1083几何基础精编版.docx

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1083几何基础精编版

一、选择题（每小题4分，本题共20分）

1．两个向量平行的充要条件是二者的对应分量（）．C．成比例

2．点列之间的射影对应是由（）．B．三对对应点唯一确定

3．若无穷远直线关于二次曲线I1的极点为无穷远点，则1-与无穷远直线（）．D．相切

4．极线上的点与极点（）．A.共轭

5．下面（）具有仿射不变性．B．平行

1．如果两个向量的对应分量成比例，则二者（）．A．平行

2．若二次曲线的极点为无穷远点，则在此处与无穷远直线（）．A．相切

3．点列之间的射影对应是由（）对对应点唯一确定．D．3

4．若（AB，CD）=r，则（DB，AC）=（）．C．

5．无穷远直线的齐次线坐标为（）．B．[0，0，1]

1.y轴的齐次线坐标为（）．C．[0，1，O]

2．若点P在二次曲线上，那么它的极线一定是的（）．B．切线

3．（）对对应点唯一确定两个点列间射影．3

4．仿射变换把三角形的中位线变成（）．A．中位线

5．若（AB，CD）=-1，则A，B，C，D四点（）．D．调和共轭

1．向量：

，则（）．A.；对应分量成比例

2．当（D）时，向量={2，0，x），={2，-8，-1）垂直．D．x=4

3．已知（C）对对应点可以确定一个仿射变换．C．3

4．（A）在射影对应下不变．A．交比

5．（B）对对应点唯一确定点列之间的射影对应．B．3

1．设＝{1，2，-1}，＝{-1，0，1}，则×＝（C）．C．{2，0，2}

2．（A）在射影变换下保持不变．A．同素性

3．不重合的（B）对对应元素确定唯一一个对合对应．B．2

4．两个一维基本形成射影对应，则对应四元素的交比（A）．A．相等

5．二阶曲线x2－2xy＋y2－y＋2=0是（D）．D．抛物线

1．设，，则与的夹角为（A）．A．

2．A、B、C、D为直线上的互异的四点，C、D在A、B之内，则四点交比（BA，DC）（B）．B．大于零

3．不重合的（D）对对应元素确定唯一一个对合对应．D．2

4．若点P在二次曲线上，那么它的极线一定是的（B）．B．切线

5．若（AB，CD）=-1，则A，B，C，D四点（A）．A.调和共轭

二、填空题（每小题4分，本题共20分）

6．等边三角形在仿射变换下变成.6．任意三角形

7．射影对应把矩形对角线变成7．任意四边形的对角线

8.对对应点唯一确定两个点列间射影对应．8．三

9.对不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体构成一条二次曲线．9．两

10.几何公理体系的三个基本问题包括10．相容性（即无矛盾性）；独立性（即最少个数问题）；完备性

6．设-{1，-2，x}，={-2，4，2}，若∥，则x＝______________．6．-1

7．在仿射变换下，圆变成________________．7．椭圆

8．设（AB，DC）=2，则（AB，CD）＝________________.8．

9．两个_______________对应直线交点的全体是二阶曲线．9．射影线束

I0．由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过_________.10．中心

6．仿射变换把梯形变成.6.梯形

7．向量的充分必要条件是.7.二者内积为0（或以）

8.个不共心的射影对应的线束对应直线的交点全体构成一条二次曲线．8.两个

9．射影对应把矩形变成.9.任意四边形

10.（BA,DC）=r，则（AB,CD）=.10.r

6．菱形在仿射变换下变成____平行四边形

7．射影对应把正方形对角线变成任意四边形的对角线

8．不重合的____对对应元素确定唯一一个对合对应．两对

9．设=（1，0，-1}，={1，-1，o}，则口与苔的夹角为____

10．由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过_____．中心

6．仿射变换把等腰三角形底边上的高线变成_______________________________三角形底边上的中线

7．已知共线四点A、B、C、D的交比（CA，DB）=2，则（CD，AB）=________________.-1

8．极线上的点与极点___________________.共轭

9．射影对应把等腰三角形底边上的高变成______________________________________．过顶点相交于对边的任意一条直线

10．几何公理体系的三个基本问题包括___________、___________、___________相容性、独立性、完备性

6．仿射变换把三角形的中线变成三角形的中线

7．已知共线四点A、B、C、D的交比（CD，AB）=2，则（CA，BD）=-1

8．射影对应把三角形中线变成过顶点相交于对边的任意一条直线

9．不重合的对应元素，确定唯一一个对合对应．两对

10.公理法的结构包括原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明．

三、计算题（每小题10分，共30分）

11．求使直线x+y-1=0的每个点不变，且把点（1，2）变成点（-1，3）的仿射变换．

解设所求的仿射变换为

12.若直线l1，l2，l3，l4的方程为x-y-l=0，2x+y-3=0，3x-y=0，6x-1=0，求（l1，l2，l3，l4）．

13.求点（1，-1，1）关于二阶曲线的极线

11．求使直线的每个点不变，且把点（1，1）变成点（-1，1）的仿射变换．

解设所求的仿射变换为

（3分）

在直线x-2y-1=0上任取两点（1，0），（-1，-1），则所求的仿射变换把三点（1，1），（1，O），（-1，-1），分别变成点（一1，1），（1，0），（-1，-1），将这三对点代人仿射变换式得

解得（8分）

因此，所求的仿射变换式为

（10分）

12．若直线，，，的方程为，求（，，，）．

解与x轴的交点分别为

（5分）

于是（10分）

13．求点关于（1，-1，0）二阶曲线的极线．

解将点（1，-1，0）的坐标及的值代入极线方程

即

5分）

整理即得所求极线方程

10分

11.求过两直线x-y+2=0与x+y-1=0的交点和点（1，l，1）的直线方程.

