空间几何体结构及其三视图学案专题.docx

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空间几何体结构及其三视图学案专题

空间几何体结构及其三视图

【考纲要求】

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、空间几何体的结构及其三视图和直观图

1、多面体的结构特征

（1）棱柱（以三棱柱为例）

如图：

平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。

各侧棱之间的关系是：

A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C。

（2）棱锥（以四棱锥为例）

如图：

一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形。

（3）棱台

棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台。

2、旋转体的结构特征

旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。

3、空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

4、空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。

平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半。

5、平行投影与中心投影

平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。

要点诠释：

空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：

（1）观察角度：

三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；

（2）投影效果：

三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形。

考点二、空间几何体的表面积和体积

1、旋转体的表面积

名称

图形

表面积

圆柱

S=2πr（r+）

圆锥

S=πr（r+）

圆台

球

2、几何体的体积公式

（1）设棱（圆）柱的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;

（2）设棱（圆）锥的底面积为S，高为h，则体积V=Sh;

（3）设棱（圆）台的上、下底面积分别为S’，S，高为h，则体积V=（++S）h;

（4）设球半径为R，则球的体积V=π。

要点诠释：

1、对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决。

2、重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．

3、要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．

【典型例题】

类型一、空间几何体的结构特征

例1如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）．

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

【思路点拨】可借助构造几何图形进行判断。

【解析】如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补（若为正四棱锥则成立）．故仅命题B为假命题．

【总结升华】三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．

举一反三：

【变式】

例1、下面是关于四棱锥的四个命题：

1若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

2若两个过相对侧棱的截面都垂直与底面，则该四棱柱为直四棱柱；

3若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；

4若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。

其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）。

【答案】②④

例2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：

充要条件①

充要条件②

【思路点拨】利用类比推理中“线面”再验证一下所给出的条件是否正确即可

【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点且互相平行；底面是平行四边形（任选两个即可）。

【总结升华】平行六面体实质是把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体，因此“平行四边形”与“平行六四体”有着性质上的“相似性”。

平行四边形

平行六面体

两组对边分别平行

一组对边平行且相等

对角线互相平分

两组相对侧面分别平行

一组相对侧面平行且全等

对角线交于一点且互相平分

举一反三：

【变式】一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（）

AAB∥CDBAB∥EFCCD∥GHDAB∥GH

【答案】选C。

【解析】折回原正方体如图，则C与E重合，D与B重合。

显见CD∥GH

类型二、空间几何体的三视图

例3在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　）．

【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．

【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.

【总结升华】

（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

举一反三：

【变式】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）．

【答案】D

【解析】A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图不对，故B错．C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D.

例4如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：

cm）.在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。

【思路点拨】根据正视图和侧视图可确定出点G、F的位置，从而可以画出俯视图。

【解析】如图：

【总结升华】

1、几何体的三视图的排列规则：

俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”注意虚、实线的区别。

2、应用：

在解题的过程中，可以根据三视图的的及图中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、线、面之间的关系及图中一些线段的长度，这样我们就可以解出有关的问题。

举一反三：

【变式1】

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于。

【答案】

【解析】由正视图可知该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱柱。

其表面积为

【变式2】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：

cm），可得这个几何体的体积是（　）

　　A． 　　　B．　　　C．　　　D．

【答案】B

【解析】依题意，此几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，

　　底面ABCD是边长为20的正方形，侧面PCD垂直于底面ABCD，△PCD的高为20，

　　故这个几何体的体积为。

类型三、几何体的直观图

例5如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）

A．6B．8

C．2＋3D．2＋2

【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．

【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝2，OA＝1，

∴AB＝3，所以周长为8.

【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．

【变式】是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_________。

【答案】设正△ABC的边长是2，则

，解得，

类型四、空间几何体的表面积与体积

例6有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？

【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离。

【答案】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图），

由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。

AC=5πcm，

故铁丝的最短长度为5πcm。

【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点。

举一反三：

【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______.

【答案】圆半径，面积，圆锥母线。

例7如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

【思路点拨】三视图直观图（圆柱与球的组合体）圆柱的底面半径、高及球半径代入公式求解。

【解析】由三视图可知，该几何体是由一个球和圆柱组合而成的几何体，球的直径为2，圆柱的底面直径为2，高为3，则，∴几何体的表面积为S=4π+8π=12π。

【总结升华】高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决；多面体的表面积是各个面的面积之和。

圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和。

举一反三：

【变式】如图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形,根据图中尺寸（单位:

）,可知这个几何体的表面积是（）

A.　　　B. 　　　C. 　　　D. 

【答案】C；

【解析】由三视图知道立体图形是一个倒放的底面为正三角形的三棱柱

　　　　　.