习题答案第5章 时变电磁场和平面电磁波要点.docx

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习题答案第5章时变电磁场和平面电磁波要点

第5章时变电磁场和平面电磁波

5.1/5.1-1已知z2=1+j，求复数z的两个解。

[解]z2=1+j=2ejπz1=2ejπ=1.189ej22.5ο=1.099+j0.455z=−1.189ej22.5ο

2=−1.099−j0.455

5.2/5.1-2已知α是正实数，试证：

（a）若α<<1,+jα≈±⎛⎜jα⎞

⎝1+2⎟⎠;

（b）若α>>1,+jα≈±⎛⎜jα⎞

⎝1+2⎟⎠;。

[解]（a）α<<1:

+jα=+α2ejtan−1α≈（ejα=±⎛⎜⎝cosαα⎞⎛α⎞

2+jsin2⎟⎠≈±⎜⎝1+j2⎟⎠

（b）α>>1:

+jα=+α2ejtan−1α≈⎛⎜jπ⎞

⎝αe⎟=±⎜ππ⎞

⎠⎝cos4+jsin4⎟⎠

=±（1+jα

2

5.3/5.1-3设E（t）的复振幅为E&=e+jei，H（t）的复振幅为H&=h+jhi，

E（t）H（t）≠Re[E&H&ejωt]，并求E（t）、H（t）。

[解]E（t）=Re[E&ejωt]=1

2（E&ejωt+E&∗e−jωt）

H（t）=1

2（H&ejωt+H&∗e−jωt）

得E（t）H（t）=1（E&H&∗+E&∗H&+E&H&ej2ωt+E&∗H&∗e−j2ωt

4）

=1Re[E&H&∗+E&H&ej2ωt]≠Re[E&H&ejωt

2]

E（t）=Re[（e+jei）ejωt]=Re[（e+jei）（cosωt+jsinωt）]=ecosωt−eisinωt

1试证

H（t）=Re（h+jhi）ejωt=hcosωt−hisinωt

E（t）H（t）=ehcos2ωt+eihisin2ωt−ehicosωtsinωt−eihcosωtsinωt

=1[eh+eihi+（eh−eihi）cos2ωt−（ehi+eih）sin2ωt]2[]

可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.

5.4/5.1-4将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：

ˆE0sin（ωt−kz）+yˆ3E0cos（ωt−kz）；（a）t）=x

ˆ⎢E0sinωt+3E0cos⎜ωt+（b）（t）=x⎣

ˆ+jyˆ）e（c）=（x

ˆjH0e（d）=−y−jkz⎡⎛⎝π⎞⎤⎟；6⎠⎥⎦；。

−jkzsinθ

−j−jkzˆE0eˆ3E0e−jkz=（−jxˆ+yˆ3）E0e−jkz[解]（a）=xe2+yπ

（b）ππ⎡j⎤⎡−j⎛3⎛331⎞⎤1⎞⎟⎥=x⎟ˆ⎢E0e2+3E0e6⎥=xˆE0⎢−j+3⎜ˆE0⎜=x+j+j⎜2⎟⎜2⎠⎥2⎟⎢⎝⎝2⎠⎣⎦⎣⎦（c）π⎞⎛ˆcos（ωt−kz）+yˆcos⎜ωt−kz+⎟=xˆcos（ωt−kz）−yˆsin（ωt−kz）（t）=x2⎝⎠

π⎞⎛ˆH0cos⎜ωt−kzsinθ−⎟=yˆH0sin（ωt−kzsinθ）t）=y2⎠⎝

ˆE0sin（ωt−kz）已知自由空间某点的电场强度t）=x（d）5.5/5.2-1（Vm），求

（a）磁场强度（t）；

（b）坡印廷矢量（t）及其一周T=2π/ω内的平均值S

[解]（a）αv。

Ekπ⎞⎛ˆˆ0sin（ωt−kz）t）=Rejωt=yE0cos⎜ωt−kz−⎟=yωµ02⎠η0⎝[]

