代数应用型问题一方程类文档格式.docx

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＋9

（3）找等量关系，列方程．第一次的售货款＝第二次的进货款．

即 

分析二：

（1）简述事件：

先买灯，再卖灯，结果用卖灯盈利的钱多买了9盏灯．

（2）设每盏灯的进价为x元．第一次卖了盏，每盏盈利4元，共盈利元，但要注意损耗了5盏，还要除去5x元，实际只盈利了

x元

（元）．可用图示法分析数量之间关系，如图1－1：

图1－1

（3）分析等量关系：

卖灯实际盈利的钱＝多卖9盏灯的钱．

．

解：

设每盏灯的进价为x元．根据题意，得

．解之，得x1＝10,x2＝．

经检验，这两个根都是原方程的根，但进价不能为负数，所以x＝10．

答：

每盏灯的进价为10元．

说明：

从上述两种分析方法中可以看出，读懂题意、简述事件是很重要的．以不同的角度观察同一事件，就产生不同的分析方法，列出的方程在形式上也就不同，但结果是一样的，这里显然第二种方法较简单．因此同学们在解应用题时不要满足于自己做出来了，要反思，探讨有无其它解决问题的思路，并要注意与同伴多交流，培养自己多角度解决问题的能力．

例2．某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a米／小时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米／小时匀速上升，当水库水位超警戒线h米时开始泄洪．

（1）如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；

（2）经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；

如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3小时内使水位降至警戒线． 

（2003年江苏省连云港市中考题） 

分析：

事件简述：

当洪水注入时水位上升，打开一个（或若干个）泄洪闸时水位下降，这时相对于警戒线的水位是多少． 

（1）洪水注入时每小时水位上升b米，打开n个泄洪闸水位每小时下降na米，这时水位实际上升（b－na）米，x小时就上升（b－na）x米，又因为原来水位超警戒线h米，因此这时水位为（b－na）x+h．也可以认为：

当洪水注入时，打开n个泄洪闸x小时水位下降（na－b）x米，又因为原来水位为h米，所以这时水位为h－（na－b）x． 

（2）根据第

（2）题所给的条件可得到两个方程组成的方程组，但方程组中含有3个未知数a、b、h，这时方程的个数少于未知数的个数，因此不可能求出所有未知数的解，只能以其中的一个未知数去表示其它两个未知数，或求出三个未知数的比．

解法1：

（1）此时相对于警戒线的水面高度的代数式为：

（b－na）x+h．

（2）根据题意，得解之，得a=2b，h=30b．

设想6个水闸全部打开，则3小时后相对于警戒线的水面高度为

（b－na）x+h=（b－12b）×

3＋30b=－3b．

因为b＞0，所以－3b＜0，即表示水面高度低于警戒线．所以水库能在3小时内使水位降至警戒线．

解法2：

h－（na－b）x．

n（1≤n≤6，n为整数）个水闸同时打开，3小时后水位不高于警戒线．即

h－（na－b）x=30b－（2nb－b）×

3=33b－6nb＝b（33－6n）≤0．

因为b＞0，所以33－6n≤0，得≤n≤6，且n为整数，所以n＝6．

所以，当6个泄洪闸同时打开时，水库能在3小时内使水位降至警戒线．

例3．2001年亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行。

比赛程序是：

运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车行40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点。

下表是2001年亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（表内的成绩、所用时间的单位均为秒）。

