答案 30
2．相邻问题——捆绑法
把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．
例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有________种．
解析 先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步计数原理可得，不同的排法有A·A·C＝960（种）．
答案 960
3．不相邻问题——插空法
某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．
例3 高三
（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是________．
解析 先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A种放法．所以两个舞蹈节目不连排的排法共有A·A＝3600（种）．
答案 3600
4．至多至少问题——间接法
对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数．
例4 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．
解析 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有A－CA＝36（种）选法．
答案 36
5．多类元素组合——分类取出
当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．
例5 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种．
解析 如果用两种颜色，则有C种颜色可以选择，涂法有2种．如果用3种颜色涂色，有C种颜色可以选择，涂法有C·C（C＋1）＝18（种）．
所以，不同涂色种数为C·2＋C·18＝390（种）．
答案 390
6．排列、组合混合——先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列．
例6 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．
解析 首先把5个班分成4组，即2,1,1,1，有种方法．然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法．由分步计数原理可得不同的安排方法有·A＝240（种）．
答案 240
3 排列、组合中的“分组”与“分配”辨析
分组分配问题在排列组合问题中占有很重要的位置，并且分组分配问题比较复杂，也是大家学习中的一个难点，下面通过实例剖析各种各样的分组分配问题．
1．互异元素的“均匀分组”
例1 6本不同的书，分成三份，每份2本，共有多少种不同的分法？
解 因为平均分组与顺序无关，在C·C·C＝90种分法中，每一种分法重复出现了A次，只能算作一次．如将6本书a，b，c，d，e，f分成ab，cd，ef三组是一种分法，而解答中考虑它们之间的顺序有A种分法，具体如下表.
步骤
第一组
第二组
第三组
分法1
ab
cd
ef
分法2
ab
ef
cd
分法3
cd
ab
ef
分法4
cd
ef
ab
分法5
ef
ab
cd
分法6
ef
cd
ab
以上的分法，实际上加入了组的顺序性，但像分法1,2,3,4,5,6，实际上是同一种分法，所以要除以A消除顺序，故共有＝15种分法．
2．互异元素的“均匀分配”
例2 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有多少种不同的分法？
解 由例1可知，将6本不同的书均匀分成3组，共有种分法，然后将3组书再分配给甲、乙、丙三人，与顺序有关，所以共有·A＝CCC＝90种分法．
也可这么理解先取2本给甲有C种方法，再取2本给乙有C种方法，余下2本给丙有C种方法，取的过程实际已经将书进行了分配，故共有C·C·C＝90种分法．
3．互异元素的“非均匀分组”
例3 6本不同的书，分成三份，一份3本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？
解 先取1本作一堆有C种方法，再取2本作一堆有C种方法，余下3本作一堆有C种方法，由于每组的数目不同，所以不会出现重复的分法，故共有C·C·C＝60（种）分法．
4．互异元素的“非均匀分配”
例4 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人3本，一人2本，一人1本，共有多少种不同的分法？
解 先分组，再分配，甲、乙、丙三人得到的书不同（数目不同或数目相同但书不同）应视作是不同的分配方法，所以与顺序有关．即首先，不平均分成三堆有C·C·C种方法，然后再分给甲、乙、丙三人有A种方法，共有C·C·C·A＝360（种）分法．
5．互异元素的“部分平均分组”
例5 6本不同的书，分成三份，有两份各1本，另一份4本，共有多少种不同的分法？
解 三组中有两组是平均分组，这两组是无序的，应对这两组消序．故共有＝15种分法．
以上五类问题是十分典型的“分组分配”问题，它的每一个小题都是一种类型，我们要认真领会．计数时常有下面的结论“无对象的均匀分配”问题，只需按“有对象的均匀分配”问题列式后，再除以组数的全排列数，对于“无对象的非均匀分配”与“有对象的非均匀分配”问题，前者只需分步完成，后者先分组，后排列．
4 “隔板法”在计数问题中的妙用
“隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决．下面剖析一下隔板法适用条件，并选择几个实例加以说明．
1．隔板法的适用条件
排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是将n个相同元素分组到m个不同对象中（n≥m），每个对象至少有一个元素．这类问题必须满足三个条件①小球必须相同；②盒子必须不同；③每个盒子至少有一个小球．当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法．
2．隔板法的实际应用
应用1 20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？
解 如下图，用“0”表示小球，
00000000000000000000
在上图中，在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有C＝171种放法．
点评 解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可．
应用2 方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的正整数解有多少个？
解 该问题转化为将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球．这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？
这样，类似应用1可知，所以共有C＝969种．
点评 不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xm＝n（n，m∈N*，n≥m）的正整数解个数问题可以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象（n≥m），每个对象至少有一个元素”的模型，进而采用隔板法求解．
整体概括通过对隔板法的应用，可得下列结论．
结论1把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，
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