最新中考数学专题训练二次函数压轴题Word文档下载推荐.docx

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2.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于

A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PN⊥x轴于N，交直线BC于M.

（1）求二次函数表达式及顶点D的坐标；

（2）当PM＝MN时，求点P的坐标；

（3）设抛物线对称轴与x轴交于点H，连接AP交对称轴于E，连接BP并延长交对称轴于F，试证明HE＋HF的值为定值，并求出这个定值．

第2题图

（1）∵A（－2，0），B（4，0）在二次函数的图象上，将A，B点代入二次函数表达式中，

得，

解得，

∴二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋4，

将其化为顶点式为y＝－（x－1）2＋，

∴顶点D的坐标为（1，）；

（2）由抛物线表达式得点C的坐标为（0，4），

设直线BC的解析式为y＝kx＋c（k≠0），将点B（4，0），点C（0，4）代入得

，解得，

∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，（5分）

∵点P在x轴上方的抛物线上，

∴设点P的坐标为（t，－t2＋t＋4）（－2＜t＜4），

∵PN⊥x轴于N，

∴点N的坐标为（t，0），

∵PN交BC于M，

∴点M的坐标为（t，－t＋4），（7分）

∵PM＝MN，点P在点M的上方，∴PN＝2MN，

即－t2＋t＋4＝2（－t＋4），

解得t1＝2，t2＝4（与B重合舍去），

∴当PM＝MN时，点P的坐标为（2，4）；

（8分）

第2题解图

（3）如解图，过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标为（t，－t2＋t＋4），

∵DH⊥x轴于点H，

∴PG∥DH，

∴△AHE∽△AGP，

△BGP∽△BHF，

∴＝，＝，

∴EH＝，FH＝，（10分）

当点G在BH上时，

∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－t2＋t＋4，

∴EH＋FH＝3（＋）＝3·

（－）（t＋2）（t－4）·

＝9，

同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同．

综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为9.（14分）

3.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9∶10？

若存在，直接写出m的值；

若不存在，说明理由．

第3题图

（1）由x＋1＝0，得x＝－2，

∴A（－2，0），

由x＋1＝3，得x＝4，∴B（4，3）．

∵y＝ax2＋bx－3经过A、B两点，

∴，

如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．

∵PC∥y轴，∴∠ACP＝∠AEO.

∴sin∠ACP＝sin∠AEO＝＝＝；

（2）①由

（1）知，抛物线的解析式为

y＝x2－x－3，

∴P（m，m2－m－3），

C（m，m＋1），

∴PC＝m＋1－（m2－m－3）＝－m2＋m＋4.

在Rt△PCD中，PD＝PC·

sin∠ACP＝（－m2＋m＋4）×

＝－（m－1）2＋.

∵－<

0，

∴当m＝1时，PD有最大值；

②存在，m＝或.

【解法提示】如解图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为点F、G.

第3题解图

由图中几何关系可知

∠FDP＝∠DCP＝∠AEO，

∴cos∠FDP＝cos∠AEO＝＝＝，

在Rt△PDF中，DF＝cos∠FDP·

PD＝PD＝－（m2－2m－8）．

又∵BG＝4－m，

∴

＝＝＝.

当

＝＝时，解得m＝；

＝＝时，解得m＝.

∴m＝或.

4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，在OC上取一点E，使OA＝OE，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，E，B三点．

（1）求B，E点的坐标及抛物线表达式；

（2）若M为抛物线对称轴上一动点，则当|MA－ME|最大时，求M点的坐标；

（3）若点D为OA中点，过D作DN⊥BC于点N，连接AC，若点P为线段OC上一动点且不与C重合，PF⊥DN于F，PG⊥AC于G，连接GF，是否存在点P，使△PGF为等腰三角形？

若存在，求出所有满足条件的P点坐标；

若不存在，请说明理由．

第4题图

（1）∵OA＝3，AB＝4,OA＝OE，∴A（0，3），B（－4，3）,E（－3，0）．

将A，B，E三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，

得，解得，

∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋3；

（3分）

（2）∵抛物线y＝x2＋4x＋3的对称轴为直线x＝－2，点A关于对称轴的对称点为点B，

∴当|MA－ME|最大时，M在直线BE与直线x＝－2的交点处，即连接BE并延长交直线x＝－2于点M，M点即为所求，如解图①，（5分）

第4题解图①

设直线BE的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

∵直线过B（－4，3），E（－3，0），

∴直线BE的解析式为y＝－3x－9.