运动员号码

游泳成绩

第一换项点所用时间

自行车成绩

第二换项点所用时间

长跑成绩

191

1997

75

4927

40

3220

194

1503

110

5686

57

3652

195

1354

74

5351

44

3195

（1）填空：

第191号运动员骑自行车的平均速度是 

米／秒（精确到0.01）；

第194号运动员骑自行车的平均速度是 

第195号运动员骑自行车的平均速度是 

米／秒（精确到0.01）．

（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上194号或195号吗？

如果会，那么追上时离开第一换项点走了多少米（精确到0.01）？

如果不会，为什么？

（3）如果长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员中有可能某人追上某人吗？

为什么？

（2002年江苏省徐州市中考题）

（1）事件简述：

三人同时下水游泳，然后以不同时间从第一换项点出发骑自行

车，再以不同时间从第二换项点出发长跑，最后到达终点．

（2）第

（1）小题是为下面解题作铺垫的，可利用科学计算器计算．第

（2）、（3）小题是开放型的提问，看起来复杂，实质上都是常规的追及问题．首先要明确在一段匀速运动中甲追上乙的三个因素：

①乙先走，甲后走；

②甲的速度比乙快；

③在规定的距离内追上．再结合本题找到这三个因素，主要是要分清每人在各段赛程前及赛程中所用的时间． 

（1）V191＝8.12；

V194＝7.03；

V195＝7.48．

（2）从第一换项点出发前191号已用了2072秒，194号已用了1613秒，195号已用了1428秒．因此从第一换项点出发时，194号比191号早459秒，195号比191号早644秒．

①解法1：

设191号追上194号时离开第一换项点走了x米，则解之，得x≈24037.96＜40000．所以191号能骑车途中追上194号，这时离开第一换项点走了24037.96米．

设191号出发x秒后追上194号，则 

8.12x=（x+459）×

7.03，解之得，x≈2960.34．

8.12×

2960.34≈24037.96＜40000．所以191号能在骑车途中追上194号，这时离开第一换项点走了24037.96米．

②解法1：

设191号追上195号时离开第一换项点走了y米，则．解之，得y≈75254.12＞40000．所以191号追上195号时已超过骑自行车所走的路程40千米，故在骑自行车的途中191号不能追上195号．

到达第二换项点时，195号共用了6779秒，191号共用了6999秒，显然是195号先到达第二换项点，所以在骑自行车途中191号不会追上195号，否则应是191号先到达第二换项点．

（3）从第二换项点出发时，191号已用了7039秒，194号已用了7356秒，195号已用了6823秒．

可见从第二换项点开始，195号比191号早出发，且长跑所用时间比191号少、速度比191号快，所以195号在长跑时始终在191号前面；

191号比194号早出发，且长跑所用时间比194号少、速度比194号快，所以191号在长跑时始终在194号前面．因此在长跑时，始终是195号在最前，191号在第二，194号在最后，谁也追不上谁。

从发展的观点来看，应用题越来越强调取材于现实生活，数据要求真实可靠，这样就会使问题的背景与数据复杂化，分析问题的思路多元化，解题的方法多样化．但根据修订版大纲和课程标准的要求，有关方程应用题的建模还是简单的，只有一元一次方程（组）、一元二次方程、简单的二元二次方程组和分式方程．因此分析问题时，要化归到课本上的简单的应用题类型来研究，即把复杂问题简单化．对于较复杂的数据，可以使用科学计算器进行计算，把复杂计算机械化．

