故选A.
2．（2016·山东，10，难）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝lnx
C．y＝exD．y＝x3
2．A 设两点坐标为（x1，y1），（x2，y2），由切线互相垂直可得，A选项中应有cosx1·cosx2＝－1，满足题意；B选项中应有·＝－1，因为x1>0，x2>0，所以不满足题意；C选项中应有ex1·ex2＝－1，不满足题意；D选项中应有3x·3x＝－1，不满足题意．故选A.
3．（2011·江西，4，易）若f（x）＝x2－2x－4lnx，则f′（x）>0的解集为（ ）
A．（0，＋∞）
B．（－1，0）∪（2，＋∞）
C．（2，＋∞）
D．（－1，0）
3．C f（x）的定义域为（0，＋∞），
又由f′（x）＝2x－2－
＝>0，
解得－12，
所以f′（x）>0的解集为（2，＋∞）．
4．（2016·课标Ⅱ，16，难）若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则b＝________．
4．【解析】 设直线y＝kx＋b与两曲线的切点分别为P1（x1，lnx1＋2），P2（x2，ln（x2＋1））．
∵y′1＝，y′2＝，
∴＝.∴x1＝x2＋1.
此时切点P1（x2＋1，ln（x2＋1）＋2）．
故切线斜率
k＝＝2.
由＝2，得切点P1的坐标为，∴切线方程为y－2＋ln2＝2.令x＝0，得y＝1－ln2，即b＝1－ln2.
【答案】 1－ln2
5．（2014·江西，13，易）若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
5．【解析】 设P（x0，y0），∵y＝e－x，
∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln2，
∴x0＝－ln2，
∴y0＝eln2＝2，
∴点P的坐标为（－ln2，2）．
【答案】 （－ln2，2）
6．（2013·江西，13，易）设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f′
（1）＝________．
6．【解析】 令t＝ex，故x＝lnt，∴f（t）＝lnt＋t，即f（x）＝lnx＋x，∴f′（x）＝＋1，∴f′
（1）＝2.
【答案】 2
7．（2014·江苏，11，中）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋（a，b为常数）过点P（2，－5），且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
7．【解析】 因为曲线y＝ax2＋过点P（2，－5），所以4a＋＝－5.①
又y′＝2ax－，且曲线在点P（2，－5）处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，所以4a－＝－.②
由①②解得所以a＋b＝－3.
【答案】 －3
8．（2013·北京，18，13分，中）设L为曲线C：
y＝在点（1，0）处的切线．
（1）求L的方程；
（2）证明：
除切点（1，0）之外，曲线C在直线L的下方．
8．解：
（1）设f（x）＝，
则f′（x）＝.
所以切线的斜率k＝f′
（1）＝1，
所以L的方程为y＝x－1.
（2）证明：
令g（x）＝x－1－f（x），则除切点（1，0）之外，曲线C在直线L的下方等价于g（x）＞0（∀x＞0，x≠1）．
g（x）满足g
（1）＝0，且g′（x）＝1－f′（x）＝.
当0＜x＜1时，x2－1＜0，lnx＜0，
所以g′（x）＜0，故g（x）单调递减；
当x＞1时，x2－1＞0，lnx＞0，
所以g′（x）＞0，故g（x）单调递增．
所以，g（x）＞g
（1）＝0（∀x＞0，x≠1）．
所以除切点（1，0）之外，曲线C在直线L的下方．
导数的运算是解决所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，是导数题目的一个基础工具，因此，要牢固掌握常用函数的导数公式、导数的运算法则及复合函数的求导法则，并能准确和灵活应用．
1（2015·福建，10）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝－1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A．f＜B．f＞
C．f＜D．f＞
【解析】 方法一（特值法）：
令k＝2，f（x）＝2.1x－1，
则f＝2.1×－1＝0.05＜，
所以选项A正确；
f（x）＝6x－1，则f＝6×－1＝2＞1，
所以选项B正确；
f
（1）＝6×1－1＝5＞2，所以选项D正确．故选C.
方法二：
根据f′（x）＞k＞1构造函数g（x）＝f（x）－kx，
则g′（x）＝f′（x）－k＞0，g（x）为增函数，而＞0，
则g＝f－＞g（0）＝f（0）＝－1，
即f＞，选项C错误，故选C.
【答案】 C
方法一：
从题目的设问方式上看，可以考虑运用特值法，构造符合题意的特殊函数f（x）和特殊的k计算函数值，从而进行排除即可．
方法二：
由题干中f′（x）＞k＞1得f′（x）－k＞0，根据导数的运算法则可构造函数g（x）＝f（x）－kx，显然g′（x）＞0，g（x）为增函数，然后由g＞g（0）进行推导即可．
1.（2014·大纲全国，7）曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2eB．e
C．2D．1
1．C ∵y′＝x′·ex－1＋x·（ex－1）′＝（1＋x）ex－1，
∴曲线y＝xex－1在点（1，1）处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.
