一元二次方程根与系数关系中考难题突破Word文件下载.docx
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+3(9+4
-4-8
)=32
解法3由已知得:
α+β=-2αβ=-7
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=18令α2+3β2+4β=Aβ2+3α2+4α=B
∴A+B=4(α2+β2)+4(α+β)=4×
18+4×
(-2)=64①
A-B=2(β2-α2)+4(β-α)=2(β+α)(β-α)+4(β-α)=0②
①+②得:
2A=64∴A=32
请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题
(2)已知x1、x2是方程x2-x-9=0的两个实数根,求代数式。
x13+7x22+3x2-66的值。
解∵x1、x2是方程x2-x-9=0的两根
∴x1+x2=1且x12-x1-9=0x22-x2-9=0
即x12=x1+9x22=x2+9
∴x13+7x22+3x2-66=x1(x1+9)+7(x2+9)+3x2-66
=x12+9x1+10x2-3=x1+9+9x1+10x2-3=10(x1+x2)+6=16
例2已知a+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+b的值.
分析:
显然已知二式具有共同的形式:
x2+x-1=0.于是a和b可视为该一元二次方程的两个根.再观察待求式的结构,容易想到直接应用韦达定理求解.
解:
由已知可构造一个一元二次方程x2+x-1=0,其二根为a、b.
由韦达定理,得a+b=-1,a·
b=-1.
故ab+a+b=-2.
二、先恒等变形,再应用韦达定理
若已知条件或待证结论,经过恒等变形或换元等方法,构造出形如a+b、a·
b形式的式子,则可考虑应用韦达定理.
例3若实数x、y、z满足x=6-y,z2=xy-9.求证:
x=y.
证明:
将已知二式变形为x+y=6,xy=z2+9.
由韦达定理知x、y是方程u2-6u+(z2+9)=0的两个根.
∵x、y是实数,∴△=36-4z2-36≥0.
则z2≤0,又∵z为实数,
∴z2=0,即△=0.
于是,方程u2-6u+(z2+9)=0有等根,故x=y.
由已知二式,易知x、y是t2+3t-8=0的两个根,由韦达定理
三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系),可考虑用韦达定理
例5已知方程x2+px+q=0的二根之比为1∶2,方程的判别式的值为1.求p与q之值,解此方程.
设x2+px+q=0的两根为a、2a,则由韦达定理,有
a+2a=-P,①
a·
2a=q,②
P2-4q=1.③
把①、②代入③,得(-3a)2-4×
2a2=1,即9a2-8a2=1,于是a=±
1.
∴方程为x2-3x+2=0或x2+3x+2=0.
解得x1=1,x2=2,或x1=-1,x2=-2.
例6设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:
p=q或p+q=-4.
设方程x2+px+q=0的两根为α、β,x2+qx+P=0的两根为α'、β'.
由题意知α-β=α'-β',
故有α2-2αβ+β2=α'2-2α'β'+β'2.
从而有(α+β)2-4αβ=(α'+β')2-4α'β'.①
把②代入①,有p2-4q=q2-4p,即p2-q2+4p-4q=0,即(p+q)(p-q)+4(p-q)=0,即(p-q)(p+q+4)=0.
故p-q=0或p+q+4=0,
即p=q或p+q=-4.
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目,可考虑用韦达定理
例7m为问值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?
并求出这个公共根.
设公共根为α,易知,原方程x2+mx-3=0的两根为α、-m-α;
x2-4x-(m-1)=0的两根为α、4-α.
由韦达定理,得α(m+α)=3,①
α(4-α)=-(m-1).②
由②得m=1-4α+α2,③
把③代入①得α3-3α2+α-3=0,
即(α-3)(α2+1)=0.
∵α2+1>0,∴α-3=0即α=3.
把α=3代入③,得m=-2.
故当m=-2时,两个已知方程有一个公共根,这个公共根为3.
课堂练习:
1.已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,y1、y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根。
求以
、
为根的一元二次方程。
2.已知关于x的方程x2-
x+k=0有两个不相等的实数根。
(1)求k的取值范围
(2)化简|-k-2|+
3.已知关于x的方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有实数根。
求a的取值范围。
(提示:
分a2-1=0,a2-1≠0讨论)
4.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2+2k-1=0①
(1)求证,对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。
(2)如果a是关于y的方程y2-(x1+x2-2k)y+(x1-k)(x2-k)=0②的根。
其中x1、x2是方程①的两根求代数式(
-
)÷
·
的值。
课后巩固
(一)基础练习
1.已知方程2x2-2ax+
(a+4)a=0的两实根分别为x1、x2且满足(x1-1)(x2-1)=
,求a的值。
2.关于x的方程x2-(5k+1)x+k2-2=0是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4,若存在,求出满足条件的k的值,若不存在,请说明理由。
3.设α、β是方程x2+
x+2=0的两根,不解方程,求
+
4.已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。
(1)求k的取值范围。
(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?
如果存在求出k的值。
如果不存在,请说明理由。
(1)根据题意,得Δ=(2k-1)2-4k2>
0的解得k<
.
∴当k<
时,方程有两个不相等的实数根。
(2)存在如果方程的两实数根x1、x2互为相反数,则x1+x2=-
=0①
解得k=
经检验k=
是方程①的解。
∴当k=
时,方程的两实数根x1、x2互为相反数。
读了上面的解答过程,请判断是否错误,如果有指出错误之处,并直接写出正确答案。
5.如图已知△ABC中,∠ACB=90°
CD⊥AB于D,若AD、BD的长是关于x的方程x2+px+q=0的两根,且tgA-tgB=2,CD=1,求p、q的值,并解此二次方程。
(二)能力提升题
1.关于x的方程x2-(2a-1)x+(a-3)=0.
(1)求证:
无论a为任何实数,该方程总有两个不相等的实数根。
(2)以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长,已知该三角形斜边上的中线长为
,求实数a的值。
2.已知方程5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+5=0且ab≠1,求
3.已在△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5。
(1)k为何值时,△ABC是以BD为斜边的直角三角形。
(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长。
(三)思维拓展题
已知
是一元二次方程
的两个实数根。
(1)是否存在实数
,使
成立?
若存在,求出
的值;
若不存在,请说明理由。
(2)求使
的值为整数的实数
的整数值。
信息反馈:
学生今日表现:
老师寄语:
家长意见:
家长签字: