项之外的其他逻辑符号，我们只需要有穷多个。二者相加，每个一阶语言都有可数无穷多逻辑符号。另一方面，不同的语言的非逻辑符号的任何一类，根据语言所要描述的结构的不同，都可以是有穷集（包括空集）或无穷集，甚至是不可数集。因为|字母集| = |逻辑符号集| + |非逻辑符号集| = 0 + |非逻辑符号集|所以，一个语言的字母表的大小取决于它的非逻辑符号集的大小。当非逻辑符号集可数时，字母集可数；当非逻辑符号集不可数时，字母集也不可数。如

5、果我们进一步要求L是一个形式语言（见第一章4.2节的描述），我们就必须要求它的字母集及其每个子类都是能行可判定的，就是说，对任何一个符号，它是否属于L的字母集，是不是L的逻辑符号，是不是L的非逻辑符号，是逻辑符号的哪一类，是非逻辑符号的哪一类等问题，我们都分别有能行的程序来判定。形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。我们以下谈论的，除非特别指明，都是形式语言。所以，它们的字母表和其中的每一类符号都是能行可判定的，特别就大小来说，是可数的。词项、公式等对象的形态最终由字母表决定。又因为所有

6、一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号集。若它的非逻辑符号集是有穷的，我们就说这个语言是有穷的；反之就称这个语言是无穷的。比如，上例的Lm可以简化地表达为：Lm = a, P, Q, f。显然，Lm是有穷语言。一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。比如，Lm能够用来描述任何只具有一个特指个体，一个性质，一个二元关系和一个一元函数的结构，甚至组成上更贫乏的结构。比如，

7、Lm能描述以自然数集N为全域的包含特指个体0、N中一元后继函数s与N中二元关系“小于或等于”的结构。这时，a指称0，Q表达“小于或等于”，f表示s。在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。我们约定，在元语言中用x, y, z等代表一阶语言的个体变项；c, d, e等代表一阶语言的个体常项；P, Q, R等代表一阶语言的谓词；f, g, h等代表一阶语言的函数符号。注意，在本书的书写中，为了强调对象语言和元语言的区别，我们用斜体字母表示个体变项和非逻辑符号在对象语言（一阶语言）里的出现，用黑体字母表示它们的元语言变项。至于其他的逻辑符号（量

8、词、联结词、等词等），它们在元语言中的出现，就用原符号来表示，从上下文即可分辨这些出现的语言层次。下面我们举几个具体的一阶语言字母表的例子。1.2 例 L0 = 。这个语言没有非逻辑符号，但有一个二元谓词（等词），能表达相等关系。它是最小的一阶语言。1.3 例 L1st。它有可数无穷多个体常项：c0, c1, c2, ；对每个n 1，还有可数无穷多n元谓词： P01, P11, P21, P02, P12, P22, 和可数无穷多n元函数符号： f01, f11, f21, f02, f12, f22, 谓词和函数符号的上标表示这个符号是多少元的，下标用法如前，表示这个符号是（某元的）第几个符

9、号。L1st是最大的一阶语言，它有足够多的非逻辑符号，一般的数学和非数学结构都可以用它来描述。但是，在描述一些特殊的结构时，如Am，这个“全能”的语言就多余出许多符号，反而显得不那么方便。1.4 例 Lord = 。这里的是个二元谓词，除此之外Lord没有非逻辑符号。Lord可以描述任何只有一个二元关系（没有特指个体、函数）的结构，如偏序、全序结构等。1.5 习题 设计一阶语言的字母表，使它们能够分别描述：（1）全域是自然数集N的一个结构，它包含特指个体0和1，N中二元关系“小于或等于”，以及N中的加法和乘法函数。（2）第二章习题2.3中关于上帝的结构G。2. 归纳定义 下一步我们要从字母表中

10、构造一阶语言的词项（以下简称项）。项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f（x） = x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。现在的问题是：到底哪些东西是项，或者，我们如何确切定义项的集合？ 让我们先回到情形S或结构Am中来，考虑一个相似的问题：我们如何定义其中的个体集？从中我们可以总结出一种适用于项的定义方法。结构Am中的个体集Am，初看起来可以定义为：x | x是孟子，或x是孟子的母亲，或x是孟子的母亲的母亲，如此枚举，把其中的元素一直这样列下去。可是，这个做法一是繁复不堪，二是不能推广到无穷的情形：假设某种情形中继续下去的过程没

