届苏教版 正弦定理和余弦定理 单元测试.docx

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届苏教版正弦定理和余弦定理单元测试

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考点17正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2016·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC中，AB=2，AC=3，·=1，则

BC=（）

（A）（B）（C）（D）

【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程解出BC的值.

2.（2016·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则BC边上的高等于（）

（A）（B）（C）（D）

【解析】选B.

设，BC边上的高为h.由余弦定理得，

即，即

又h=c·sin60°=3×故选B.

3.（2016·广东高考文科·Ｔ6）在△ABC中，若=60°,∠B=45°，BC=3，则AC=（）

（A）4（B）2（C）（D）

【解题指南】已知两角一边解三角形，显然适合采用正弦定理，但在由正弦值求角时，要注意解的个数的判断.

【解析】选B.

在△ABC中,由正弦定理知

4.（2016·湖北高考文科·Ｔ8）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶

sinB∶sinC为（）

（A）4∶3∶2（B）5∶6∶7（C）5∶4∶3（D）6∶5∶4

【解题指南】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,解答本题的关键是把边a,c均用b表示出来,再利用余弦定理把已知化简求值.

【解析】选D.由题意知：

a=b+1,c=b-1,3b=20a=20（b+1）=20（b+1）·,整理得：

，解之得b=5或b=,可知：

a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.

二、填空题

5.（2016·湖北高考理科·Ｔ11）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角C=______________.

【解题指南】本题考查余弦定理,把已知条件展开整理可得结果.

【解析】由（a+b-c）（a+b+c）=ab,可知.又,所以C=°.

【答案】°

6.（2016·福建高考文科·Ｔ13）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=_______．

【解题指南】本题知两角一对边，选用正弦定理求另一对边．

【解析】由正弦定理，得，即

【答案】

7.（2016·安徽高考理科·Ｔ15）设△ABC的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.

若，则；若，则；

若，则；若，则；

若，则.

【解析】；

；

当时，与矛盾；

取满足，却只能；

取满足，且cosC=.

【答案】

8.（2016·陕西高考文科·Ｔ13）在△ABC中，角A,B,C所对边的长分别为，b，c.若，B=，c=2，则b=.

【解题指南】已知两边及其夹角，用余弦定理可求第三边.

【解析】由余弦定理得：

，∴.

【答案】2

9.（2016·北京高考理科·Ｔ11）在△ABC中，若a=2，b+c=7,，

则b=.

【解题指南】对角B利用余弦定理列式求解.

【解析】.

由余弦定理得，即，解得.

【答案】4

10.（2016·北京高考文科·Ｔ11）在△ABC中，若a=3，b=，则的大小为_________.

【解题指南】利用正弦定理求出∠B，再利用内角和定理求出∠C.

【解析】在△ABC中，由正弦定理得，.

【答案】

三、解答题

11.（2016·江苏高考·Ｔ15）在△ABC中，已知．

（1）求证：

．

（2）若求A的值．

【解题指南】

（1）注意数量积公式的应用和正弦定理的利用（边角转化）．

（2）先利用求出，再利用两角和的正切公式构造与有关的方程.

【解析】

（1）由得，

即为，

，由正弦定理得，

两边同除得.

（2）因所以C为锐角，所以，

由

（1），且，

得，

即，

即，

所以或.

因，由内角和为知两角均为锐角，故应舍去.

所以，所以A.

12.（2016·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA=，sinB=C.

（1）求tanC的值.

（2）若a=，求△ABC的面积.

【解题指南】解三角形问题，主要考查正、余弦定理，三角恒等变换的方法，注意边角之间的互化.

【解析】

（1）由cosA=，可得sinA=，

由sinB=C，可得sin（A+C）=C，

即，

等号两边同除以,可得

，即.

（2）由,可得,

∴，解得,

而sinB=

∴S△ABC

13.（2016·浙江高考文科·Ｔ18）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB.

（1）求角B的大小.

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.

【解题指南】考查三角形中的正、余弦定理的应用，注意其中的边角间的互化.

【解析】

（1）由bsinA=acosB可得sinBsinA=sinAcosB，

又sinA，可得，所以.

（2）由sinC=2sinA可得，

在△ABC中，c2c，解得，

所以.

14.（2016·安徽高考文科·Ｔ16）

设△的内角所对边的长分别为且有

.

（1）求角A的大小.

（2）若，，为的中点，求的长.

【解题指南】

（1）将代入化简得到，从而求出.

（2）根据余弦定理即可求出.

【解析】

（1）∵,∴，

∴，

（2）由余弦定理得

在Rt△ABD中，.

15.（2016·辽宁高考理科·T17）与（2016·辽宁高考文科·T17）相同

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列.

（1）求的值.

（2）边a，b，c成等比数列，求的值.

【解题指南】

（1）结合等差数列定义和三角形内角和定理，求得角B.

（2）利用等比数列的定义，结合正弦定理，将边的关系转化为角的关系，借助

（1）的结论，解决问题.

【解析】

（1）由已知三角形的内角和定理，解得，

所以.

（2）由已知，据正弦定理，设，

则，代入得，

即.

16.（2016·天津高考文科·Ｔ16）在中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cosA=.

（1）求sinC和b的值.

（2）求cos（2A+）的值.

【解题指南】

（1）根据正、余弦定理求解.

（2）利用三角函数的两角和、倍角公式化简计算.

【解析】

（1）在中，由

又由.

，故解得，所以.

17.（2016·江西高考理科·Ｔ17）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知，

（1）求证：

.

（2）若，求△ABC的面积.

【解题指南】

（1）选择将已知条件边化角，得出.

（2）由

（1）中结论及，求出其他的边和角，然后选择合适的面积公式，求出△ABC的面积.

【解析】

（1）由，应用正弦定理，得

，

，

整理得，

即，

由于，从而.

（2），因此，

由得

所以△ABC的面积

18.（2016·江西高考文科·Ｔ16）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC.

（1）求cosA.

（2）若a=3，△ABC的面积为，求b，c.

【解题指南】

（1）将已知条件3cos（B-C）-1=6cosBcosC化简，先求得，再求得.

（2）结合余弦定理，选择合适的△ABC的面积公式，建立关于b，c的方程组，解得的值.

【解析】

（1）

则.

（2）由

（1）得,由面积可得bc=6①，则根据余弦定理

则=13②，①②两式联立可得b=2，c=3或b=3，c=2.

19.（2016·新课标全国高考理科·T17）已知分别为△ABC三个内角的对边，.

（1）求.

（2）若，△ABC的面积为，求.

【解题指南】

（1）选择将已知条件边化角，求出角A.

（2）结合角A的值，选择合适的△ABC的面积公式，建立关于的方程组，解得的值.

【解析】

（1）由正弦定理得：

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