届苏教版 平行与垂直单元检测.docx

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届苏教版平行与垂直单元检测

1.若α，β是两个相交平面，直线mα，则在平面β内，　　　　与直线m垂直的直线.（填写“存在”或“不存在”）

【答案】存在

【解析】若m与两个平面的交线平行或m为交线，显然存在；若m与交线相交，设交点为A，在直线m上任取一点B（异于点A），过点B向平面β引垂线，垂足为C，则直线BC⊥平面β，在平面β内作直线l垂直于AC，可以证明l⊥平面ABC，则l⊥m.

2.（2016·全国卷Ⅱ）已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，mα，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题是　　　　.（填序号）

【答案】②③④

【解析】对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故①错误；对于②，因为n∥α，所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.

3.（2016·南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.

（1）求证：

PB∥平面MNC；

（2）若AC=BC，求证：

PA⊥平面MNC.

（第3题）

【解答】

（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.

因为MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB∥平面MNC.

（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.

因为AC=BC，AM=BM，所以CM⊥AB.

因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM平面ABC，所以CM⊥平面PAB.

因为PA平面PAB，所以CM⊥PA.

因为PA⊥MN，MN平面MNC，CM平面MNC，MN∩CM=M，

所以PA⊥平面MNC.

4.（2016·镇江期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点.

（1）求证：

AM∥平面PBC；

（2）求证：

CD⊥AP.

（第4题）

【解答】

（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点，

所以AB∥CM，且AB=CM，

所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形.

所以AM∥BC.

又因为BC平面PBC，AM平面PBC，所以AM∥平面PBC.

（2）连接PM，因为PD=PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM.

又因为四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM.

因为CD⊥AM，CD⊥PM，PM平面PAM，AM平面PAM，PM∩MA=M，所以CD⊥平面PAM.

因为AP平面PAM，所以CD⊥AP.

5.（2017·南京期初）如图

（1），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点.

（1）求证：

MN∥平面BB1C1C；

（2）若D在边BC上，且AD⊥DC1，求证：

MN⊥AD.

（第5题

（1））

【解答】

（1）如图

（2），连接A1C.

（第5题

（2））

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形.

又因为N为线段AC1的中点，

所以A1C与AC1相交于点N，

即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点.

因为M为线段A1B的中点，

所以MN∥BC.

又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C.

（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC.

因为AD平面ABC，所以CC1⊥AD.

因为AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，

所以AD⊥平面BB1C1C.

又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC.

又由

（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD.

一、填空题

1.（2016·盐城中学）下列对直线与平面平行的判定与性质的理解正确的是　　　　.（填序号）

①若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.

②若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的无数条直线.

③若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.

④若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.

2.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是　　　　.（填序号）

①m∥β且l1∥α；　②m∥l1且n∥l2；

③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.

3.（2016·启东中学）若PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是　　　　.（填序号）

①平面PAB⊥平面PBC；

②平面PAB⊥平面PAD；

③平面PAB⊥平面PCD；

④平面PAB⊥平面PAC.

4.（2016·海安中学）若P为△ABC所在平面外一点，AC=a，△PAB，△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为　　　　.

5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于　　　　.

　（第5题）

6.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是　　　　.（填序号）

①PB⊥AD；

②平面PAB⊥平面PBC；

③直线BC∥平面PAE；

④直线PD与平面ABC所成的角为45°.

　（第6题）

二、解答题

7.（2016·淮安5月信息卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D为AB的中点.

（1）若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：

点E为AC的中点；

（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：

AB⊥PC.

（第7题）

8.（2016·泰州期末）如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB的中点.

（1）求证：

直线DF∥平面PAC；

（2）求证：

PF⊥AD.

（第8题）

9.（2016·南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.

（1）求证：

PC∥平面BMN；

（2）求证：

平面BMN⊥平面PAC.

（第9题）

10.（2016·苏锡常镇调研

（二））如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AA1=AB，D是AB的中点.