例4．先阅读下面两个图表（图1－2、图1－3），再解答提出的问题．

图1－2 

图1－3

（1）请计算出近三年来徐州市人均国内生产总值（精确到1元），填入下表：

年 

份

2000年

2001年

2002年

人均国内生产总值（元）

（2）从2000年到2002年，人均国内生产总值平均每年增长的百分率是多少（精确到0.1%）？

（1）通过图表获取数据，是小学里学过的知识，也是近年来中考应用题中常用

的形式．

（2）对于较大（或较小）的数的计算，可以利用科学记数法．例如，1亿可化为108，

1万可化为104．第

（1）小题的第一空，可以这样计算：

．

（3）在规定了精确度的情况下使用科学计算器计算时，也可以不考虑中间计算过程

中的精确度，但最后结果要按规定的精确度给出．

解：

（1）7190，7936，8789． 

（2）设人均国内生产总值平均每年增长的百分率为x．

根据题意，得7190（1＋x）2＝8789．

解之，得x1≈0.106， 

x2≈－2.106（负值不合题意，舍去）．

答：

从2000年到2002年，徐州市人均国内生产总值平均每年增长约为10.6％．

说明：

在第

（1）小题的计算中，有的同学将人均国内生产总值计算为不到1元，有

的计算为几十万、几百万元．除了计算错误外，也说明同学平时对家乡的建设成就、身边

大事不够关心．要做好应用题，除了要有扎实的数学基本功外，平时还要多看报、看

书、看新闻联播，关心社会的发展和科学的发展，积极参加社会实践活动．

第

（2）小题有些同学先分别算出2001年到2000年的增长率和2002年到2001年的

增长率，再将二个增长率的和除以2，作为2000年到2002年的平均增长率．这样的做法

对吗？

请看下面的分析：

假设某工厂第1年的产量为a，第1年到第2年的增长率为m，第2年到第3年的增

长率为n．则第2年的产量为a（1＋m）；

第3年的产量为a（1＋m）（1＋n）．

有同学认为第1年到第3年的平均增长率为,则第2年的产量为；

第3年的产量为．那么，等式＝a（1＋m）（1＋n）成立吗？

两边同除以a，则左边＝，右边＝1＋mn＋m＋n．

左边－右边＝ 

－mn＝＝．

所以，当m＝n时，左边－右边＝0，等式成立；

当m≠n时，左边－右边＞0，等式不

成立．

因此，在一般情况下由于m≠n，把当作第1年到第3年的平均增长率是错误

的．但在本题中由于m与n相差不大，用错误的解法计算出的结果与正确答案相差无几，

但其解法仍是错误的，同学们应弄清其中的道理．

例5．某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案．方案规定：

每位销售人员的工资总额＝基本工资＋奖励工资．每位销售人员的月销售定额为10000元，

在销售定额内，得基本工资200元；

超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖

励工资．奖励工资发放比例如表1所示．

（1）已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问他本月的销售额为多少元？

（2）依法纳税是每个公民应尽的义务．根据我国税法规定，全月工资总额不超过800

元不缴个人所得税；

超过800元的部分为“全月应缴税所得额”．表2是缴纳个人所得税税率表．若销售员乙本月共销售A、B两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A型彩电的销售价为每台1000元，B型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A型彩电多少台?

（2003年江苏省无锡市中考题）

销 

售 

额

奖励工资比例

全月应纳税所得额

税 

率

超过10000元但不超过15000元的部分

5％

不超过500元部分

超过15000元但不超过20000元的部分

8％

超过500元至2000元部分

10％

20000元以上的部分

……

（表1） 

（表2）

本题来自生活实际，限制的因素较多，其中含有几个分段计算的问题：

工资分

段计算，个人所得税分段计算；

涉及的因素也较多，有甲、乙二人，有A型、B型两种彩

电．因此在解题时要分段讨论，分别计算．

受题型训练的影响，有些同学看到这类题就联想到分段函数，把问题复杂化了，应该

具体问题具体分析，本题实质上就是方程问题．

要正确理解表内的语言．例如某销售员月销售总额为26000元，那么根据表1中的规

定，他的“超过10000元但不超过15000元的部分”是5000元，他的“超过15000元但

不超过20000元的部分”是5000元，他的“超过20000元以上的部分”是4500元，因此，

他的该月工资为200＋5000×

5％＋5000×

8％＋6000×

10％＝1450（元）．再根据表2的规

定，他应缴个人所得税费为500×

5％＋（1450－800－500）×

10％＝40（元）．

解第

（1）小题时，要注意800元中除了基本工资200元外，还含有哪几个区段的奖

励工资．

解第

（2）小题时，要运用分析综合法．根据表1的规定，可由乙实得的工资推算出

乙本月的工资；

再根据表2的规定，可由乙的工资推算出乙在本月的销售额；

再根据条件，

由乙的销售额列方程求出两种型号彩电的台数．

（1）当销售额为15000元时，工资总额＝200＋5000×

5％＝450元，

当销售额为20000元时，工资总额＝200＋5000×

8％＝850元，

而450＜800＜850，所以如果设甲该月的销售额为x元，则得

200＋5000×

5％＋（x－10000－0）×

8％＝800．解之，得x＝19375．

销售员甲该月的销售额为19375元．

（2）①求乙该月的工资．

设乙月工资为（800＋a）元（0＜a≤500），他应缴个人所得税a×

5％（元），实际领

得的工资为（800＋a）－a×

5％．由乙实际领得的月工资为1275元，得

800＋（a－a×

5％）＝1275．解之，得a＝500≤500．800＋500＝1300．

所以，乙该月的工资为1300元．

②求乙该月的销售额．

由

（1）的计算中可知，当销售额为20000元时，工资总额为850元．因为1300＞850，所以乙该月的销售额超过20000元．乙该月的销售额＝20000＋（1300－850）÷

