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解：

（1）P（A）字

⑵P（B）号冷

416

（3）P（C）二

c：

第五节概率加法定理

1.设随机事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是（C）

（A）P（C）=P（AB）（B）

P（C）二P（A）P（B）

（C）P（C）_P（A）P（B）-1（D）

P（C）乞P（A）P（B）-1

2.已知P（A）二P（B）二P（C）=

P（AB）=0,P（AC）=P（BC）

—。

则事件A、

B、C全不发生的概率为（B）

（A）-（B）-（C）

3.已知事件A、

B满足条件P（AB）二P（AB），且P（A）=p，则P（B）二（A）

（A）1-p（B）p（C）

1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取

P（D）1-卫

3只球，则其中至少有一只红球的概率为

彳C334

1焉（0.97）

C；

P（AiA2A3）=P（A）P（A2）P（A3）=

212121C9C11'

C7C13'

C4C16

=0.671

（2）设事件A表示取出的3件产品中至少有

2件等级相同，那么事件

A表示取出的

3件产品中等级各不相同，则

P（A）=1_P（A=1-

c9c；

c2o

=0.779

第六节条件概率、概率乘法定理

1.事件代B为两个互不相容事件，且P（A）0,P（B）■0,则必有（B）

（A）P（A）=1-P（B）

P（A|B）=0

（C）P（A|B）=1

P（A|B）=1

2.将一枚筛子先后掷两次，设事件

A表示两次出现的点数之和是

10,事件B表小第

出现的点数大于第二次，则

P（BA）二（A

（A）（B）

3.设A、B是两个事件，若

1（C）

B发生必然导致

A发生，则下列式子中正确的是（A）

（A）P（AB）=P（A）

P（AB）=P（A）

（C）P（BA）二P（B）

P（B_A）=P（B）

-P（A）

1.已知事件A的概率P（A）=0.5，事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（BA）=0.8，则

和事件AB的概率P（AJB）=2.A,B是两事件，P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（B|A）=0.6,贝UP（A|AUB）二15

0.577

1.猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6;

如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离便成为150米；

如果第二次又未击中，则进行第三次射

第3页

击，这时距离变为200米。

假定最多进行三次射击，设击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。

设第i次击中的概率为Pj,（i=i，2,3）因为第i次击中的概率Pi与距离di成反比,

所以设p=2,3）；

由题设，知di=100，pi=0.6，代入上式，得到k=60

再将k=60代入上式，易计算出p^60-0.4，p3=60=0.3

150200

设事件A表示猎人击中动物，事件Bi表示猎人第i次击中动物（i=1,2，3），则所

求概率为:

P（A）=P（BJP（瓦B2）P（BBB3）

=P（BJ+P（B1）P（B2瓦）+P（B?

）P（BZB1）P（B3瓦瓦）

=0.6（1—0.6）0.4（1—0.6）（1—0.4）0.3

=0.832

第七节全概率公式

1.袋中有5个球，3个新球，2个旧球，现每次取一个，无放回的取两次，则第二次取到新球的概率为（A）

（C）2（D）

2.若随机事件A和B都不发生的概率为

p,则以下结论中正确的是（

（A）A和B都发生的概率等于1-p（B）

A和B只有一个发生的概率等于1-p

（C）A和B至少有一个发生的概率等于

1-p（D）A发生B不发生或B发生A不发生的概

率等于1-p

1.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，

则第二次抽出的是次品的概率为-

2.老师提出一个问题，甲先回答，答对的概率是0.4;

如果甲答错了，就由乙答，乙答

对的概率是0.5;

如果甲答对了，就不必乙回答，则这个问题由乙答对的概率为0.3

3.试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个答案是正确的。

任一考生

如果会解这道题，则一定能选出正确答案；

如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。

若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为0.85

1.玻璃杯成箱出售，每箱20只•假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1.

一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，而顾客随机的察看4只,若无残次品

则买下该箱玻璃杯，否则退还.试求顾客买下该箱的概率。

设Ai=“每箱有i只次品”（i=0,12）,B二“买下该箱”.