当x＝－2时，y＝－3，

∴M（－2，－3）；

（7分）

（3）设P（x，0）（x＜0），如解图②，过点P分别作PF⊥DN于点F，PG⊥AC于点G，

过点G作GH⊥OC于点H，交DN于点Q，连接GF，

第4题解图②

∵OA＝3，AB＝4，∠AOC＝90°

，

∴AC＝5，

∵D为OA的中点，DN⊥BC，

∴PF＝，sin∠1＝＝，

∴＝，

∴PG＝，

∵cos∠1＝＝，

∴CG＝.

∵△CGH∽△CAO，

∴GH＝CG＝×

＝，

CH＝CG＝×

＝，（9分）

∴PH＝QF＝OC－CH－OP＝4－＋x＝，

GQ＝GH－QH＝－，

∴在Rt△GQF中，

GF2＝[－]2＋＝－＋.

要使△PGF为等腰三角形，可分三种情况讨论：

（ⅰ）当GF＝GP时，GF2＝GP2，

∴－＋＝，

∴x＝－，

∴P1（－，0）；

（11分）

（ⅱ）当FG＝FP时，FG2＝FP2，

∴x1＝－4，x2＝0.

∵点P不与C重合，

∴x＝－4（舍去），∴P2（0，0）；

（12分）

（ⅲ）当PG＝PF时，＝，

∴P3（－，0）．（13分）

综上所述，存在P1（－，0），P2（0，0），P3（－，0）使△PFG为等腰三角形．（14分）

5.已知：

直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A、B，且交x轴于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上一点，且点P在AB的下方，设点P的横坐标为m.

①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；

②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上是否存在点Q，使△QBC为直角三角形？

若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

第5题图备用图

（1）∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B，

则A（6，0），B（0，－3），

又∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A、B，

则，　解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－3；

（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，m2－m－3），

∵点P在直线AB下方，∴0＜m＜6，

第5题解图①

如解图①，过点P作x轴的垂线，交AB于点E，交x轴于点D，

则E（m，m－3），

∴PE＝m－3－（m2－m－3）＝－m2＋2m，

∴S△PAB＝S△BPE＋S△PEA＝PE·

OA

＝（－m2＋2m）×

6

＝－（m－3）2＋9，

∴当m＝3时，△PAB的面积最大；

②在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形；

点Q的坐标为（3，）或（3，－）．

【解法提示】直线PD的解析式为：

x＝3，易得C（－，0），D（3，0），

当∠BCQ＝90°

时，如解图②，易证△COB∽△QDC，则＝，可得Q（3，）；

第5题解图②

当∠CBQ＝90°

时，如解图③，易知Q在AB上，将x＝3代入直线y＝x－3，得y＝－，∴Q（3，－）；

第5题解图③

当∠BQC＝90°

时，如解图④，易证△CDQ∽△QRB，则＝，即＝，无解．

第5题解图④

综上所述，在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形，点Q的坐标为（3，）或（3，－）．

6.如图，抛物线y＝x2－4x－5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）如图①，点E（m，n）为抛物线上一点，且2<