交点为

于是，过点（-1，3，2）与点（1，1，1）的直线方程为

即

12．求二次曲线3+2+x1x2+x2x3=0与x轴的交点，并求出过交点的切线方程．

解二次曲线给与轴的交点由方程组

确定，解之得．4分

过该点的切线方程为

化简后，切线方程为10分

13．求四点A（2，1，-1），B（1，-1，1），C（1，0，0），D（1，5,-5）的交比（AB,CD）．

解取为基点，将四点的坐标依次表汞为

3分

则四点的交比为

5分

这里，于是，于是，8分

因此

11．求使三点（0，0），（1，-1），（1，1）的对应点分别为（1，2），（2，4），（-1，3）的仿射变换式．

.解将每对对应点分别代入仿射变换公式，

……………………………………3分

得

解得……………………………………6分

代入仿射变换式，得所求的仿射变换式

………………………………………10分

12.求二次曲线=0与轴的交点，并求出过交点的切线方程．

12.解二次曲线轴的交点由方程组

确定，解之得

取，得，于是交点为（-1,0,1）……………………3分

过该点的切线方程为

（-101）……………………8分

化简后为，切线方程为……………………10分

13．经过A（1，1）和B（2，0）两点的直线和直线交于C点，求（ABC）．

12.解经过AB两点的直线方程为

……………………3分

求经过AB两点的直线与直线的交点

交点C的坐标为（3，-1）……………………6分

于是

……………………10分

11．求将三点O（0，0），A（1，0），B（0，1）变为O'（1，1），A'（3，1），B'（3，2）的仿射变换.

11.解由仿射变换式

将O（0，0），A（1，0），B（O，1），O'（1，1），A'（3，1），B'（3，2）分别代入上式得

　　　……………………………………………………………5分

所求仿射变换式为

　　　　　…………………………………………………………10分

12．求过两直线[0，0，-1]，[1，O，1]的交点与点u1＋2u2＋u3＝0的连线的坐标．

12．解直线[0，0，-1]，[1，O，1]的交点为

＝（０，－１,０），　　…………………………………………………４分

点（0，-1，0）与点＋2＋＝0的连线方程为

＝[-1，0，1]＝0．　　　………………………………………………9分

于是，所求连线的坐标为[-1，O，1]．　……………………………………………10分

13．求四点A（2，1，-1）,B（1，-1，1），C（I，０，０），D（1，5，-５）的交比（AB，CD）．

13．解取A和B为基点，将A（2，1，-1），B（1，-1，1），C（1，0，0），D（1，5，-5）四点的坐标依次表示为a，b，a+1b，a+2b……………………………………2分

则四点的交比为

（AB,CD）＝……………………………………………………………5分

这里3C＝A＋B，于是A1＝1，D＝2A－3B，于是＝－.，……………………9分

因此，

（AB,CD）＝＝－.………………………………………………………………10分

11.求过两直线的直线方程，

11.解两直线的齐次坐标形式分别为……．3分

交点为

………6分

于是，过点（1，1，-1）与点（1，2，1）的直线方程为

………………9分

即

12.已知，验证它们共线，并求（AB，CD）的值．

12.解因为

所以A，B，C，D四点共线，．………………5分

设

由

得

所以

13.求二阶曲线的中心．

13.解因为………………5分

于是

因此，中心坐标为（-3．1，1），或写成非齐次坐标（-3，1）．

四、证明题（每小题10分，共30分）

14.证明：

以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形．

14．证明如图，

设……2分

设，

则以为边可作成一个三角形

当且仅当…………5分

在△ABD中

在△BCE中

在△CAF中

………8分

以上三式相加得

于是三条中线构成三角形。

15.证明：

相交于影消线上的二直线，象为二平行线．

15.证明因为中心投影把π上的影消线投影到上的无穷远直线………3分

所以，二直线的交点的象为上无穷远点，………6分

两直线的象交于无穷远点，因此，两直线的象在上平行．……10分

16.证明：

在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点．

16.证明若三点形ABC与的对应边BC与B'C'的交点X，AC与A'C'的交点Y，AB与A'B'的交点Z共线………3分

考虑三点形XBB'，YAA'，由于XY与AB，A'B'交于Z，…………6分

由笛沙格定理知，三组对应边的交点C，，O共线，于是AA'，BB'，CC'共点．…10分

14．三角形中位线平行于底边且等于底边的一半．

14.证明如图所示，

设a=,b=,c=,

则a+b+c=0，………………………………………………………………………………………………3分

于是

＝+＝+（-l-）

＝c+a+b＝（c+a+b）+a

＝a＝

与成比例，说明DE∥BC，且DE＝BC　　　………………………10分

15.设△ABC，D是BC边的中点，E是AB上任意一点，连结EC交AD于O，连结BO

交AC于F.利用完全四线形定理证明，EF∥BC．

15．证明　如图所示，AB，BC，AC，EC构成完全四线形，设EFBC=P，则

（BC，DP）－１，………………………………………