河南中考总复习《第18讲解直角三角形》同步讲练含答案.docx

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河南中考总复习《第18讲解直角三角形》同步讲练含答案

第18讲　解直角三角形

一、选择题

1．（2017·日照）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为（　B　）

A.B.C.D.

2．（2017·宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（　C　）

A．sinα＝cosαB．tanC＝2

C．sinβ＝cosβD．tanα＝1

第2题图　第3题图

3．（2017·益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A，D，B在同一条直线上）（　B　）

A.B.C.D．h·cosα

4．（2017·聊城）在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（　B　）

A.B.C.D.

5．（2017·滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　A　）

A．2＋B．2C．3＋D．3

第5题图　第6题图

6．（2017·深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（　　）m（　B　）

A．20B．30C．30D．40

二、填空题

7．（2017·广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝　17　.

8．（2017·烟台）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝　　.

9．（2017·德阳）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1∶（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为　12　米．

10．（2017·大连）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为　102　nmile.（结果取整数，参考数据：

≈1.7，≈1.4）

11．（2017·大庆）如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为　20　m.

三、解答题

12．（2017·海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：

水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1∶1（即DB∶EB＝1∶1），如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.（参考数据：

sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

解：

设水坝原来的高度BC为x米．

在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，

∴AB＝≈＝x.

在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，

∴BD＝BE，

∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x＝4＋x，

解得x＝12.

答：

水坝原来的高度BC约为12米．

13．（2017·濮阳一模）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：

sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）

解：

过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D，如解图所示．设AD＝x.

由题意得，∠ABD＝45°，∠ACD＝35°.

在Rt△ADB中，∵∠ABD＝45°，AD＝x，

∴DB＝x，

∴CD＝BC＋BD＝100＋x.

在Rt△ADC中，∵∠ACD＝35°，tan∠ACD＝，

∴≈，

解得x≈233.

答：

热气球离地面的高度约为233m.

14．（2017·洛阳一模）如图所示，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA＝75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且桌面宽OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．

（1）求∠CBO的度数；

（2）求小桌板桌面的宽度OB.（参考数据：

sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，

tan37°≈0.75）

解：

（1）如解图所示，延长CB交OA于点E.

∵CB⊥OA，

∴∠BEO＝90°.

∵∠AOB＝37°，

∴∠CBO＝∠AOB＋∠BEO＝37°＋90°＝127°；

（2）如解图所示，延长OB交AC于点F.设BC＝x.

由题意知OB＝OA－BC＝75－x.

∵∠AOB＝∠ACB，∠OBE＝∠CBF，∠AOB＋∠OBE＝90°，

∴∠ACB＋∠CBF＝90°，

∴△BFC是直角三角形．

在Rt△BFC中，∵∠ACB＝37°，

∴BF＝BC·sin37°≈0.6x，

∴OF＝OB＋BF＝75－0.4x.

在Rt△OAF中，∵∠AOB＝37°，

∴cos37°＝＝≈0.8，

解得x＝37.5.

∴OB＝OA－BC＝75－37.5＝37.5（厘米）．

答：

小桌板桌面的宽度OB约为37.5厘米．

1．（2017·青岛）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：

sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）

解：

过点B作BD⊥AC于点D，如解图所示．

在Rt△ABD中，∵∠ABD＝67°，AB＝520，

∴AD＝AB·sin67°≈×520＝480，

BD＝AB·cos67°≈×520＝200.

在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，BD＝200，

∴CD＝BD·tan30°≈×200＝.

∴AC＝CD＋DA＝＋480≈595.3≈595（km）．

答：

A地到C地之间高铁线路的长约为595km.

2．（2017·凉山）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱高AB应该设计为多少米？

（结果保留根号）　

解：

分别延长OC，AB交于点P，如解图所示．

∵∠ABC＝120°，

∴∠PBC＝180°－120°＝60°.　

∵∠OCB＝90°，

∴∠P＝180°－90°－60°＝30°.

∵AD＝20，

∴OA＝AD＝10.

在Rt△CPB中，∵∠P＝30°，BC＝2，

∴PB＝＝4.

在Rt△AOP中，∵AO＝10，∠P＝30°，

∴AP＝＝＝10.

∴AB＝PA－PB＝（10－4）（米）．

答：

路灯的灯柱高AB应该设计为（10－4）米．

3．（2017·荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆AB的高度．（计算结果保留根号，参考数据：

sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

解：

延长ED交BC的延长线于点F，过点E作EG⊥AB于点G，

如解图所示．

则∠CFD＝90°.

∵i＝tan∠DCF＝＝，

∴∠DCF＝30°.

在Rt△CDF中，

∵CD＝4，

∴DF＝CD·sin30°＝×4＝2，CF＝CD·cos30°＝4×＝2，

∴BF＝BC＋CF＝2＋2＝4.

∵EG⊥AB，AB⊥BC，EF⊥BF，

∴四边形GBFE是矩形，

∴GE＝BF＝4，

GB＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5.

在Rt△AGE中，

∵∠AEG＝37°，

∴AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan37°≈3，

∴AB＝AG＋BG≈（3＋3.5）（米）．

答：

旗杆AB的高度约为（3＋3.5）米．

4．（2017·广安）如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A，D.从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB＝30米．

（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD；

（2）求乙建筑物的高CD.

解：

（1）在Rt△ABD中，α＝60°，AB＝30，

∴AD＝＝10（米）．

答：

甲、乙两建筑物之间的距离AD为10米；

（2）过点C作CE⊥AB于点E，如解图所示．

∵AB⊥AD，CD⊥DA，CE⊥AB，

∴四边形CDAE为矩形，

∴CD＝AE，CE＝AD＝10.

在Rt△BCE中，β＝30°，CE＝10，

∴BE＝CE·tan30°＝10，

∴CD＝AE＝AB－BE＝30－10＝20（米）．

答：

乙建筑物的高度CD为20米．

5．（2017·郴州）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？

（参考数据：

≈1.73）

解：

计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．理由如下：

过点P作PH⊥AC于点H，如解图所示．

由题意可知∠EAP＝60°，∠FBP＝30°，

∴∠PAB＝30°，∠PBH＝60°.

∵∠PBH＝∠PAB＋∠APB，

∴∠BAP＝∠BPA＝30°，

∴BA＝BP＝120.

在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，

∴PH＝PB·sin60°＝120×≈103.8.

∵103.8＞100，

∴这条高速公路不会穿越保护区．

6．（2017·周口模拟）如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：

sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

解：

延长PQ交直线AB于点M，如解图所示，则∠PMA＝90°.

设PM的长为x米．

在Rt△PAM中，∠PAM＝45°，

∴AM＝PM＝x，

∴BM＝x－100.

在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝，

∴tan68°＝≈2.48，

解得x≈167.57.

∴PM＝167.57.

在Rt△QAM中，∵tan∠QAM＝，

∴QM＝AM·tan∠QAM

＝167.57·tan31°

≈167.57×0.60

≈100.54，

∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0（米）．

答：

信号塔PQ的高度约为67.0米．