江苏省苏锡常镇四市届高三数学第二次模拟考试试题文档格式.docx

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（2）BD⊥平面ACE.

16.（本小题满分14分）

已知向量a＝（2cosα，2sinα），b＝（cosα－sinα，cosα＋sinα）．

（1）求向量a与b的夹角；

（2）若（λb－a）⊥a，求实数λ的值．

17.（本小题满分14分）

某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中点A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路的AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．

（1）求出n关于m的函数关系式；

（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？

并求出其最大值．

18.（本小题满分16分）

已知椭圆E：

＋＝1（a>

b>

0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知P（t，0）为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且直线l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：

为定值．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝（x＋1）lnx＋ax（a∈R）．

（1）若函数y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为x＋y＋b＝0，求实数a，b的值；

（2）设函数g（x）＝，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．

①当a＝－1时，求函数g（x）的最大值；

②若函数h（x）＝是单调减函数，求实数a的取值范围．

20.（本小题满分16分）

定义：

若有穷数列a1，a2，…，an同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．

①首项a1＝1；

②a1<

a2<

…<

an；

③对于该数列中的任意两项ai和aj（1≤i<

j≤n），其积aiaj或商仍是该数列中的项．

（1）问：

等差数列1，3，5是否为P数列？

（2）若数列a，b，c，6是P数列，求实数b的取值范围；

（3）若n>

4，且数列b1，b2，…，bn是P数列，求证：

数列b1，b2，…，bn是等比数列．

2019届高三年级第二次模拟考试（十一）

数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修4－2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知x，y∈R，α＝是矩阵A＝属于特征值－1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．

B.[选修4－4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知直线l：

ρsin＝0，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴的正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）．设直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长．

C.[选修4－5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

若不等式|x＋1|＋|x－a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．

这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P（X＝2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X＝3）”哪个大？

请说明理由；

（2）求随机变量X的数学期望E（X）．

23.（本小题满分10分）

已知f（n）＝＋＋＋…＋，g（n）＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2.

（1）求f

（2），f（3），g

（2），g（3）的值；

（2）记h（n）＝f（n）－g（n），求证：

对任意的m∈N*，m≥2，总有

.

2019届高三年级第二次模拟考试（十一）（苏锡常镇）

数学参考答案

1．{0}　2.－4　3.（1，0）　4.　5.40　6.－

7.log23　8.　9.2π　10.3　11.

12.　13.－　14.（1，＋∞）

15.

（1）在三棱锥D－ABC中，因为E为DC的中点，F为DB的中点，所以EF∥BC.（3分）

因为BC平面ABC，EF平面ABC，

所以EF∥平面ABC.（6分）

（2）因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，

所以AC⊥平面BCD.（8分）

因为BD平面BCD，所以AC⊥BD.（10分）

因为DC＝BC，E为BD的中点，

所以CE⊥BD.（12分）

因为AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACE.（14分）

16.

（1）设向量a与b的夹角为θ.

因为|a|＝2，

|b|＝＝，（4分）

所以cosθ＝

＝

＝＝.（7分）

因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角为.（9分）

（2）若（λb－a）⊥a，则（λb－a）·

a＝0，

即λb·

a－a2＝0.（12分）

因为b·

a＝2，a2＝4，所以2λ－4＝0，解得λ＝2.（14分）

17.

（1）以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，（1分）

则点A（－20，0），B（20，0），P（0，40）．（2分）

因为曲线段APB为抛物线的一段弧，

所以可以设抛物线的解析式为y＝a（x－20）·

（x＋20），

将点P（0，40）代入，得40＝－400a，

解得a＝－，（4分）

所以抛物线的解析式为y＝（400－x2）．（5分）

因为点C在抛物线上，

所以n＝（400－m2），0<

m<

20.（6分）

（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，

则S＝×

（2m＋40）×

×

（400－m2），（8分）

S＝（－m3－20m2＋400m＋8000）．（9分）

因为S′＝（－3m2－40m＋400）＝－（3m－20）（m＋20），（10分）

令S′＝0，得m＝，（11分）

当m变化时，S′，S的变化情况如下表：

（13分）

所以当m＝时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为平方米．（14分）

18.