5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值；

（3）如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，请求出点P的坐标；

图①　图②

第6题图

（1）把y＝0代入y＝x2－4x－5，得x2－4x－5＝0，

解得x1＝－1，x2＝5，

∵点B在点A的右侧，

∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（5，0），

把x＝0代入y＝x2－4x－5，得y＝－5，

∴点C的坐标为（0，－5），

∵y＝x2－4x－5＝（x－2）2－9，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2；

（4分）

（2）由题意可知，四边形EHDF是矩形，

∵抛物线的对称轴为直线x＝2，点E坐标为（m，m2－4m－5），

∴EH＝－m2＋4m＋5，EF＝m－2，

∴矩形EHDF的周长为2（EH＋EF）＝2（－m2＋4m＋5＋m－2）＝－2（m2－5m－3）＝－2（m－）2＋，

∵－2<

0，2<

5，

∴当m＝时，矩形EHDF的周长最大，最大值为；

第6题解图

（3）存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形．

如解图，设点P的坐标为（2，k），

∵B和C两点的坐标分别为（5，0），（0，－5），

∴BC＝＝5，

①当∠CBP＝90°

时，

∵BC2＋BP2＝CP2，

∴（5）2＋（5－2）2＋（－k）2＝22＋（k＋5）2，

解得k＝3，

∴P1（2，3）；

（10分）

②当∠PCB＝90°

∵BC2＋PC2＝BP2，

∴（5）2＋22＋（k＋5）2＝（5－2）2＋（－k）2，

解得k＝－7，

∴P2（2，－7）；

③当∠CPB＝90°

∵PC2＋PB2＝BC2，

∴22＋（k＋5）2＋（5－2）2＋k2＝（5）2，

解得k＝1或k＝－6，

∴P3（2，1），P4（2，－6），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，3），（2，－7），（2，1）或（2，－6）．（14分）

7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（2，0），B（－4，0）两点，直线y＝2x－2交y轴于点D，过点B作BC⊥x轴交直线CD于点C.

（2）求点B关于直线y＝2x－2对称的点E的坐标，判断点E是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线CE于点F，是否存在这样的点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点P的坐标；

第7题图

（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A（2，0），B（－4，0）两点，

∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2；

（2）点E在抛物线上，理由如下：

如解图①，设直线CD：

y＝2x－2与x轴交于点N，过点E作EM⊥x轴，垂足为点M，

令y＝2x－2＝0，解得x＝1，

∴点N的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，－2），

∵BN2＝25，BD2＝20，DN2＝5，BN2＝BD2＋DN2，

∴BD⊥CD，

∵点B和点E关于点D对称，

∴BE＝2BD，∴BE＝4，

∵当x＝－4时，y＝2x－2＝－10，

∴点C的坐标为（－4，－10），

∵BN＝5，BC＝10，

∴CN＝5，

又∵∠MBE＝∠BCN，∠CBN＝∠BME，

∴△CBN∽△BME，

∴ME＝4，

根据勾股定理得BM＝＝＝8，

∴BM＝8，∴OM＝4，

∴点E的坐标为（4，－4），

当x＝4时，

y＝－x2－x＋2＝－×

16－×

4＋2＝－4，

∴点E在抛物线上；

第7题解图①

（3）存在，点P的坐标为（－1，）或（，）或（，－）．

【解法提示】如解图②，设直线CE的解析式为y＝kx＋b′，

由

（2）得点C（－4，－10），E（4，－4），∴，解得，

第7题解图②

∴直线CE的解析式为y＝x－7.

∵PF⊥x轴，设点P的坐标为（a，－a2－a＋2），则点F的坐标为（a，a－7），

∴PF＝|－a2－a＋2－（a－7）|＝|－a2－a＋9|，

要使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形，

∵PF∥BC，

∴PF＝BC＝10.

当－a2－a＋9＝10时，

解得a1＝－4（舍去），a2＝－1，

∴点P的坐标为（－1，），

当－a2－a＋9＝－10时，

解得a1＝，

a2＝，

∴点P的坐标为（，）或（，

－），

综上所述，存在点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（－1，）或（，）或（，－）．

8.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过点A（，－3）和点B（3，0），过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C.