11、有尽头，我们就需要用一个无穷长的语句做定义的条件，但我们的语句都是有穷长的。那么，是否可以借助某个总括了“母亲”、“母亲的母亲”等等的二元关系来定义Am？假设“是的女性直系先辈”是这样一个二元关系，那么似乎有Am = x | x是孟子或x是孟子的女性直系先辈。但是，在Am的情形中，这个关系不是直接给定的，因此，我们需要首先定义这个关系，而定义这个关系，其实相当于定义Am这个集合。我们绕了个圈子，最后退回了原地。适当的方法是把Am定义为满足以下三个条件的个体集： 1）孟子 Am。 2）对任意的x，如果x Am，则x的母亲属于Am，即f（x） Am。3） 除了1）和2）所要求的那些元素，没有别的东

12、西属于Am（或者说，Am是包含那些元素的集合里面最小的一个，再或者说，Am只包含有穷步使用条件1）和2）而得到的那些元素）。 容易看出，这样定义的Am包含且仅仅包含孟子、孟母、孟母的母亲等。根据1），孟子在Am中；再由2），孟母也在Am中；还是根据2）孟母的母亲，孟母的母亲的母亲都在Am中；最后由3），只有上述人在Am中，Am不包含其他个体。这种定义集合的方法叫做归纳定义。一般而言，对一个集合A的归纳定义包含上例那样的三个步骤。第一步，我们规定某些（不限于一个）特定的元素属于A，这一步叫基始条件。上例的基始条件便是1）。第二步称归纳条件，它包含有穷的一组条件，其中每个条件涉及一个n（n 1）元

13、函数f，并规定，对任何a1, an A，函数值f（a1, an） A。上例的归纳条件只有一个，表达在2）中，其中涉及的是一元函数：第三步陈述的是封闭条件，它规定A只包含有穷步反复使用满足基始条件和归纳条件而得到的元素，如上例中3）。 直观上看，一个归纳定义是层层“生成”某个集合的过程。基始条件规定了这个集合的最初元素，这是第一层。然后，我们把归纳条件应用于这些基始元素，生出新的元素，就是说，把每个条件涉及的函数运算分别施于基始元素，生成函数值作为新元素，这是第二层。在第三层，归纳条件反过来再应用于第一层的元素加上第二层得到的新元素，生出更多的元素。如此等等，一层层反复应用归纳条件，最终得到这个

14、集合的全部元素，而且排除了其他的东西。归纳定义的集合可以是无穷的，但封闭条件保证了，集合的每个元素都是有穷步应用归纳条件之后“加入”这个集合的，不存在其他的“加入”途径。换句话说，对每个元素都有某个自然数n，标志它生成的步数。对一个对象的定义，应该唯一地确定这个对象。那么，对一个集合的归纳定义，是不是合乎这个标准呢？是的。实际上，所有满足基始条件与归纳条件的集合的交集，就是唯一地被归纳定义所确定的集合。比如，在上例里面，令C = X | X满足Am的归纳定义中的条件1）和2），就是说，C = X | 孟子 X；而且，对任意的x，如果x X，则f（x） X。那么，我们有下面的结果： 2.1 引理

15、 C是满足Am的归纳定义中的条件1）、2）和3）的唯一集合。 证明：先验证C满足条件1）、2）和3）。第一，由C中每个集合都满足1）知，孟子属于C中每个集合，因此也属于C。这表明，C满足1）。第二，对任何x，如果x C，则x属于C中每个集合。因为C中每个集合满足2），所以f（x）属于C中每个集合。由此知，f（x） C，即C满足2）。第三，任给集合D，如果D满足1）和2），则由C的定义，D C。所以，C D（参见第二章习题1.6-iii）。这说明，C是满足1）和2）的最小集合，即C满足条件3）。 再证明唯一性。设集合E满足1）、2）和3）。由E满足1）和2）知，E C，因此C E。又因E满足3）

16、，E是满足1）和2）的最小集合。已知C满足1）和2），所以，E C。即有E = C。由E的任意性，C是唯一的。 特殊的例证不保证一般的结果。但是，这个证明的思路并不依赖集合Am的特殊性质，因此它可以推广到任意归纳定义的情形中，这个工作留作习题。2.2 习题 证明：每一个归纳定义都唯一地确定一个集合。归纳定义在数学中有广泛的应用。我们举一个例子，用个体0、1和函数f（x） = x 1归纳定义自然数集合N： 1）0 N。 2）如果x N，则x 1 N。 3）除了上面所要求的，没有别的东西是N的元素。 2.3 习题 1）用个体0、1和函数f（x） = x 1与g（x） = x 1归纳定义整数集合Z。