（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得＝，

则－c＝，c2＝a2－b2，（3分）

解得a＝2，b＝1，c＝，（5分）

所以椭圆E的标准方程是＋y2＝1.（6分）

（2）由题意，设直线l1的方程为y＝k1（x－t），代入椭圆E的方程中，并化简得（1＋4k）x2－8ktx＋4kt2－4＝0.（8分）

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝，x1x2＝.

（10分）

所以PA·

PB＝（1＋k）|x1－t||x2－t|＝（1＋k）|t2－（x1＋x2）t＋x1x2|＝（1＋k）|t2－＋|＝，（12分）

同理PC·

PD＝，（14分）

所以＝为定值．（16分）

19.

（1）f′（x）＝lnx＋＋a，f′

（1）＝a＋2＝－1，a＝－3，（1分）

f

（1）＝a＝－3，将点（1，－3）代入x＋y＋b＝0，

解得b＝2.（2分）

（2）①因为g（x）＝lnx－1，

则g′（x）＝－＋＝.（3分）

令φ（x）＝x－lnx＋1，

则φ′（x）＝1－≥0，函数φ（x）在区间[1，e]上单调递增．（5分）

因为φ（x）≥φ

（1）>

0，（6分）

所以g′（x）>

0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数g（x）的最大值为g（e）＝.（8分）

②同理，单调增函数g（x）＝∈[a，a＋1＋]，（9分）

则h（x）＝·

1°

若a≥0，g（x）≥0，h（x）＝，

h′（x）＝

＝≤0，

令u（x）＝－（1＋x＋x2）lnx－ax2＋x＋1，

则u′（x）＝－（1＋2x）lnx－－（2a＋1）x<

0，

即函数u（x）区间在[1，e]上单调递减，

所以u（x）max＝u

（1）＝－a＋2≤0，

所以a≥2.（11分）

2°

若a≤－，g（x）≤0，h（x）＝－，

由1°

知，h′（x）＝，又函数h（x）在区间[1，e]上是单调减函数，

所以u（x）＝－（1＋x＋x2）lnx－ax2＋x＋1≥0对x∈[1，e]恒成立，

即ax2≤x＋1－（1＋x＋x2）lnx对x∈[1，e]恒成立，

即a≤＋－lnx对x∈[1，e]恒成立．

令φ（x）＝＋－lnx，x∈[1，e]，

φ′（x）＝－－－lnx－（＋＋1）＝－－－＋lnx，

记μ（x）＝lnx－x＋1（1≤x≤e），

又μ′（x）＝－1＝≤0，

所以函数μ（x）在区间[1，e]上单调递减，

故μ（x）max＝μ

（1）＝0，即lnx≤x－1，所以

φ′（x）＝－－－＋lnx≤－－－＋（x－1）＝－－<

即函数φ（x）在区间[1，e]上单调递减，

所以φ（x）min＝φ（e）＝＋－lne＝－1，

所以a≤φ（x）min＝－1，又a≤－，

所以a≤－.（13分）

3°

若－<

a<

因为g（x）＝＝lnx＋a，

g′（x）＝－＋＝≥＝>

所以函数g（x）＝在区间[1，e]上单调递增．

又g

（1）g（e）＝a<

则存在唯一的x0∈（1，e），使得h（x0）＝＝0，

所以函数h（x）在区间[1，e]上不单调．（15分）

综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞）．（16分）

20.