（1）求证：

BC1∥平面A1CD；

（2）若点P在线段BB1上，且BP=BB1，求证：

AP⊥平面A1CD.

（第10题）

一、填空题

1.②　【解析】①中没有说明直线在平面外，故错误；②正确；③中的直线必须在平面外才成立；④中过点P且平行于a的直线有且只有一条.

2.②　【解析】因为m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，所以α∥β；而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面.

3.①②　【解析】因为BC⊥平面PAB，所以平面PBC⊥平面PAB，所以①正确，同理AD⊥平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB，所以②正确.

4.垂直　【解析】如图所示，因为PA=PB=PC=AB=BC=a，取AC的中点D，连接PD，BD，则PD⊥AC，BD⊥AC.又AC=a，所以PD=BD=a.

在△PBD中，PB2=BD2+PD2，所以∠PDB=90°，所以PD⊥BD，所以PD⊥平面ABC.又PD平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABC.

（第4题）

5.　【解析】由EF∥平面AB1C可得EF∥AC，点E为AD的中点，则F为DC的中点，所以EF=AC.而在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，所以EF=AC=×2=.

6.④　【解析】因为AD与AB不垂直，所以①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；因为BC∥AD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，④正确.

二、解答题

7.

（1）平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC=DE，

而BC∥平面PDE，BC平面ABC，所以BC∥DE.

在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点.

（第7题）

（2）因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD.

因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，

如图，在锐角三角形PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，则PO⊥平面ABC.

因为AB平面ABC，所以PO⊥AB.

又PO∩PD=P，PO，PD平面PCD，则AB⊥平面PCD.

又PC平面PCD，所以AB⊥PC.

8.

（1）因为点D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC.

又因为DF平面PAC，AC平面PAC，

所以直线DF∥平面PAC.

（2）因为∠PAC=∠BAC=90°，

所以AC⊥AB，AC⊥AP.

又因为AB∩AP=A，AB，AP平面PAB，

所以AC⊥平面PAB.

因为PF平面PAB，所以AC⊥PF.

因为PA=PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB.

又AC∩AB=A，AC，AB平面ABC，

所以PF⊥平面ABC.

因为AD平面ABC，所以AD⊥PF.

9.

（1）如图，连接AN，设AC与BN交于点O，连接MO.

（第9题）

因为AB=CD，AB∥CD，N为CD的中点，

所以AB=CN，AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形，

所以O为AC的中点.又M为PA的中点，所以MO∥PC.

又因为MO平面BMN，PC平面BMN，

所以PC∥平面BMN.

（2）方法一：

因为PC⊥平面PAD，AD平面PAD，

所以PC⊥AD.

由

（1）同理可得，四边形ABND为平行四边形，

所以AD∥BN，所以BN⊥PC.

因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，

所以BN⊥AC.

因为PC∩AC=C，AC平面PAC，PC平面PAC，

所以BN⊥平面PAC.

因为BN平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.

方法二：

如图，连接PN.因为PC⊥平面PAD，PA平面PAD，所以PC⊥PA.

因为PC∥MO，所以PA⊥MO.

因为PC⊥平面PAD，PD平面PAD，

所以PC⊥PD.

因为N为CD的中点，

所以PN=CD，由

（1）得AN=BC=CD，

所以AN=PN.

因为M为PA的中点，所以PA⊥MN.

因为MN∩MO=M，MN平面BMN，MO平面BMN，

所以PA⊥平面BMN.

因为PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.

10.

（1）如图，连接AC1交A1C于点O，连接OD.

（第10题）

因为四边形AA1C1C是矩形，所以O是AC1的中点.

在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，所以OD∥BC1.

又因为OD平面A1CD，BC1平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

（2）因为CA=CB，D是AB的中点，所以CD⊥AB.

因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，底面ABC∩侧面AA1B1B=AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面AA1B1B.

因为AP平面A1B1BA，所以CD⊥AP.

因为BB1=AA1=AB，BP=BB1，

所以==，所以Rt△ABP∽Rt△A1AD，

从而∠