等差数列经典试题含答案.docx
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等差数列经典试题含答案
一、等差数列选择题
1．已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（）
A．B．C．D．
2．已知数列的前项和为，且满足，，则（）
A．7B．12C．14D．21
3．等差数列中，已知，则（）
A．13B．14C．15D．16
4．设是等差数列的前项和.若，则（）
A．B．8C．12D．14
5．设等差数列的前项和为，且，则（）
A．45B．50C．60D．80
6．在等差数列{an}中，a3+a7＝4，则必有（）
A．a5＝4B．a6＝4C．a5＝2D．a6＝2
7．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）
A．B．C．D．
8．数列为等差数列，，，则通项公式是（）
A．B．C．D．9．题目文件丢失！
10．已知等差数列中，，则的前n项和的最大值为（）
A．B．C．D．
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：
“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？
”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）
A．钱B．钱C．钱D．钱
12．已知等差数列的前项和满足：
，若，则的最大值为（）
A．B．C．D．
13．在数列中，，，则（）
A．10B．145
C．300D．320
14．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足（），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人
A．225B．255C．365D．465
15．等差数列的前n项和为，且，，则（）
A．21B．15C．10D．6
16．在等差数列的中，若，则等于（）
A．25B．11C．10D．9
17．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（）
A．24B．23C．17D．16
18．设等差数列的前和为，若，则必有（）
A．且B．且
C．且D．且
19．已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（）
A．4或5B．5或6C．4D．5
20．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，的值为（）
A．B．C．D．或
二、多选题
21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（）
A．
B．且
C．
D．22．题目文件丢失！
23．已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（）
A．－4B．－2C．0D．2
24．等差数列的前项和为，若，公差，则（）
A．若，则B．若，则是中最大的项
C．若，则D．若则.
25．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）
A．4B．5C．7D．8
26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（）
A．B．是偶数C．D．…
27．等差数列的前n项和记为，若，，则（）
A．B．
C．D．当且仅当时，
28．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（）
A．B．
C．当且仅当时，取最大值D．当时，n的最小值为22
29．设等差数列的前项和为，公差为.已知，，则（）
A．B．数列是递增数列
C．时，的最小值为13D．数列中最小项为第7项
30．等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
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一、等差数列选择题
1．D
【分析】
利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解.
【详解】
由，
.
故选：
D
2．C
【分析】
判断出是等差数列，然后结合等差数列的性质求得.
【详解】
∵，∴，∴数列为等差数列.
∵，∴，∴.
故选：
C
3．A
【分析】
利用等差数列的性质可得，代入已知式子即可求解.
【详解】
由等差数列的性质可得，
所以，解得：
，
故选：
A
4．D
【分析】
利用等差数列下标性质求得，再利用求和公式求解即可
【详解】
，则
故选：
D
5．C
【分析】
利用等差数列性质当时及前项和公式得解
【详解】
是等差数列，，，
故选：
C
【点睛】
本题考查等差数列性质及前项和公式，属于基础题
6．C
【分析】
利用等差数列的性质直接计算求解
【详解】
因为a3+a7＝2a5＝4，所以a5＝2.
故选：
C
7．C
【分析】
利用等差数列的求和公式，化简求解即可
【详解】
＝＝＝＝＝.
故选C
8．C
【分析】
根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式.
【详解】
因为数列为等差数列，，，
则公差为，
因此通项公式为.
故选：
C.
9．无
10．B
【分析】
根据已知条件判断时对应的的范围，由此求得的最大值.
【详解】
依题意，所以，
所以的前n项和的最大值为.
11．C
【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.
【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，
则根据题意有，
解得，
所以戊所得为，
故选：
C.
12．C
【分析】
首先根据数列的通项与的关系，得到，，，再根据选项，代入前项和公式，计算结果.
【详解】
由得，，，.
又，
，
.
故选:
C.
【点睛】
关键点睛：
本题的第一个关键是根据公式，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.
13．C
【分析】
由等差数列的性质可得，结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为，，
所以数列是以为首项，公差为3的等差数列，
所以，
所以当时，；当时，；
所以
.
故选：
C.
14．B
【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和
【详解】
解：
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以，
故选：
B
15．C
【分析】
根据已知条件得到关于首项和公差的方程组，求解出的值，再根据等差数列前项和的计算公式求解出的值.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
故选：
C.
16．D
【分析】
利用等差数列的性质直接求解．
【详解】
因为，，
故选：
D．
17．A
【分析】
由题意可得，再由可求出的值
【详解】
解：
根据题意，，则，
故选：
A.
18．D
【分析】
由等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】
由题意，，
所以，.
故选：
D.
19．A
【分析】
由，可得，从而得，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】
解：
设递减的等差数列的公差为（），
因为，所以，化简得，
所以，
对称轴为，
因为，，
所以当或时，取最大值，
故选：
A
20．B
【分析】
由题得出，则，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由得，则，
解得，，，
，对称轴为，开口向上，
当时，最小.
故选：
B.
【点睛】
方法点睛：
求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.
二、多选题
21．BC
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【详解】
解：
斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然，，，，，所以且，即B满足条件；
由，
所以
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
所以，
令，则，
所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
即C满足条件；
故选：
BC
【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
22．无
23．AB
【分析】
由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
，，
则，，，，
上述式子累加可得：
，，
对于任意的恒成立，
整理得对于任意的恒成立，
对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；
对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；
对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；
对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，
故选：
AB.
【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.
24．BC
【分析】
根据等差数列的前项和性质判断．
【详解】
A错：
；B对：
对称轴为7；
C对：
，又，；
D错：
，但不能得出是否为负，因此不一定有．
故选：
BC．
【点睛】
关键点点睛：
本题考查等差数列的前项和性质，
（1）是关于的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；
（2），可由的正负确定与的大小；（3），因此可由的正负确定的正负．
25．BD
【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.
【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差为，设一共放层，则总得根数为：
整理得，
因为，所以为200的因数，且为偶数，
验证可知满足题意.
故选：
BD.
【点睛】
关键点睛：
本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.
26．AC
【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，，，，故A正确；
对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，，，
，
各式相加得，
所以，故D错误.
故选：
AC.
【点睛】
关键点点睛：
解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
27．AB
【分析】
根据等差数列的性质及可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中，
所以，
又，
所以，
所以，，故AB正确，C错误；
因为，故D错误，
故选：
AB
【点睛】
关键点睛：
本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.
28．AD
【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n为正整数，可判断C；由解不等式可判断D．
【详解】
等差数列的前n项和为，公差，由，可得，即，①
由是与的等比中项，得，即，化为
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