压轴题平行四边形.docx

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压轴题平行四边形

2011年全国各地中考数学压轴题专集：

平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形

3．以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，设∠ADC＝（0°＜＜90°）．

（1）求∠HAE的大小（用含的代数式表示）；

（2）求证：

HE＝HG；

（3）判断四边形EFGH是什么四边形？

并说明理由．

6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，点E在射线BM上．

（1）连接OE，与边CD交于点F．若CE＝OC，求CF的长；

（2）连接DE、AE，AE与对角线BD相交于点P．若△ADE为等腰三角形，求DP的长．

8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）．

（1）求证：

h1＝h3；

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：

S＝（h1＋h2）2＋h12；

（3）若h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面

积为S随h1的变化情况．

10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．

（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；

（2）如图2，DP＝AD，CQ＝BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；

（3）如图3，DP＝AD，CQ＝BC，点D的对应点F在PQ上．

①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；

②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________．

11．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．

（1）求AB的长；

（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；

（3）探究：

探究：

在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？

请说明理由．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为CD中点，点E在线段MC上运动，FG垂直平分AE，垂足为O，分别交AD、BC于F、G．

（1）求的值；

（2）设CE＝x，四边形AGEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AGEF的形状，并说明理由．

15．如图1，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．

（1）求CF和EF的长；

（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？

（3）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图3，在

（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．

16．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），M是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点M的直线y＝－x＋m交折线OAB于点N．

（1）记△MOE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；

（2）当点N在线段OA上时，若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1．

①当m为何值时，B、N、B1三点在同一直线上；

②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

18．如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）．

（1）当t＝5秒时，求PQ的长；

（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比；

（3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？

如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．

22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，8），OA＝OB．

（1）求点B的坐标；

（2）点P从点A出发，沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OA，交折线A－B－O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10）．

①是否存在某个时刻t，使△OPH的面积等于△OAB面积的？

若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

②以P为圆心，PA长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．

23．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D．

（1）求点E的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数；

（2）△MNK的面积能否小于？

若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；

（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？

请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．

28．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60°；

当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3－S22的最大值，并求出此时a、b的值．

31．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

（1）当t≠1时，求证：

△PEQ≌△NFM；

（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

33．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，连接CH、DH．

（1）直接写出点H到AD的距离；

（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值；

（3）当△EHC为等腰三角形时，求AG的长．

34．已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），且AE＝AF，∠EAF＝54°．

（1）如图1，当AC平分∠EAF时，若AB＝AE，求∠AEB的度数；

（2）如图2，当AC不平分∠EAF时，若△ABE是一个等腰三角形，求∠AEB的度数．

35．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90º，BC＝2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．

（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，求BD的长．

37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；

（2）探究：

将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否发生变化？

请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．

38．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：

如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：

菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：

如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：

如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断＋是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10，AB＝3，BC＝14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD上一点C′，再沿C′G折叠四边形C′ABE，使AC′与C′E重合，且C′A过点E．

（1）试证明C′G∥EF；

（2）若点A′与点E重合，求此时图形重叠部分的面积．

42．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于F，过点F作直线FG⊥DE于G，交AB于Q．设点P运动时间为t（秒）．

（1）求证：

AF＝AQ；

（2）当t为何值时，四边形PQBC是矩形？

（3）如图2，连接PB，当t为何值时，△PQB是等腰三角形？

43．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6．点E为AB边上一点，EF∥DC，交BC边于点F，FG∥ED，交DC边于点G．

（1）若四边形DEFG为矩形，求AE的长；

（2）如图2，将

（1）中的∠DEF绕E点逆时针旋转，得到∠D′EF′，EF′交BC边于F′点，且F′点与C点不重合，射线ED′交AD边于点M，作F′N∥ED′交DC边于点N．设AM的长为x，△NF′C中，F′C边上的高为y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

45．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝5，BD＝3，以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点．

（1）求证：

点D在y轴上；

（2）若直线y＝kx＋b经过E、F两点，求直线EF的解析式；

（3）将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移，得平行四边形E′F′G′B′．设BB′＝m（0＜m≤3），平行四边形E′F′G′B′与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．

46．已知矩形ABCD中，AB＝7，AD＝6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连接CF．

（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；

（2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；

（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．

47．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上