数学转化思想文档格式.docx

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5p12ab舟夺1（5）

a0,由⑶得c1

由⑷得c

5

3

由（5）得312m1

交AC于D。

连结AP,问点P在BC上何处时，APD面积最大?

—3

则AHACsinC2.3—3

1

SABC

—

BC

AH

-436

SABP

BP

x

PD//AB

PCD~BCA

D

c

p

s

x2即P为BC中点时，APD的面积最大

这时APD的面积最大值为-

例4已知二次函数yax2

bxc过点0（0,0）,A（1,3）,B（—2,4.3）和C（1,m）

四点。

（1）确定这个函数的解读式及m的值；

（2）判断OAC的形状；

（3）若有一动圆OM点M在x轴上，与AC相切于T点，OM和OAOC分别交于点R、S,

求证RTs弧长为定值。

（1）由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解读式，进而求出m的值。

（2）分别计算出OAOCAC的长即可判定OAC的形状。

（3）这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。

解:

（1）yax2bxc（a0）的图象过点O（0,0）、A（1,.3）、B（—2,4-3）

3abc

c0解得a.3,b0,c0

4.34a2bc

二次函数解读式为y■■3x2

y.3x2的图象过点C（1,m）

m.3

（1）2.3

AC.（ii）2（.33）2

AOC是等边三角形

⑶设点M的坐标为（P,0）

22

（XP）3X3的两个根

OM与AC相切于T点

若OM与OAOC分别交于

R（Xi,

yj、s（x

|MR|2

（XiP）2

2yi

（i）

|MS|

（X2P）2

y2

（2）

yi

」3xi

（3）

3x2

（4）

OM的半径为3

由⑴、

⑵知,

x2是方程

Xi、

2，丫2）则

4[（xi

X2）2XiX2]

p23

宁）

|RS|..3

MRS是等边三角形，RMS60

60—■■3

RTS的弧长为（2<

3^（定值）

3603

说明：

本例是一个综合问题，尤其是第（3）小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点

用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定MRS的形状，从而确定

RMS的度数，最后计算出

R+s的弧长。

例5如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E,连结CE直线BE交大圆于P、Q两点，已知BE=AE=b,AB=a。

ax

0的两个根;

求证：

（1）CD、CE的长是方程

（2）求PB的长。

此例不仅把线段CDCE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CDCE与实数a、b

的等量关系，用含a、b的代数式表示CDCE的长。

又CD=AB=a

⑵由相交弦定理，得PBBQABBD

即PB（PBb）

5

解得PB

—一b（不合题意，舍去）

PB

3b

易错题分析

例1.四边形ABCD中,ABC60,AC平分BAD，AC7，AD6,SADC

求BC和AB的长。

本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。

由已知

ABC60，AC平

分BAD，所以想到由C点作CEAB于E,作CFAD于F。

由已知SADC153可

RtBEC可求出BC的长。

BE也可求，再通AB的长就求出来了。

求出CF，由CECF，可知过解RtAEC由勾股定理求出解：

作CEAB于

E,CF

CE的长，通过解

AE的长，

AD于F

这样,

CE

CF

SADC

AD

15.3

6

苧CE

-CFAD

在Rt

BEC中,

ABC

60,CE

5-3

BE

|,BCACE中,

AC7

由勾股定理,

AE2

AC2

121

AE11

ABAE

EB

11

综上所述：

BC5,AB

15—

点评：

本题有的同学没有思路，但如果想到由已知Sadc3，想到作AD边上的高线,

再由AC平分BAD想到从C点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三角形解决问题。

3一

例2.四边形ABCD中,A120，ABC90，BD7，cosDBC—J3，求

14

AB

本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。

过D点作EDBA的延长线于E,若C为钝角，作DFBC延长线于F,（若C

为锐角，作DFBC于F,同理）

EAD60

ABBEAE13-5

本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对C的讨论。

C有可能是

锐角、直角或钝角，但无论C是什么角，都不影响解题的结果。

例3.在四边形ABCD中,ABAD，BAC60,D135,AB10，SABC40.3，

求CD的长。

本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。

若B是锐角，（B是钝角或直角同理）过C点作CFAB于F,过C点作CEAD的延长线于E。

1厂

SABCCFAB403,AB10

CF83

AFC90,EDAB90

四边形AECF是矩形

AECF8、3

在RtAEC中，DAB90,CAB60

EAC30,AE8•、3

EC8

在RtDEC中，

ADC135

EDC45

DC82

以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。

在四边形中，常常通过分割或

补全直角三角形来求解四边形。

其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运

用的数学思想就是转化的思想。

以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。

练习

选择题:

|x2_9|_（2x_3y）2

x27x12

A.3

B.—1C.3或一1D.—3

则a的值是（）

3.女口图，梯形ABCD中,AB//DC,AB=a,BAb,CD=c,且a、b、c使方程ax22bxc0

有两个相等实数根，则DBC和A的关系是（）

A.DBCAB.DBCAC.DBCAD.DBCA

4.在关于x的一元二次方程a（1x2）22bxc（1x2）0中，a、b、c是RtABC的

三条边，C90，那么这个方程根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有实数根D.有两个不相等的实数根

5.已知a、b、c是ABC三边的长，b>

a=c,且方程ax2,2bxc0两根的差的绝对

值等于.2，则ABC中最大角的度数是（）

A.90B.120C.150D.60

6.已知a、b、c是ABC三条边长，关于x的方程a（1x2）2bxc（1x2）0有两个

相等的实数根，且2a2c4b，则cosAcosBcosC的值是（）

137

A.1B.C.D.—

555

7.若、是直角三角形两锐角，那么关于x的一元二次方程x2tg2xtg0根的

情况是（）

A.有两个相等的正根B.有两个不等的负根

C.有一正根和一个负根D.没有实数根

二.填空题：

1.在长方形内有1989个点，以这1993个点（包括长方形四个顶点）为顶点画三角形，使

每个三角形内部都不包含其它已知点，则这个长方形被分成个三角形。

2.方程x22mx2m10在区间（一4,0）中有两个不相等实根，则m的取值范围是

O

3.在RtABC中，C90,D是BC中点，DEAB于E,tgB,AE=7,则DE的2

长为。

三.解答题：

1.解分式方程:

x2

9x2

（x3）2

16.

2.已知p3q32,P、q为实数，证明：

pq2。

3.如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，若ADC105,DCB120,CD2、..2,

求四边形ABCD的周长和面积。

4.已知：

如图，在ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且BAC60，

ABC100，DEC80，求Sabc2Scde。

5.已知边长为1的正方形ABCD内接于O0,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE交O0于F,

2f—

EF、FA的长是方程5x5、.5x60的两根。

疑难解答

A.教师自己设计问题：

1.怎样运用转化思想证明模拟试卷中的解答题的第2小题？

2.模拟试卷中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形？

B.对问题的解答：

1.模拟试卷中解答题的第2小题是证明不等式的问题，可以转化为一元二次方程根的判别

式来证明，这就需要构造出合适的一元二次方程，可以

设pqt，贝Uqtp，

p3（tq）32,

322223

t3tp3tp2，即3tp3tpt20,

p为实数，

223

将上面方程看成p的一元二次方程时，（3t）43t（t2）0,

t（t8）0

22232

02pq（pq）（ppqq）（pq）[（pq）-q]

（pq）-q0,

4

pq0，即t0,t380,t2,即pq2。

2•答：

ABC和CDE都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易求得结果，但是由于

ABC中AC已知，且BAC60，若以AC为一边和以BAC为一内角构成直角三角

形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求。

（1）如图：

过C作AB的垂线交AB的延长线于G

可证CDEEBG

2SCDEScbg

SABC2SCDE

SABCSCBG

SCGA

这是构成直角三角形的解法

⑵如图：

以AC为一边，BAC为一内角，构成正三角形ACG

则SGAC

■■3

可证

BAC

FGC，

CED~

SCED

1S

SCFB

2SCDE

作GCB的平分线交GA于F

CBF,CE-CB

-•3

SABC—SCFB

—SGAC

G

试卷答案

1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.A

1.3980个2.12

17m-

3.

1.提示：

原方程转化为（x

3x）2x3）

2x

即（—）2

x3

匸16°

，令y

解方程后检验

知x1

.7，X2

17是原方程的解

2.

提示：

可转化为一元二次方程根的判别式来证明

连结ODOC作CEAB于E,可得

DCA60，

COB30

，四边形周

4.

可以构造直角三角形或等边三角形来解,

SABC2S

.3

CDE

5.

由勾股定理，得AE

、.5，由割线定理,

得EFAE

EC

EB，

EF

AF

AEEF

3，将EF

5代入万程左边

5（I2

5岛*

J5

0,右

边=0,EF

；

是方程5x2

5.5x60的根，同理AF

5x5、5x6

0的根,

EF、

FA是方程5x25・-5x

60的两根。