17、 2）设计基始条件和归纳条件，归纳定义奇数集合。一个集合，如果对它有一个归纳定义，那么我们就可以设计一个有力的证明方法，来证明这个集合的全部元素都有某性质P，这个方法叫做归纳证明。对归纳定义的集合A，要证明任意x A都有P（x），我们只要做两步工作： 1）证明A的基始元素（基始条件确定的元素）都有性质P。这一步称为归纳基始。2）证明每个归纳条件涉及的函数都“保持”性质P。就是说，对任意这样的一个n元函数f证明：如果a1, an A，且P（a1）, P（an），则P（f（a1, an）。这一步称为归纳推步，其中蕴涵的前件a1, an A且P（a1）, P（an），称为归纳假设。为什么这两步就保证

18、了A中所有元素都有性质P呢？直观上看，1）和2）保证了所有满足A的归纳定义的基始条件和归纳条件的元素都有性质P，而封闭条件则规定A只有这些元素。比如，具体到上面关于孟子等人的集合Am，1）保证了孟子有性质P；2）保证了孟子有性质P 孟母有性质P 孟母的母亲有性质P从此推出，孟子、孟母、孟母的母亲都有性质P。最后根据Am定义中的封闭条件，这些是Am的所有元素，所以Am中所有个体具有性质P。这是直观思路，严格的证明留作习题。2.4 习题 对于任意可归纳定义的集合A和任意性质P，假设你已经完成了归纳基始和归纳推步的证明。现在令Q x x B且x有性质P，请证明：B Q，即B的所有元素都有性质P。（提

19、示：参考习题2.2。至于归纳证明的应用，中学数学里常见的数学归纳法就是一个典型的例子。要证明任意的自然数都有性质P，只要证1）归纳基始：P（0）；并且2）归纳推步：对任意的自然数k，P（k） P（k 1）。就完成了这个证明。这是因为，自然数集合可以像上面那样归纳定义。在以后的运用中，我们经常采取归纳证明的另一种形式。就是在归纳假设里，不光假定眼下用来生成新元素的那些“老”元素有某性质，而是进一步假定先前生成的所有“老”元素都有此性质，由此证明当下用函数生成的新元素也有这个性质。比如，要证明任意的自然数都有性质P，我们只要证明：对任意的自然数k，如果小于k的数都有性质P，则P（k）。这有时被称作

20、“第二数学归纳法”。3项 现在回到我们的一阶语言中来，讨论项的定义问题。一个一阶语言一经给定，我们就可以暂时忘记它所要描述的结构，而把这个语言看作一些单纯的符号，以及符号的组合。这是语形研究的特点，语形性质可以（而且应该）独立于语言的解释或意义而得到研究。 给定一个一阶语言的字母表，我们可以把项定义为其中的字母形成的某种符号串。一个符号串是符号组成的一个有序n元组（n 1），n称为这个符号串的长度。如，f, g, a，等分别为长度为1，2，3的三个符号串。长度为1的符号串就是一个符号本身。以下表示符号串时，我们去掉集合论中的尖括号和逗号，直接把符号按顺序排列，如上面三个符号串分别表示为：f，f

21、g，fga。 我们约定，在元语言中用，等代表任意一阶语言L的字母表的元素组成的符号串（简称L-串）。如果L的字母集为A，则L-串的集合 = An | n 1。对任意有穷个符号串1, 2, n，我们用12 n表示这n个符号串前后连贯起来形成的新符号串。如1 = f，2 = fg，则12 = ffg。这使得我们可以对任意n 1，在L-串的集合上定义如下的n元连接函数函数Cn： Cn（1, 2, n） = 12 n容易验证，对每个n 1和任意n个符号串1, 2, n，Cn（1, 2, n） 总是有穷长的。当然，要精确地定义连接函数，可以用归纳定义的方法。递归！3.1 习题 归纳证明：对每个n，Cn（

22、1, 2, n） 的长度是1, 2, n的长度之和。因此，连接函数的确把有穷个L-串头尾连接起来，形成一个新的L-串。如果同时有Cn（1, 2, n） = 和，则根据有序组的定义，和长度相同且每个位置上相对应的符号分别相同，就是说， = 。这说明，Cn的确是函数。以下称函数值Cn（1, 2, n）为1, 2, n的连接。 利用L的字母表和L-串上的连接函数，我们就可以归纳定义L的项（或L-项）。 3.2 定义 设L为一阶语言。L-项定义为： 1）基始条件：i）L字母表中的每个个体常项是L-项。ii）每个个体变项是L-项。 2）归纳条件：对任意n 1，若f是L的n元函数符号，且符号串t1, tn