10％＝24500（元）．

③求乙销售A型彩电的台数．

设乙销售A型彩电x台，则销售B型彩电（21－x）台．

由题意，得1000x＋1500（21－x）＝24500．解之，得x＝14．

销售员乙本月销售A型彩电14台．

精典专题1 

代数应用型问题2

（2009-11-1620:

28:

40）

转载▼

标签：

水土流失面积

进价

哺乳类动物

峰谷

江苏省

杂谈

例6．随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人民的居住环境已成为城市建设的

一项重要内容．某城市计划到2003年要将该城市的绿地面积在2001年的基础上增加44％，同时要求该城市到2003年人均绿地的占有量在2001年的基础上增加21％，为保证实现这个目标，这两年该城市人口的增长率应控制在多少以内（精确到1％）？

（2001年江苏省连云港市中考题）

设2001年该城市总人口为m，绿地总面积为n．这两年该城市人口的年平均增

长率至多为x．由题意，得

，即．解之，得．

这两年该城市人口的年平均增长率应控制在9％以内．

设辅助求知数可以使复杂问题简单化，便于分析量与量之间的关系，较快的找到等量关系，列出方程．该题在解答过程中，虽然在一个方程中出现了3个用字母表示的求知数，但其中两个求知数是可以通过约分而化为1，实际上仍是解一个一元二次方程．

例7．某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ 

）．

（A）既不获利也不亏本 

（B）可获利1％

（C）要亏本2％ 

（D）要亏本1％

（2001年江苏省无锡市中考题）

设一台的进价为m元，另一台的进价为n元．由题意，得

m（1+10%）=n（1－10％）……①，解之，得．

……②，

将代入②式，得．

1－0．99＝0．01＝1％．

所以两台空调调价售出后比进价要亏本1％，故选（D）． 

本题与例7一样，也要设辅助求知数，从等式①中得到用n表示m的代数式，

再代入②，就可以约去辅助求知数．

有关利润问题要明确几个关系式：

利润＝售价－进价；

利润率＝；

售价＝进价×

（1＋利润率）；

若＞1，则盈利；

若＜1，则亏本；

若＝1，则不盈也不亏．

例8．某商人现在的进货价比原来的进货价便宜8％，而售价保持不变，那么他的利

润（按进货价而定）可由原来的x%增加到现在的（x＋10）％，则x％是（ 

）

（A）12％ 

（B）15％ 

（C）30％ 

（D）50％

（2000年湖北省荆州市中考题改编）

设商品原来的进价为a元，则现在的进价为（1－8％）a元，再设售价为b元．则

由

（1）得，b＝（1＋x%）a,代入

（2），得

（1＋x%）a－（1－8％）a＝（x＋10）％×

（1－8％）a．解之，得x＝15．

所以选（B）．

[习题一]

1．填空题

（1）为了绿化北京，北京市现在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法

减少工业及民用燃料所造成的污染．随着每年10亿立方米的天然气输送到北京，北京每年将少烧300万吨煤，这样，到2006年底，北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平．某单位1个月用煤30吨，若改用天然气，一年大约要用 

立方米的天然气． 

（2002年江苏省泰州市中考题）

（2）某银行设立大学生助学贷款，6年期的贷款年利率为6％，贷款利息的50％由国

家财政贴补．某大学生预计6年后能一次性偿还2万元，则他现在可以贷款的数额是

万元（精确到0.1万元）． 

（2002年江苏省泰州市中考题） 

（3）某市开展“保护母亲河”植树造林活动.该市金桥村有1000亩荒山绿化率达80％,

300亩良田视为已绿化,河坡地植树绿化率已达20%,目前金桥村所有土地的绿化率为60%,则河坡地有 

亩． 

（2003年江苏省泰州市中考题）

2．选择题

（1）花果山景区某一景点改造工程要限期完成．甲工程队独做可提前1天完成，乙工

程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成．若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是（ 

（A） 

（B）

（C） 

（D）

（2002年江苏省连云港市中考题）

（2）已知水的密度为1，冰的密度为0.9．现将1个单