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出相应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC＝S△AOQ？

若存在，求出点Q的坐标；

第8题图

（1）将点A（，－3），B（3，0）分别代入y＝ax2＋bx中，得

∴抛物线的解析式为y＝x2－x；

（2）设P点的坐标为P（m，m2－m），则D（m，－3），

∴PD＝|m2－m＋3|，AD＝|m－|，

∵∠ACO＝∠ADP＝90°

∴①当△ACO∽△ADP时，有＝，

即＝，

∴|m－|＝|m2－m＋3|，

∴（m－）＝m2－m＋3或－（m－）＝m2－m＋3，整理得m2－5m＋12＝0或m2－m＝0，

解方程m2－5m＋12＝0得：

m1＝4，m2＝（点P与A点重合，△APD不存在，舍去）；

解方程m2－m＝0得：

m3＝0，m4＝（点P与A点重合，△APD不存在，舍去）；

此时P点的坐标为P（0，0）或P（4，6）；

②当△ACO∽△PDA时，有＝，

∴|m2－m＋3|＝|m－|，

∴（m2－m＋3）＝m－或－（m2－m＋3）＝m－，

整理得m2－11m＋8＝0或m2－7m＋4＝0，

解方程m2－11m＋8＝0，得：

m1＝，m2＝（点P与A点重合，△APD不存在，舍去）；

解方程m2－7m＋4＝0，得：

此时P点的坐标为P（，－）或P（，－），

综上可知：

以点A、D、P为顶点的三角形与△AOC相似时，点P的坐标为：

P（0，0）或P（4，6）或P（，－）或P（，－）；

（3）存在．在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝，根据勾股定理得OA＝2，

∵S△AOC＝OC·

AC＝，S△AOC＝S△AOQ，

∴S△AOQ＝，

∵OA＝2，∴△AOQ边OA上的高为，

如解图，过点O作OM⊥OA，截取OM＝，

第8题解图

过点M作MN∥OA交y轴于点N，

∵AC＝，OA＝2，

∴∠AOC＝30°

又∵MN∥OA

∴∠MNO＝∠AOC＝30°

∴在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N（0，9），过点M作MH⊥x轴交x轴于点H，

∵∠MNO＝30°

，∴∠MOH＝30°

，∴MH＝OM＝，OH＝，即M（，），

设直线MN的解析式为y＝kx＋9（k≠0），

把点M的坐标代入得＝k＋9，即k＝－，

∴y＝－x＋9，

联立得，

解得或，即Q（3，0）或（－2，15）．

9.如图，抛物线经过原点O（0，0），与x轴交于点A（3，0），与直线l交于点B（2，－2）．

（2）点C是x轴正半轴上一动点，过点C作y轴的平行线交直线l于点E，交抛物线于点F，当EF＝OE时，请求出点C的坐标；

（3）点D为抛物线的顶点，连接OD，在抛物线上是否存在点P，使得∠BOD＝∠AOP？

如果存在，请直接写出点P的坐标；

如果不存在，请说明理由．

第9题图备用图

（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，

将A（3，0），B（2，－2）代入y＝ax2＋bx中，

∴抛物线的解析式为y＝x2－3x；

（2）设直线l的解析式为y＝kx，

将B（2，－2）代入y＝kx中，得－2＝2k，

解得k＝－1，

∴直线l的解析式为y＝－x，

设点C的坐标为（n，0），则点E的坐标为（n，－n），点F的坐标为（n，n2－3n）．

①当点C在点A的左侧时，如解图①所示，EF＝－n－（n2－3n）＝－n2＋2n，OE＝＝n，

∵EF＝OE，

∴－n2＋2n＝n，

解得n1＝0（C，E，F三点均与原点重合，舍去），n2＝2－，

∴点C的坐标为（2－，0）；

②当点C在点A的右侧时，如解图②所示，EF＝n2－3n－（－n）＝n2－2n，OE＝＝n，

∴n2－2n＝n，

解得n1＝0（C，E，F均与原点重合，舍去），n2＝2＋，

∴点C的坐标为（2＋，0）；

综上所述，当EF＝OE时，点C的坐标为（2－，0）或（2＋，0）；

（3）存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为（，－）或（，）．

【解法提示】抛物线的解析式为y＝x2－3x＝（x－）2－，

∴顶点D的坐标为（，－），设抛物线的对称轴交直线l于点M，交x轴正半轴于点N，过点D作DG⊥OB于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，如解图③所示，