（1）因为3×

5＝15，均不在此等差数列中，

所以等差数列1，3，5不是P数列．（2分）

（2）因为数列a，b，c，6是P数列，

所以1＝a<

b<

c<

6，（3分）

由于6b或是数列中的项，而6b大于数列中的最大项6，

所以是数列中的项，同理也是数列中的项．（5分）

又因为1<

<

6，所以＝b，＝c，

所以bc＝6，又1<

c，所以1<

，（7分）

综上，实数b的取值范围是（1，）．（8分）

（3）因为数列{bn}是P数列，

所以1＝b1<

b2<

b3<

bn，

由于b2bn或是数列中的项，而b2bn大于数列中的最大项bn，

所以是数列{bn}中的项，（10分）

同理，，…，也都是数列{bn}中的项，

bn，且1，，…，，bn这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，bn中的项，所以＝b2，…，＝bn－1，

从而bn＝bibn＋1－i（i＝1，2，…，n－1）．　①（12分）

又因为bn－1b3＞bn－1b2＝bn，所以bn－1b3不是数列{bn}中的项，所以是数列{bn}中的项，

同理，…，也都是数列{bn}中的项．

因为1<

＝bn－2<

bn－1<

bn，且1，，…，，，，bn－1，bn这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，bn中的项，

所以同理bn－1＝bibn－i（i＝1，2，…，n－2），　②（14分）

在①中将i换成i＋1后与②相除，

得＝，i＝1，2，…，n－2，

所以b1，b2，…，bn是等比数列．（16分）

21.A.因为α＝是矩阵A＝属于特征值－1的一个特征向量，

所以＝－，所以

解得x＝－3，y＝－1，（4分）

所以A＝，（6分）

特征多项式为f（λ）＝＝0，

即（λ＋3）（λ＋1）＝0，解得λ＝－3或λ＝－1，（8分）

所以矩阵A另一个特征值为λ＝－3.（10分）

B.以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，

直线ρsin＝0的直角坐标方程为y＝x，（2分）

曲线的普通方程为y2－x2＝1，（4分）

则直线与曲线的交点为A和B，（7分）

所以AB＝＝2.（10分）

C.因为|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－x＋a|＝

|1＋a|，（4分）

所以要使不等式|x＋1|＋|x－a|≥5对任意的x∈R恒成立，当且仅当|1＋a|≥5，（7分）

所以a≥4或a≤－6.

故实数a的取值范围为（－∞，－6]∪[4，＋∞）．（10分）

22.由于批量较大，可以认为随机变量X～B（10，0.05），（2分）

（1）恰好有2件不合格的概率为P（X＝2）＝C×

0.052×

0.958，

恰好有3件不合格的概率为P（X＝3）＝C×

0.053×

0.957.（4分）

因为＝＝>

1，

所以P（X＝2）>

P（X＝3），即恰好有2件不合格的概率大．（6分）

（2）因为P（X＝k）＝pk＝Cpk（1－p）10－k，k＝0，1，2，…，10.

随机变量X的概率分布为：

X

1

2

…

10

pk

Cp0（1－p）10

Cp1（1－p）9

Cp2（1－p）8

Cp10（1－p）0

　故E（X）＝

＝0.5.（9分）

故随机变量X的数学期望E（X）为0.5.（10分）

23.

（1）f

（2）＝＝，f（3）＝＋＝，

g

（2）＝＝，g（3）＝＋＝.（3分）

（2）因为

＝＝，（4分）

所以h（n）＝f（n）－g（n）＝

＝.（5分）

下面用数学归纳法证：

对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）>

当m＝2时，h（4）＝＋＋＝>

，命题成立；

当m＝3时，h（8）＝＋＋＋＋>

＋＝＋>

1，命题成立．（6分）

假设当m＝t（t≥3）时，命题成立，即h（2t）>

成立．

则当m＝t＋1时，h（2t＋1）＝h（2t）＋＋＋…＋>

＋＋＋＋…＋.（7分）

因为t≥3，＋－＝>

所以＋>

.（8分）

又＋＋…＋>

＋＋…＋＝，（9分）

所以h（2t＋1）>

＋＋＝，

所以命题成立．（10分）