23、是n个L-项，则它们的连接ft1tn也是L-项。 3）封闭条件：没有其他东西是L-项。 定义中的基始条件由L的字母表决定。对每个n 1，归纳条件涉及的函数是Cn 1，它把f和n个现有的项连接为一个新的项。封闭条件相当于说L-项的集合是满足1）和2）的最小集合，或者说，每个L-项都是从基始的个体常项和变项出发，有穷次应用归纳条件而生成的。叙述这个定义时，我们用到了新的元语言变项t。以后我们就用r，s，t等代表项。 L-项既然是连接函数在L字母表基础上生成的，根据习题3.1，每个L-项都是有穷长的L-串。 L-项的集合与L的字母集一样大，都是可数无穷的。这是因为，一方面，L-项的集合是L-串的集合

24、的子集，因此，|L-项集| |L-串集| = |L字母集n | n 1| = 0 0 = 0；另一方面，|L-项集| |个体变项集| = 0。 3.3 例 语言L0 = （见例1.2），它没有个体常项和函数符号，但有个体变项。根据定义3.2的1-ii），x0, x1, x2, 是L0-项。因为没有函数符号，所以不能用归纳条件生成新的项。根据3），L0只有这些项。语言Lord = （见例1.4）也没有个体常项和函数符号。同理，它的项只是个体变项。 3.4 例 考虑语言L1st（见例1.3）。由1），个体常项c0, c1, c2, ，个体变项x0, x1, x2, 都是L1st-项。由2），n元函

25、数符号与n个常项或变项的连接也是L1st项，如： f01c1, f31x0, f12c1x0, f25x0x4x9c23c2, 再由2），归纳条件重复使用可构造更复杂的L1st-项，如： f21f01c1, f22 f01c1 f12c1x0, f32 f31x0 f25x0x4x9c23c2, 但c1x0不是项，f11f01c1 f12c1x0也不是项。（为什么？ 对一个形式语言L来说，一个符号串是不是L-项，或者是否属于L-项的集合，应该是能行可判定的。这就是说，存在一个有穷长的机械过程或程序，其中每一步到下一步都由确定的规则决定，而对每个符号串，在其上执行这个程序后，都在有穷步后得到一个

26、是或否的答案，回答这个符号串是不是L-项。一般而言，这样一种程序叫算法。如对任意自然数是不是偶数，我们就有一个算法来判定这个问题。对集合A，如果有一个算法来判定任意a是否属于A，则称A为可判定的。这样描述的算法和可判定性，仍然是直观的概念。下面我们在这个直观的基础上，说明L-项的集合是可判定的。 3.5 定理 设L为形式语言。L-项的集合是可判定的。 首先说明，因为L是形式语言，所以它的个体常项集、个体变项集以及（对每个n 1）n元函数符号集都是可判定的。设符号串的长度为n（1），我们描述一个判定是否L-项的程序。 第一步：若n = 1，则只有一个符号。根据以上说明，我们可以判定是不是一个L的

27、个体常项或变项。如果是，则是L-项；如果不是，则不是L-项。 第二步：若n 1，则判定的第一个符号是不是L的某个m元函数符号（m n）。这只要对L的每个元数小于n的函数符号集，逐一判定的第一个符号是否属于这个集合。如果不是，则不是L-项；如果是，则继续下一步。 第三步：判定的每一个符号是否L的个体常项、变项或某个元数小于n的函数符号。若有一个符号不是三者之一，则不是L-项；否则继续下一步。 第四步：在串中，从后往前找到第一个函数符号f，设为k元，检查f后面是否有不少于k个个体常项或变项。若否，则不是L-项；若是，则把f和其后的这k个符号抹去，在原位置上写上符号t1，然后继续往前找到下一个函数符

28、号，看它后面是否有足够多个符号，包括个体常项、变项或t1。若是，则重复上面过程，抹去这个函数符号及其后的相应个符号，代以t2。按此法继续检查前面的函数符号，直到的第一个符号（根据第二步，它是一个m元函数符号）。这时，第一个符号后面必须刚好有m个符号，包括个体常项、变项或ti，才能保证是L-项。这个判定过程表明，L-项的构造可用树形图来分析。个体常项或变项是只有一个节点的树；复杂的项从最后一个函数符号开始，逐步列出各简单项和每个ti。如果项t是项s的一部分，则把t写在s的上面。比如L1st-项f22 f01c1 f01f12c1x0的构造过程可以分析为下面的分解树： c1 x0 c1 f12c1x0 （t1） f01c1 （t3） f01f12c1x0 （t2） f22 f01c1 f01f12c1x0 每一层所有的符号串都是项。最上面没有横线的（叶