极限习题Word文件下载.docx
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legend('
y=sin(x)'
'
二项逼近'
三项逼近'
四项逼近'
)
axis([-0.50.52])
图:
有图可见:
n項逼近中n越大,所的图像与原函数拟合的越好。
1.1.3思考与实验
为了对极限概念的理解以及极限问题的讨论和计算,特别是对高等数学中的两个在理论上和应用方面都十分重要的极限:
(1.2)
(1.3)
可以通过类似的实验进行研究和讨论,此外,下面的问题也是重要的,并且需要研究和讨论:
问题与实验1.1
选择适当的例子找出收敛数列(函数)趋近于极限的典型方式,并通过实验进行观察,你能发现多少种不同的收敛的方式?
问题与实验1.2
选择适当的例子找出发散数列(函数)的典型发散方式(过程),并通过实验进行观察,你能发现多少种不同的发散的方式?
首先我们来研究数列
的极限
,画出它的图像,其程序为:
clc
k=1000;
n=1:
2:
k;
x=(1+1./n).^n;
e=input('
Inputepsilon,Please:
epsilon='
t=e\1;
form=1:
t;
ifm>
1/e;
N=m
break
end
end
plot(n,x,'
r'
gridon
holdon
title('
CONVERGENCEANDLIMITOFSEQUENCE'
gtext('
x=(1+1./n).^n'
其图像为:
可以看出它是先单调递增,再收敛于e的。
x=n.*sin(1./n);
x=n.*sin(1./n)'
可以看出它也是先单调递增,后趋近于1的。
这两个数列的收敛速度是很快的。
k=100;
0.2:
x=n./(3.^n);
x=n./(3.^n)'
可以看出它是先单调递减,再收敛于0的。
x=1+((-1).^n./n);
x=1+((-1).^n./n)'
这是一个振荡收敛数列,收敛于1.
a=2;
x=[];
y=[];
x
(1)=input('
pleaseinputthefirsevalueofiterationx
(1)=:
'
);
%x
(1)=0.1
n=input('
pleaseinputthetotalnumberofiterationn=:
%n=100
fori=1:
n-1;
x(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a))^2;
plot(1:
n,x)
ITERATIONFORSOLVINGEQUATION'
x=linspace(-10,10);
y=normpdf(x,0,1);
figure('
color'
w'
plot(x,y,'
k'
标准正态分布曲线在
时也是收敛的。
以上就是几种不同的收敛函数。
下面我们来认识几种不同的发散函数:
从最简单的一元一次函数开始:
x=linspace(-100,100,1000);
y=2*x+1;
bo'
再看一元二次函数,
x=linspace(-1000,1000);
y=x.^2;
r*'
此外还有一元三次四次等n次函数,就不一一列举了。
n=-100:
x=atan(n);
x=atan(n)'
我们可以知道当n
或
时,此函数是收敛的,当n
时,此函数却是发散的。
x=sin(n);
x=sin(n)'
还有
,n
,都是-1~1之间摆动的。
a=3.3;
y
(1)=input('
pleaseinputthefirsevalueofiterationy
(1)=:
%y
(1)=0.1
%n=1000
y(i+1)=a-(y(i)-sqrt(a))^2;
subplot(2,1,1)
n,x,'
subplot(2,1,2)
n,y,'
在k循环中,当k>
1时,此时函数也是发散的。
a=4;
y(i+1)=a-(y(i)-sqrt(a))^2;
)
混沌现象也是一种特殊的发散形式。
figure;
holdon;
plot(y1,x,'
r.'
plot(y2,x,'
双曲线也是一种特殊的发散形式。
在数学中,基本初等函数都是发散的(常数函数除外),例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数,此外还有一些特殊的函数也是发散的,例如“整数部分”函数y=[x]=n,n
x<
n+1,n
z。
“非负小数”部分函数y=(x)=x-[x],x
。
符号函数
Sgnx=
Diriehlet函数D(x)=
Riemann函数等。