式中ωµ0ωµ0==kωµ0ε0

2µ0=η0ε02

（b）EEˆ×yˆ0sin2（ωt−kz）=zˆ0[1−cos2（ωt−kz）]（t）=t）×t）=xη02η0

av1=T∫T

0Eˆ0t）dt=z2η02

5.6/5.2-2对于非均匀的各向同性线性媒质，请导出其无源区电场强度复矢量的波动方程。

[解]无源区限定形式麦氏方程为

=−jωµ∇×=jωε∇×

（1）

（2）

（3）

（4）（））=0∇⋅（µ=0,∇⋅ε由

（1）,

2+⋅∇ε=0即ε∇⋅=−jω∇×µ∇×∇×（））−∇=−jω（µ∇×+∇µ×）∇（∇⋅⎛∇ε⎞22∇⎜⋅⎟+∇=−ωµε+jω∇µ×ε⎠⎝利用

（2）（3）后,

再利用

（1）式代入,得

+ω2µε+∇⎛∇ε∇2⎜⋅ε⎝⎞∇µ=0×∇×⎟+⎠µ

−jk1z−jk2z=x=yˆˆ5.7/5.3-1设真空中同时存在两个时谐电磁场，其电场强度分别为，，EeEe110220

试证总平均功率流密度等于两个时谐场的平均功率流密度之和。

[证1]av

12E10ˆ=z，2η0av22E20ˆ=z2η0

故av22E10+E20ˆ=z=1av+2av2η0

=xˆE10e−jk1z，[证2]1

=yˆE20e−jk2z，2E10−jk1z=1z=yˆˆ×e11η0η0E20−jk2z=1z=−xˆˆ×e22η0η0

1av2⎡E102⎤E10⎡1∗⎤ˆˆ=Re⎢1×1⎥=Re⎢z，⎥=z22η2η⎣⎦⎢0⎥0⎣⎦

2E20∗ˆ=Re2×2=z2η0av2]

⎡1∗+∗av=Re⎢+×1212⎣2（）（ˆEe）⎤⎥⎦=Re⎡⎢⎢1（x2⎣10−jk1z⎛E10jk1zE20jk2z⎞⎤ˆE20e−jk2z×⎜ˆˆ+yye−xe⎟⎜η⎟⎥η00⎝⎠⎥⎦）

222⎡E102E20⎤E10+E20ˆˆˆ=Re⎢z+z=1av+2av=z2η0⎦2η0⎣2η0

&，外5.8/5.3-2同轴线内导体半径为a，外导体内半径为b，某截面处内外导体间电压的复振幅为U

&导体上电流的复振幅为I。

试用复坡印廷矢量计算内、外导体间向负载传输的总功率。

[解]∗&&b1UI1&∗&P=∫⋅ds=⋅2π∫2⋅ρdρ=UISaρb24πlna

5.9/5.3-3在理想导体平面上方的空气区域（z＞0）存在时谐电磁场，其电场强度为

ˆE0sinkzcosωt。

t）=x

（a）求磁场强度t）；

（b）求在z=0，π/4k和π/2k处的坡印廷矢量瞬时值及平均值；

（c）求导体表面的面电流密度。

[解]（a）t）=Rek[]=yˆωµjωt

2Eπ⎞⎛ˆ0coskzsinωt,E0coskzcos⎜ωt+⎟=−y2⎠η0⎝η0=µ0ε0

（b）Eˆ0sn2kzsin2ωtt）=（t）×（t）=−z4η0

z=0,

πz=,4k

z=π,2k

1=T（t）=0Eˆ0sin2ωtt）=−z4η0t）=02av∫T

0E01T4πtˆt）⋅dt=−zsin2kz⋅∫sin=04η0T0T2

或⎡j⎤⎡1∗⎤2ˆav=Re⎢×⎥=Re⎢zE0sin2kz⎥=0⎣2⎦⎣4η0⎦

ˆjˆ×y=z（c）=nˆ×sz=0E0Eˆj0=−xη0η0

⎡⎤EEEπ⎞⎛ˆj0ejωt⎥=xˆ0cos⎜ωt−⎟=xˆ0sinωts（t）=Re⎢−xη0η02⎠η0⎝⎣⎦

ˆ2Eecosωt+30，Het）=yˆ2Hecosωt+30。

5.10/5.3-4已知时谐电磁场瞬时值为Ee（t）=xοο（）（）

请写出其复矢量和，求坡印廷矢量瞬时值t）=et）×et），并证明其一周平均值为S

[解]αvˆEeHe。

=z=xj30οˆ2Eeee

=yj30οˆ2Heee

ˆ2EeHecos2（ωt+30ο）=zˆEeHe+EeHecos（2ωt+60ο）t）=Ee（t）×Het）=z[]

av=1

T∫T

0ˆ（t）dt=z1T∫[EHT

0eeˆEeHe,得证.+EeHecos2ωt+60οdt=z（）]

5.11/5.3-5设时谐电磁场瞬时值为

t）=Imjωt,（t）=Imjωt[][]

