专题二立体几何线面垂直面面垂直讲解Word格式.docx
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∴SABC.∵ABBC,∴BC平面SAB.又∵AE平面SAB,∴BCAE.∵SC平面AEFG,∴SCAE.∴AE平面SBC.∴AESB.同理可证AGSD.
评注:
本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,的转化.
4.如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:
AH⊥平面BCD.证明:
取AB的中点F,连结CF,DF.
∵ACBC,∴CFAB.
∵ADBD,∴DFAB.
又CFDFF,∴AB平面CDF.
∵CD平面CDF,∴CDAB.
又CDBE,BEABB,
∴CD平面ABE,CDAH.
∵AHCD,AHBE,CDBEE,
∴AH平面BCD.
本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;
而证明线线
垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.
5.如图3,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA平面ABC.若AE⊥PC,E为垂足,
F是PB上任意一点,求证:
平面AEF⊥平面PBC.证明:
∵AB是圆O的直径,∴ACBC.
∵PA平面ABC,BC平面ABC,
∴PABC.∴BC平面APC.
∵BC平面PBC,
∴平面APC⊥平面PBC.
∵AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,
∴AE⊥平面PBC.
∵AE平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.
评注:
证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.
10.如图,在空间四边形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。
求证:
①ANBC;
②SC平面ANM
分析:
①要证ANBC,转证,BC平面SAB。
②要证SC平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SCAM,SCAN。
要证SCAN,转证AN平面SBC,就可以了。
证明:
①∵SA平面ABC
∴SABC
又∵BCAB,且ABSA=A
∴BC平面SAB
∵AN平面SAB
∴ANBC
②∵ANBC,ANSB,且SBBC=B
∴AN平面SBC
∵SCC平面SBC
∴ANSC
又∵AMSC,且AMAN=A
∴SC平面ANM
例2]如图9—40,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
(1)求证:
AB⊥BC;
(1)
【证明】作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC.平面SAB∩平面SBC=SB,∴AH⊥平面SBC,
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,而SA在平面SBC上的射影为SB,∴BC⊥SB,又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.
求证:
平面MND⊥平面PCD
1
【证明】取PD中点E,连结EN,EA,则EN2CDAM,∴四边形ENMA是
平行四边形,∴EA∥MN.
∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD,从而MN⊥平面PCD,∵MN平面MND,∴平面MND⊥平面PCD.
【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证MN⊥平面PCD较困难,转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了.另外,在本题中,当AB的长度变化时,可求异面直线PC与AD所成角的范围.
[例4]如图9—42,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.
图9—42
平面MNF⊥平面ENF.
【证明】∵M、N、E是中点,∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145
∴MNE90即MN⊥EN,又NF⊥平面A1C1,MN平面A1C1∴MN⊥NF,从而MN⊥平面ENF.∵MN平面MNF,
a的正方形,PA⊥底面ABCD,E
∴平面MNF⊥平面ENF.
4.如图9—45,四棱锥P—ABCD的底面是边长为为AB的中点,且PA=AB.
图9—45
平面PCE⊥平面PCD;
(2)求点A到平面PCE的距离.
【证明】PA⊥平面ABCD,AD是PD在底面上的射影,
又∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD,
∴∠PDA为二面角P—CD—
B的平面角,
∵PA=PB=AD,PA⊥AD∴∠PDA=45°
,取Rt△PAD斜边PD的中点F,则AF⊥PD,
∵AF面PAD∴CD⊥AF,
又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD,取PC的中点G,连GF、AG、EG,则GF2CD1
又AE2CD,
∴GFAE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG,∴EG⊥平面PDC又EG平
面PEC,
∴平面PEC⊥平面PCD.
(2)
【解】由
(1)知AF∥平面PEC,平面PCD⊥平面PEC,过F作FH⊥PC于H,则FH⊥平面PEC
∴FH为F到平面PEC的距离,即为A到平面PEC的距离.在△PFH与△PCD中,∠P为公共角,
FHPF而∠FHP=∠CDP=90°
,∴△PFH∽△PCD.∴CDPC,设AD=2,∴PF=2,
PC=PDCD8423,
2266
∴FH=233∴A到平面PEC的距离为3.
【拓展练习】
一、备选题
1.如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
平面PAC⊥平面PBC;
(2)若D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
(1)
【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点,AB是圆O的直径∴BC⊥AC;
又PA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴BC⊥PA,从而BC⊥平面PAC.
∴平面PAC⊥平面PBC.
【解】平面PAC⊥平面ABCD;
平面PAC⊥平面PBC;
平面PAD⊥平面PBD;
平面PAB⊥平面ABCD;
平面PAD⊥平面ABCD.
,CC′上的一点,
2.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为a,D,E分别是BB1
BD=2a,EC=a.
平面ADE⊥平面ACC′A′;
(2)求截面△ADE的面积.
二、练习题
A.a±
7且23B.a丄?
且加祁C.m//p且/SD.a/7p且a丄?
5.有三个命题:
(M直于同一个平面的两条直线平行;
倉过平面«
的一条斜线I有且仅有一个平面与«
垂直;
銅面直线a、b不垂直,那么过。
的任一个平面与b都不垂直
耳中正确命题的个数为()A.OB.lC.2D.3
6•设/、加为直线,q为平面,且/!
«
给出下列命题
①若加丄a,则m//h蜩加丄/,则力〃a;
m!
/u.,则ml/;
则加丄a,
其中真命题的序号是()
•••
A.①§
③B.d@©
C.②§
④D.@③5
7•如图所示三棱锥7虫眈中虫丹丄侧面皿CJLH是的垂心,BE是7C边上的高.求证:
比14圧
8•如图所示,期丄矩形ABCD所在平面,M.N分别是月&
PC
(1)求证:
MN〃平面MQ.
(2)求证:
MNXJJD.
(3)若ZP£
H=45%求证:
MML平面PCD
9•已知直三棱柱XBC-XiBiCi中,Z4C5=90c\Za4C=30\BC=l,AAi=,M是CCi的中点,求证:
丄4】M.
10•如图所示,正方体ABCD—ABCD的梭长为a,M是人2?
的中点川是BD上一点,且=1:
2,MC与交于P.
NP丄平面ABCD.
(2)求平面PNC与平面CC'
DD所成的角.
面面垂直专题练习
一、定理填空
面面垂直的判定定理:
二、精选习题
1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,AB与CD所成的角等于
2、三棱锥P-.ABC的三条侧棱相等,则点P在平面ABC±
的射影是AABC的__心.
3、一条直线与两个平面所成角相等,那么这两个平面的位置关系为
4、在正三梭锥中,相邻两面所成二面角的取值范围为
5、已知a-1-p是直二面角,B占,设直线AB与G成30°
角,AB二2,B
到A在/上的射影N的距离为则AB与0所成角为•
6、在直二面角a-AB-P梭ab上取一点P,过P分别在00平面内作与梭成
45。
角的斜线PC、PD,则ZCPD的大小是
7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为.
二、解答题:
8、如图,在正方体ABCD-A^B丄55中.求证:
平面ACD丄丄平面BB丄DJ)
10、如图,三棱锥P-ABC中,PA丄平面ABC,AC丄BC,求证:
平面PAC丄平面PBC.