P（B）=P（A°

）P（B|A。

）P（AJP（B|AJP（A2）P（B|民）

=0.810.1

Cl49

0.1

Cl48

0.94

2.一工厂有两个车间，某天一车间生产产品100件，其中15件次品；

二车间生产产品50件，其中有10件次品，把产品堆放一起（两车间产品没有区分标志），求：

（1）从该天生

产的产品中随机取一件检查，它是次品的概率；

（2）若已查出该产品是次品，则它是二车

间生产的概率。

（1）设事件“取的产品来自1车间”为A,事件“取的产品来自2车间”为A2，

“从中任取一个是次品”为B，

211

PB[=PB|APAPB|A,PA20.15—0.2

336

P（AB）P（B|A）P（A）2

（2）PA2|B22-

P（B）P（B）5

3•发报台分别以概率0.6及概率0.4发出信号“•”及“-”。

由于通信系统受到干扰，当发出信号“•”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“•”及“-”；

又当发出信号“时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“•”。

求：

（1）当收报台收到信号“”时，发报台确系发出信号“”的概率；

（2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。

设事件A表示发报台发出信号

•”，则事件A表示发报台发出信号

设事件B表示收报台收到信号

•”，则事件B表示收报台收到信号

根据题设条件可知：

P（A）=0.6,P（A）=0.4；

P（BA）=0.8,P（B$）=0.1；

P（B|A）=0.2,P（B[A）=0.9；

应用贝叶斯公式得所求概率为:

（1）P（AB）=

P（AB）

P（A）P（B|A）

P（A）P（BA）P（A）P（BA）

0.6汉0.8

0.60.80.40.1

=0.923

（2）P（AB）

P（A）P（BA）

0.40.9

0.40.90.60.2

=0.75

第八节

随机事件的独立性

、选择

1.设P（A）=0.8，P（B）=0.7，

P（AB）=0.8，则下列结论正确的是（C）

事件A与B互不相容（B）

事件A与B互相独立（D）

P（AB）=P（A）P（B）

2.设A、B是两个相互独立的随机事件，P（A）P（B）0，则P（ABH（B）

（A）P（A）P（B）

1-P（A）P（B）

（C）1P（A）P（B）

1-P（AB）

、填空

1.设A与B为两相互独立的事件，P（AB）=0.6，P（A）=0.4，则P（B）』

2.加工某一零件共需经过三道工序。

设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%3%

5%假定各道工序是互不影响的，则加工出来的零件的次品率是0.09693

1.一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人看管的概率：

第一台等于0.9，第

二台等于0.8，第三台等于0.7。

求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率。

设事件Ai表示第i台车床不需要照管，事件A表示第i台车床需要照管，（i=1,2,3）,

根据题设条件可知:

P（AJ=0.9,P（AJ=0.1

P（A2）=0.8,P（A2）=0.2

Pg=0.7,P（A；

）=0.3

设所求事件为b，贝yp（b）二p（aa2A3aa2a3aA2a,a,a，A3）

根据事件的独立性和互不相容事件的关系，得到：

P（B）二P（A）P（A2）P（A3）P（A；

）P（A2）P（A3）

p（a1）p（A；

）p（a3）P（A1）P（A2）P（A；

=0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.3=0.902

2.如下图所示，设构成系统的每个电子元件的可靠性都是p（0<

1）,并且各个元件能否

正常工作是相互独立的，求系统

（1）和

（2）的可靠性。

（1）

（2）解:

（1）p3（2-p3）；

（2）（2p-p2）3

第九节独立试验序列

一、选择

1.每次试验成功率为p（0：

：

1），进行重复试验，直到第10次试验才取得4次成功的

概率为（B）

（A）Ci40p4（1-p）6（B）C；

p4（1-p）6（C）C；

p4（1-p）5（D）C；

p3（1-p）6

二、填空

1.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这射手在一次射击中命中的概率

为0.5

2.设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知事件A至少出现一次的概率等于

则事件A在一次试验中出现的概率为13

三、简答题

1.射击运动中，一次射击最多能得10环。

设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4,

得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在五次独立的射击中得到不少于

第7页

48环的概率。

设事件A表示5次射击不少于48环，事件A表示5次射击每次均中10环，事件A2表示5次射击一次中9环，4次中10环，事件A表示5次射击2次中9环，3次中10环,

事件A4表示5次射击一次中8环，4次中10环，并且A,A2,Aq,A4两两互不相容，由于

每次射击是相互独立的,

则所求概率P（A）

=P（AJ八P（Ai）

i4iz4

=（0.4）5+c5（0.3y（0.4）4+C；

（0.3）2（0.4）3+C；

（0.2）1（0.4）4

0.1318

第二章随机变量及其分布

第二节离散随机变量

1设离散随机变量

X的分布律为：

p{x

=k}=b，,（k=1,2,3,）,

且b-0,则■为（

（A）•・0的任意实数

b-1

因为》P{X=k}=Wb^k=1

Sn—bI）

k=1

所以

lim.Sn=limb•（1_）=1

于是可知,当人＜1时,b=1

1-九

1,（因b0）所以应选（C）.

1如果随机变量X的分布律如下所示,则C=

概率论与数理统计标准作业纸

班级

学号

姓名

P-

解根据'

、P（Xi）=1

刁曰・

得：

为卫

2进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为-，失败的概率为-，将试验进

行到出现一次成功为止,以X表示所需试验次数,则X的分布律是

.（此时称X服从参数为p的几何分布）.

X的可能取值为1，2,3，汶二Ki第1~K-1次失败,第K次成功

所以X的分布律为P「X=^-

（1）KJ4,K=1,2,

三、简答

1一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的

3个球中的最大号码，试求X的概率分布.

解X的可能取值为3,4,5.

1,2,3,只有一种取法，所以

事件{X=3},只能是取出的3只球号码分布为

P{X-3}=

事件{X=4},意味着3只球中最大号码是

4,另外2个号码可在1,2,3中任取

2只，共有C；

种取法，故

P{X

=4}

事件{X=5},意味着3只球中最大号码是

=6种取法，故

P{X=5}二Cf—

C55

从而，X的概率分布是

5，另外2个号码可在1,2，,4中任取

丄

2一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有绿路灯信号的路口，每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布•

解由题设知X的可能值为0,1,2,3,设A（i=123）表示"

汽车在第i个路口首次

遇到红灯"

，A,A2,A3相互独立，且P（A）二卩国）冷于是

1--1

P{X詢=p（a）匕P{X=1}=p（AA2）=p（a）p（A2）=戸

P{X=2}二P（AA2A3）=P（A）P（A2）P（A3）弓

P{X7十（人入2入3）=P（A）P（A2）P（A3）=戸

故分布律为

123

222323

第三节

泊松分布

超几何分布二项分布

1甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936,则甲在一次射击中命中的概率

P=•

（A）0.3（B）0.4（C）0.5（D）0.6

解:

设X二”三次射击中命中目标的次数”，则X~B（3,p）,

已知P（X-1）“—P（X=0）=1-（1—p）3=0.936，

解之得（1-p）3=0.064二1-p=0.4二p=0.6

2设随机变量X~b（2,p）,Y~b（3,p）,若P&

^=5，则p2畠

（B）29

（C）27

设X工”三次射击中命中目标的次数”，则X~B（3,p）,

已知P（X_1）=1-P（X=0）=1-（1-p）3=0.936，

解之得（1—p）3=0.064二1-p=0.4二p=0.6

1设离散随机变量X服从泊松分布，并且已知P「X=1,P「X=21

则p{x=4^.

设X三次射击中命中目标的次数”，则X~B（3,p）,

已知P（X-1）=1-P（X=0）=1-（1-p）3=0.936,

解之得（1~■p）3=0.064=1—p=0.4=p=0.6

简答

1.某地区的月降水量X（单位：

mm服从正态分布N（40,42）,试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm勺概率.