αv试求坡印廷矢量瞬时值t）=（t）×（t），并求其一周内平均值S

[解]。

1jωtt）=Imjωt=−∗e−jωt

2j]]

1jωt∗−jωtt）=Imjωt=−e2j

∴（t）=t）×（t）=−[][]1j2ωt∗+∗e−j2ωt∗×−×−∗××4

1&∗−×&=ReE×j2ωt

2[][]

av=

5.12/5.4-11T∫T0t）dt=1⎡1Re⎢2⎣T⎤1×−××][（）dt=Re∫⎥⎦2T∗j2ωt∗0氦氖激光器发射的激光束在空气中的波长为6.328×10-7m，计算其频率、周期和波数（标

出单位）。

[解]k=2π2π==9.929×106m−1

−7λ6.328×10

c3×108

f===4.741×1014Hz−7λ6.328×10

T=1=2.109×10−15secf

5.13/5.4-2人马座α星离地球4.33光年，1光年是光在一年中传播的距离。

问该星座离地球多少km?

[解]r=ct=3×108×4.33×365×24×3600=4.097×1016m=4.1×1013km

5.14/5.4-3地球接收太阳全部频率的辐射功率密度约为1.4kW/m2。

问：

（a）若设到达地面的是单一频率的平面波，则其电场强度和磁场强度振幅多大？

（b）地球接收太阳能总功率约为多少？

地球半径为6380km。

（c）若太阳的辐射是各向同性的，那么太阳总辐射功率约为多大？

太阳与地球相距约

1.5×108km。

[解]（a）E2

=1.3×103

2η0

∴E=2η0×1.3×103=990V/m,

2326H=E=2.63A/mη01711（b）P=S⋅4πa=1.4×10×π×6380×10=7.16×10W=7.16×10MW

（c）P=S⋅4πR2=1.4×103×4π×1.52×1016×106=3.68×1026W=3.68×1020MW

5.15/5.4-4图5-1所示为对称振子天线。

若用它来接收波长λ的电视信号，当其长度L≈λ/2时最有效。

问接收下列频道时，L应取多长：

（a）5频道（f0=88MHz）；（b）8频道（f0=187MHz）；

（c）26频道（f0=618MHz）。

c3×108

[解]（a）λ===3.41m,f88×106

λ=1.71m2

c3×108

（b）λ===1.604m,f187×106

λ∴L==0.802m2∴L=c3×108

（c）λ===0.485m,f618×106

5.16/5.4-5∴L=λ=0.243m=24.3cm2ˆE0e−jkz，设=z该电场是否满足无源区麦氏方程组？

若满足，求出其场；若不满足，

请指出为什么。

[解]ˆ⋅=−jkE0e−jkz≠0∇⋅=−jkz该电场不满足无源区麦氏方程组.

ˆ）的坡印廷矢量,即不可能沿纵向传播,与假这是因为该电场无横向分量,因而不会形成沿纵向（z

设矛盾.

5.17/5.4-6在理想介质中一平面波的电强度为

ˆ5cos2π（108t−z）（Vm）t）=x

（a）求介质中波长及自由空间波长；

（b）已知介质μ＝μ0，ε=ε0εr，求介质的εr；

（c）写出磁场强度的瞬时表示式。

ˆ5cos2π10t−z[解]（a）（t）=x8（）（Vm）

∴Θω=2πf=2π×108f=108Hz,

c3×108

λ0===3mf108

Θk=2π=2π,λ∴λ

=2π=1mk

（b）λ=λ0r⎛λ⎞εr=⎜0⎟=9⎝λ⎠2

或由k=ωµ0ε0εr,kkc2π×3×108

r====3,εr=98ω2π×10ωµ0ε0

（c）（t）=11ˆ5cos2π（108t−z）ˆ×（t）=ˆ×xzzηη0r

=11ˆ5cos2π（108t−z）=yˆˆ0.0398cos2π（108t−z）A/mycos2π（108t−z）=y37738π

⎛π⎞j⎜−kz⎟⎝4⎠ˆ−yˆ）e5.18/5.4-7某一自由空传播的电磁波，其电场强度复矢量为=（x

（a）写出磁场强度复矢量；

（b）求平均功率流密度。

[解]（a）（Vm）。

j⎜kz⎟j⎜−kz⎟11−3⎝4⎠ˆ−yˆ）eˆ+yˆ）2.65×10e⎝4⎠（A/m）ˆ×=ˆ×（x=zz=（xη377⎛π⎞⎛π⎞

（b）⎡1⎤⎡1⎤ˆ−yˆ）×（xˆ+yˆ）2.65