2．（2016·山东济南模拟，5）已知函数f（x）的导函数f′（x），且满足f（x）＝2xf′
（1）＋
lnx，则f′
（1）＝（ ）
A．－eB．－1
C．1D．e
2．B ∵f（x）＝2xf′
（1）＋lnx，
∴f′（x）＝[2xf′
（1）]′＋（lnx）′＝2f′
（1）＋，
∴f′
（1）＝2f′
（1）＋1，即f′
（1）＝－1.
3．（2015·天津文，11）已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，＋∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数．若f′
（1）＝3，则a的值为________．
3．【解析】 因为f′（x）＝a＝a（1＋lnx）．
由于f′
（1）＝a（1＋ln1）＝a，
又f′
（1）＝3，所以a＝3.
【答案】 3,
导数运算的原则和方法
（1）原则：
先化简解析式，再求导．
（2）方法：
①连乘积形式：
先展开化为多项式的形式，再求导；
②分式形式：
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
③对数形式：
先化为和、差的形式，再求导；
④根式形式：
先化为分数指数幂的形式，再求导；
⑤三角形式：
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
⑥复合函数：
由外向内，层层求导．
注意：
当函数解析式中含有待定系数（例如f′（x0），a，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求出即可．
导数的几何意义及其应用在每年的高考中主要有以下两个命题角度：
（1）已知切点求切线方程或斜率；
（2）已知切线方程或斜率求切点或曲线方程．
在复习时，一定要养成“切线方程（斜率）”向“过一点的导数值”转化的思想意识，在求切线方程时，一定要分清“过某点”与“在某点”的区别，这是该内容的一个易错点．
2
（1）（2015·陕西文，15）函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
（2）（2015·陕西，15）设曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与曲线y＝（x>0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
（3）（2015·河南郑州模拟，12）已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
【解析】
（1）由题意知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，
代入函数解析式可得极值点的坐标为.
又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.
（2）设P（x0，y0）（x0>0），
由y＝ex，得y′＝ex，
∴y′|x＝0＝1.
由y＝，得y′＝－，
∴－＝－1，
∴x0＝1或x0＝－1（舍去），
∴y0＝＝1，
∴点P的坐标为（1，1）．
（3）∵y＝，
∴y′＝＝＝.
∵ex>0，∴ex＋≥2，
∴y′∈[－1，0），
∴tanα∈[－1，0）．
又α∈[0，π），∴α∈.
【答案】
（1）y＝－
（2）（1，1） （3）
题
（1）利用导数求出极值点，并由极值点处切线的斜率为0求得切线方程．
题
（2），由于函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，因此，只要设出P点的坐标，然后根据题意列出关于P点坐标的方程即可．
题（3）的解题思路比较简单，主要是求导函数的值域，同时注意正切函数在∪的图象与其正切值之间的对应关系．
1.（2014·课标Ⅱ，8）设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（ ）
A．0B．1
C．2D．3
1．D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，∴a＝3.
2．（2015·课标Ⅰ文，14）已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点（1，f
（1））处的切线过点（2，7），则a＝________.
2．【解析】 ∵f′（x）＝3ax2＋1，
∴f′
（1）＝3a＋1.
又f
（1）＝a＋2，
∴f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为y－（a＋2）＝（3a＋1）（x－1）．
∵切线过点（2，7），∴7－（a＋2）＝3a＋1，解得a＝1.
【答案】 1,
与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略
（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：
①求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；
②由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′（x0）·（x－x0）．
（2）已知斜率求切点：
已知斜率k，求切点（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k.
（3）求切线倾斜角的取值范围：
先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．
（4）根据切线的性质求倾斜角或参数值：
已知曲线上一点P（x0，y0）的切线与已知直线的关系（平行或垂直），确定该切线的斜率k，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k＝f′（x0）＝tanα，其中倾斜角α∈[0，π），根据范围进一步求得角α或有关参数的值．
1．（2015·云南昆明一中调研，9）若曲线f（x）＝acosx与曲线g（x）＝x2＋bx＋1在交点（0，m）处有公切线，则a＋b＝（ ）
A．－1B．0C．1D．2
1．C 依题意得，f′（x）＝－asinx，g′（x）＝2x＋b，于是有f′（0）＝g′（0），即
－asin0＝2×0＋b，故b＝0，
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