设A=“某月降水量不超过50mm”

P（A）=P（x乞50）=P（岂50一4°

）=（2.5）=0.9938

观察10个月该地区降水量是否超过50mm，相当做10天贝努利试验设Y=“该地区降水量不超过50mm的月数”，贝VY〜B（10,0.9938）

P（Y=10）=0.993810=0.9396

2某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为■的泊松分布，即

X~P（■）,据统计资料知，一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通

事故的概率的2.5倍.

（1）求1个月内发生8次、10次交通事故的概率;

（2）

求1个月内至少发生1次交通事故的概率;

（3）

求1个月内至少发生2次交通事故的概率;

这是泊松分布的应用问题X~P（）,P{X=k}

■ke

一丸

0,1,2,.

这里■是未知的,关键是求出■.

据题意有P{X=8}=2.5P{X=1C}

■8e」亠

一人

2.5

10!

解出'

2=36,■=6

8.610.6

6e6e

⑴P{X-8}0.1033P{X-10}:

（2）P{X=0}=e二e」0：

0.00248

P{X_1}=1-P{X=0}：

1-0.00248：

0.9975⑶P{X=1}=6e“0.01487

62e上

P{X=2}0.04462

P{X乞2}=P{X=0}P{X=1}P{X=2}

0.002480.014870.04462：

0.0620

0.0413

第五节随机变量的分布函数

填空题

1则X的分布函数为

2」

解当x:

-1时，F（x）二P{X乞x}二0;

1当一1ZX：

0时，F（x）二P{X<

x}:

111当0EX：

1时，F（x）二P{Xex};

362

111当x_1时，F（x）=P{X空x}1

整理，得

F（x）=t3

当x一1

当一1乞x:

当0乞x：

当x_1

1设F1（x）与F2（x）分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使

，在下列给定的数值中应取

F（x）二aFjx）-bF2（x）是某一变量的分布函数（A）a=3,b=—2（B）a=2,b=Z（C）a=—」,b=3（D）a二丄,b=

55332222

分析根据分布函数的性质：

limF（x）=1，因此有

xt讼

町卩⑴“虬务）—by映/2（x）即1b故应选（A）.

…数F（x）」：

/2,

0Ex：

1.则F（x）

（A）是随机变量的分布函数

（B）不是随机变量的分布函数

（C）是离散型随机变量的分布函数.（D）是连续型随机变量的分布函数

显然F（x）满足随机变量分布函数的三个条件

（1）F（x）是不减函数

（2）0乞F（x）乞1,且F（—：

）=0,F（：

）=1

F（x0）=F（x）

Qx兰（*）

3.设F（x）,（*）:

2当（*）取下列何值时，F（x）是随机变量的分布函

1,x_2

数•

（A）0（B）0.5（C）1.0（D）1.5

A只有A使F（X）满足作为随机变量分布函数的三个条件

三•简答

1设随机变量X的分布函数为F（x）二A•Barctanx,求A,B的值•

由随机变量分布函数的性质

limF（x）=0.

x_•

limF（x）=1.知

0pim：

F（x）pim：

（ABarcta（n=AB（石）

兀

=AB.

jiji

Barctanx）=ABAB.

A_—B=0

解＜

A+—B=1

L.2

第六节连续随机变量的概率密度

1.设f（x）、F（x）分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是

（A）0_f（x）_1（B）0_F（x）_1

（C）f（x）dx=1（D）f（x）=F（x）

*□00

2.下列函数中，可为随机变量

X的密度函数的是（B）

「sinx,

◎I,

其它

f（X）二

sinx,

.0-

0_x_—

3兀

0二x二

Isinx,

（C）f（x）=

【0，

1.设连续随机变量X的分布函数为

F（X）arctanx,-二：

x：

2兀

（D）f（x）=sinx,

（1）P（一仁X辽1）=0.5

（2）概率密度

f（X）_二（x21）'

三、简答题1.设随机变量X的概率密度

f（x）

Ax2e"

（1）常数A；

（2）概率P（X_1）。

答案

（1）—

（2）0.9197

2.设随机变量X的概率密度

c+x,—1乞x兰0

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