∵直线l的解析式为y＝－x，

∴∠MON＝45°

∴△ONM为等腰直角三角形，ON＝MN＝，OM＝ON＝，

∴DM＝－＝，

在Rt△DGM中，

∵∠DMG＝∠NMO＝45°

∴Rt△DGM为等腰直角三角形，

∴MG＝DG＝×

∴OG＝OM＋MG＝＋＝.

设点P的坐标为（c，c2－3c），当点P在x轴下方时，如解图③所示，OH＝c，HP＝3c－c2，

第9题解图③

∵∠HOP＝∠BOD，

∴tan∠HOP＝tan∠BOD，

解得c1＝0（P点与O点重合，舍去），c2＝，

∴点P的坐标为（，－）；

当点P在x轴上方时，如解图④所示，OH＝c，HP＝c2－3c，

第9题解图④

同理可得＝，

∴P点的坐标为（，）．

综上所述，存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为（，－）或（，）．

10.在平面直角坐标系中，直线y＝x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；

（3）如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？

若存在，直接写出点D的横坐标；

第10题图

（1）直线y＝x－2中，令y＝0，解得x＝4，

令x＝0，解得y＝－2，

∴点B（4，0），C（0，－2），

将点B（4，0），C（0，－2）代入y＝x2＋bx＋c中，得，解得，

∴二次函数的表达式为y＝x2－x－2；

第10题解图①

（2）如解图①，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，

设点D的坐标为（x，x2－x－2）（－1<

x<

4），则点E（x，x－2），

∴DE＝x－2－（x2－x－2）＝－x2＋2x，

∴S＝S△CDE＋S△BDE＝（－x2＋2x）×

4＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，

∴当x＝2时，S有最大值，S的最大值为4；

（3）存在，满足条件的点D的横坐标为2或.

【解法提示】令y＝0，则x2－x－2＝0，

解得x1＝－1，x2＝4，

∴A（－1，0），

∵B（4，0），C（0，－2），

∴AB2＝52＝25，AC2＝12＋（－2）2＝5，BC2＝42＋22＝20，

∴AB2＝AC2＋BC2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，如解图②，取AB的中点P，

第10题解图②

∴P（，0），

∴PA＝PC＝PB＝，

∴∠CPO＝2∠ABC，

∴tan∠CPO＝＝

tan2∠ABC＝，

过点D作x轴的平行线交y轴于点R，交BC的延长线于点G，连接CR，

①当∠DCM＝2∠ABC＝∠DGC＋∠CDG，

∵DG∥x轴，

∴∠DGC＝∠ABC，

∴∠CDG＝∠ABC，

∴tan∠CDG＝tan∠ABC＝＝，即＝，

设点D（x，x2－x－2），

∴DR＝x，RC＝－x2＋x，

∴＝，解得x1＝0（舍去），x2＝2，

∴点D的横坐标为2；

②当∠MDC＝2∠ABC，

∴tan∠MDC＝，

设MC＝4k，∴DM＝3k，DC＝5k，

∵tan∠DGC＝＝，

∴MG＝6k，∴CG＝2k，∴DG＝3k，

∵∠MGD＝∠RGC，∠DMG＝∠CRG＝90°

∴△DMG∽△CRG，

∴CR＝k，RG＝2CR＝k，

即＝，∴DR＝3k－k＝k，

解得x1＝0（舍去），x2＝，

∴点D的横坐标为，

综上所述，满足